有限元發(fā)展綜述一、有限元法介紹有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化，用有限個(gè)容易分析的單元來(lái)表示復(fù)雜的對(duì)象，單元之間通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的，節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM,FiniteElementMethod)。有限元法是最重要的工程分析技術(shù)之一。它廣泛應(yīng)用于彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域。有限元法是60年代以來(lái)發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)值計(jì)算方法，是計(jì)算機(jī)時(shí)代的產(chǎn)物。雖然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，它并未受到人們的重視。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法在各個(gè)工程領(lǐng)域中不斷得到深入應(yīng)用，現(xiàn)已遍及宇航工業(yè)、核工業(yè)、機(jī)電、化工、建筑、海洋等工業(yè)，是機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結(jié)論：有限元法在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，使機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計(jì)產(chǎn)生革命性的變化，理論設(shè)計(jì)代替了經(jīng)驗(yàn)類比設(shè)計(jì)。目前，有限元法仍在不斷發(fā)展，理論上不斷完善，各種有限元分析程序包的功能越來(lái)越強(qiáng)大，使用越來(lái)越方便。二、有限元法的孕育過(guò)程及誕生和發(fā)展大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運(yùn)算具有整體對(duì)局部的可加性。雖然，積分運(yùn)算與有限元技術(shù)對(duì)定義域的劃分是不同的，前者進(jìn)行無(wú)限劃分而后者進(jìn)行有限劃分，但積分運(yùn)算為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了一個(gè)理論基礎(chǔ)。在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。這兩項(xiàng)成果的前者被用來(lái)將微分方程改寫(xiě)為積分表達(dá)式，后者被用來(lái)求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。在18世紀(jì)，另一位數(shù)學(xué)家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫(xiě)為積分表達(dá)式的另一途經(jīng)。在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對(duì)全定義域運(yùn)用展開(kāi)函數(shù)來(lái)表達(dá)其上的未知函數(shù)。1915年，數(shù)學(xué)家伽遼金提出了選擇展開(kāi)函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開(kāi)函數(shù)來(lái)表達(dá)其上的未知函數(shù)。這實(shí)際上就是有限元的做法。所以，到這時(shí)為止，實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)的第二個(gè)理論基礎(chǔ)也已確立。20世紀(jì)50年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)師們發(fā)現(xiàn)無(wú)法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問(wèn)題。波音公司的一個(gè)技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機(jī)翼離散為三角形板塊的集合來(lái)進(jìn)行應(yīng)力分析，經(jīng)過(guò)一番波折后獲得前述的兩個(gè)離散的成功。20世紀(jì)50年代，大型電子計(jì)算機(jī)投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。1960年前后，美國(guó)的R.W.Clough教授及我國(guó)的馮康教授分別獨(dú)立地在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術(shù)從此正式誕生，并很快風(fēng)靡世界。三、FEM的計(jì)算方法：FEM方法作為一種技術(shù)更多的與FEM軟件的發(fā)展緊密的結(jié)合起來(lái)。某種主流軟件的FEM方法必然會(huì)一直朝該FEM方法的方向發(fā)展，只有當(dāng)新的FEM方法比現(xiàn)有的FEM方法更加優(yōu)越時(shí)才會(huì)放棄現(xiàn)有的FEM方法，從而使FEM方法有較大的發(fā)展。因此目前的FEM方法仍然將統(tǒng)治現(xiàn)在的FEM世界。當(dāng)今主流的FEM軟件有德國(guó)的ASKA、英國(guó)的PAFEC、法國(guó)的SYSTUS、美國(guó)的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。這些軟件所代表的方法有：COSMOS軟件使用的快速有限元算法(FFE)。在傳統(tǒng)有限元分析的數(shù)值計(jì)算方法之中，有直接計(jì)算法(DirectSolver)與迭代法(Iterative)兩種。由于在過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)中，迭代法一直無(wú)法直接而有效的保證數(shù)值計(jì)算的收斂性，快速有限元法是一種可以保證收斂性的迭代法，該方法計(jì)算速度也很快。MARC軟件以Lagrange算法為主，兼有ALE和Euler算法；以顯式求解為主，兼有隱式求解功能。ANSYS軟件有直接求解器，如波前求解器，可計(jì)算出線性聯(lián)立方程組的精確解。ANSYS程序還提供了一個(gè)有效的稀疏矩陣求解器，它既可用于線性分析，也可用于非線性分析。即要求求解精度又要求求解時(shí)間的靜態(tài)及瞬態(tài)分析中，該求解器可代替迭代求解器。稀疏矩陣求解器只能用于真正的對(duì)稱矩陣，與波前及其它直接求解器相比，稀疏矩陣求解器能顯著加速求解速度。四、其他求解方法：顯式/隱式有限元法：無(wú)需對(duì)剛度矩陣求逆，只需對(duì)質(zhì)量矩陣求逆，而質(zhì)量矩陣往往可以簡(jiǎn)化為對(duì)角陣;沒(méi)有增量步內(nèi)迭代收斂問(wèn)題，可以一直計(jì)算下去。隱式計(jì)算具有時(shí)間步長(zhǎng)增量較大、每個(gè)荷載步都能控制收斂，避免誤差累積、存在迭代不收斂的問(wèn)題、計(jì)算量隨計(jì)算規(guī)模增大而成超線性增長(zhǎng)的特點(diǎn)。相對(duì)與隱式計(jì)算顯示計(jì)算具有時(shí)間步長(zhǎng)很小、誤差累積、不存在迭代不收斂的問(wèn)題、計(jì)算量隨計(jì)算規(guī)模基本為線性增長(zhǎng)的特點(diǎn)。這種計(jì)算方法的代表軟件有ABQUS。離散單元法：離散單元法也被稱為散體單元法，最早是1971年由Cundall提出的一種不連續(xù)數(shù)值方法模型，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是適用于模擬節(jié)理系統(tǒng)或離散顆粒組合體在準(zhǔn)靜態(tài)或動(dòng)態(tài)條件下的變形過(guò)程。離散單元法不是建立在最小勢(shì)能變分原理上，而是建立在最基本的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律上。它以每個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)方程為基礎(chǔ)，建立描述整個(gè)破壞過(guò)程的顯式方程組后，通過(guò)動(dòng)力松弛迭代求解。接觸判斷法：離散元通過(guò)塊體之間的相互接觸判斷得到相互之間的作用力，進(jìn)而形成運(yùn)動(dòng)方程。因此，快速而準(zhǔn)確的接觸算法對(duì)離散元方法非常重要。由于離散元計(jì)算過(guò)程中塊體往往會(huì)發(fā)生較大位移，使得原有的塊體間的空間拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化，使接觸判斷變得更加復(fù)雜。目前離散元對(duì)二維問(wèn)題的接觸分析已經(jīng)比較成熟，但對(duì)于三維問(wèn)題則應(yīng)用比較有限，其中的重要原因就是三維接觸判斷過(guò)于復(fù)雜，特別是允許出現(xiàn)大位移的三維接觸，目前還是一個(gè)有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題。剛體彈簧單元法：剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM)最早由Kawai于1976年提出，當(dāng)初提出的意圖是以較少的自由度來(lái)求解結(jié)構(gòu)問(wèn)題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系統(tǒng)聯(lián)系起來(lái)的剛性元，剛性元本身不發(fā)生彈性變形，因此結(jié)構(gòu)的變形能僅能儲(chǔ)存在接觸面的彈簧系統(tǒng)中。由于剛體彈簧元單元間的作用力通過(guò)單元界面上彈簧傳遞，可以直接得到界面的作用力，因此在極限分析等領(lǐng)域也有著較好的應(yīng)用。無(wú)網(wǎng)格法：傳統(tǒng)有限元需要構(gòu)造特定的單元網(wǎng)格來(lái)形成位置插值函數(shù)，是否可以讓計(jì)算機(jī)根據(jù)節(jié)點(diǎn)信息來(lái)“自動(dòng)”形成位移插值函數(shù)？無(wú)網(wǎng)格法可以實(shí)現(xiàn)。無(wú)網(wǎng)格法對(duì)函數(shù)的要求有：1、光滑連續(xù)；2、影響的節(jié)點(diǎn)有限。無(wú)網(wǎng)格法常用插值方法有：移動(dòng)最小二乘、核函數(shù)與徑向基函數(shù)。整體方程有配點(diǎn)法、最小二乘法、伽遼金法。伽遼金法是應(yīng)用最廣、最穩(wěn)定的無(wú)網(wǎng)格法之一。[5]五、當(dāng)今國(guó)際上有限元法的發(fā)展趨勢(shì)：從單純的結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算發(fā)展到求解許多物理場(chǎng)問(wèn)題有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來(lái),逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明，只要用于離散求解對(duì)象的單元足夠小，所得的解就可足夠逼近于精確值。所以近年來(lái)有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)等問(wèn)題的求解計(jì)算最近又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問(wèn)題。例如當(dāng)氣流流過(guò)一個(gè)很高的鐵塔時(shí)就會(huì)使鐵塔產(chǎn)生變形而塔的變形又反過(guò)來(lái)影響到氣流的流動(dòng)……這就需要用固體力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解,即所謂〃流固耦合〃的問(wèn)題。由求解線性工程問(wèn)題進(jìn)展到分析非線性問(wèn)題隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。例如建筑行業(yè)中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位移和大應(yīng)變等幾何非線性問(wèn)題;航天和動(dòng)力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力，也要考慮材料的非線性問(wèn)題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn)，僅靠線性計(jì)算理論就不足以解決遇到的問(wèn)題,只有采用非線性有限元