第十章行波法和分離變量法

本征值問題(P198)2/1/20231第十章簡介本章是本課程的重要內(nèi)容.本章講授中應(yīng)特別注意：體現(xiàn)思想,體現(xiàn)方法，培養(yǎng)學(xué)生對問題的整體把握能力；同時講清分析問題解決問題過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，提高學(xué)生的邏輯推理能力.基本內(nèi)容：重點內(nèi)容:是掌握分離變數(shù)法的思想方法和主要步驟，加深對本征值問題的理解.本章難點:分離變數(shù)法及本征值問題.2/1/20232第十章§10.1一維無界區(qū)域的自由振動問題達朗貝爾公式

常微分方程的解法：通常先求方程的通解，再由定解條件確定通解中的常數(shù)；或者將方程和定解條件作為整體求解.

1行波法和達朗貝爾公式2解的物理解釋2)定解問題作為整體，用分離變數(shù)法求解是基本方法(此外還有變分法、積分變換法、格林函數(shù)法).偏微分方程:1)先求通解，再由定解條件定出定解問題的解，此法有局限性，2/1/20233第十章1行波法和達朗貝爾公式作變量替換

∴2/1/20234第十章先對積分再對積分通解：代入初始條件：∴達朗貝爾公式，適用于一維無界區(qū)域的自由波動問題.—達朗貝爾公式2/1/20235第十章2解的物理解釋

相對軸不動，而軸相對軸以速度沿正向運動2/1/20236第十章f1(x-at):是以初始波形f1(x)、速度a沿x軸正向傳播的行波;類似f2(x+at):是以初始波形f2(x)、速度a沿x軸負向傳播的行波.]激起的波初始位移分布一分為二二者迭加即為其解.、如，初始位移分布[即2/1/20237第十章§10.2一維半無界區(qū)域的自由振動問題

初始條件的延拓（P200）1齊次邊界條件的效應(yīng)2非齊次邊界條件的情況3定解問題：從半無界區(qū)域到有界區(qū)域

一維無界是指振動未傳播到端點時，振動已可以忽略，此系統(tǒng)可視為無界的，若振動傳播到邊界處時振動必須考慮，則此系統(tǒng)為有界的.半無界問題是初始波動距一端較近，即必須考慮該端點的反射情況，而另一端則較遠，而不需考慮其反射的影響.2/1/20238第十章1.1x=0處為第一類齊次邊界不能直接運用達朗貝爾公式,其次x=0端固定,若將其視為一維無界區(qū)域的自由振動,解u(x,t)一定是x的奇函數(shù).這意味著可對定解問題進行奇延拓(詳細論證見P201)真實存在的區(qū)域是所以下只考慮的情形即1齊次邊界條件的效應(yīng)2/1/20239第十章而，則半無界波動與一維無界波動在區(qū)域相同；與一維無界不同，固定端點x=0對x≠0處的影響需要經(jīng)歷的時間才能傳播到.以、為例，向左傳播的行波向右傳播的行波

在端點x=0處反射波同入射波差一負號，即位相相反—這表明固定端反射波有半波損失.固定端為波節(jié).在端點此波確切說是向左傳播的波在端點反射的結(jié)果2/1/202310第十章2/1/202311第十章1.2在齊次邊界條件情況—類似1.1，作偶延拓在自由端點反射時無半波損失，在端點出現(xiàn)波腹.2/1/202312第十章2非齊次邊界條件的情況如據(jù)迭加原理：令和求解已如上述，的求解如下：2/1/202313第十章1)波動是由引起,故在解的形式只能是或2)就x點來說，時，端的擾動尚未到達此處仍處于平衡，3)∴的區(qū)域只有向右傳播的波，故;2/1/202314第十章3定解問題：從半無界區(qū)域到有界區(qū)域無界區(qū)域，應(yīng)用達朗貝爾公式.是不方便的，甚至是不可能的.半無界在x=0端為齊次邊界條件時，反射波與入射波疊加形成波節(jié)或波腹，若有界區(qū)域兩個端點都是齊次的，入射波與反射波迭加的結(jié)果使兩端成為波動的波節(jié)或波腹，這表明在兩端為齊次邊界的有界區(qū)域內(nèi)的波動將形成駐波，其形式為沿此思路求解有界區(qū)域定解問題→分離變量法.半無界區(qū)域有界區(qū)域無界區(qū)域上波動，再應(yīng)用達朗貝爾公式，2/1/202315第十章思考與討論題1.方程utt-a2uxx=0(-∞<x<∞)的通解為什么會有兩個任意函數(shù)？它們各具有怎樣的形式和怎樣的物理意義？由什么確定它們的具體函數(shù)形式？1.d’Alembert公式可否直接用于求解一維半無界區(qū)域自由波動問題？這類問題如何求解？作業(yè)：p223：10.1，10.32/1/202316第十章§10.3一維有界區(qū)域自由振動問題的駐波解

分離變量法(P204)1分離變量法2分離變量法的幾點說明和主要步驟2/1/202317第十章長為l兩端固定弦的自由振動上節(jié)末的分析及物理知識告訴我們，該系統(tǒng)的穩(wěn)定振動應(yīng)是駐波，即可能的解是變量分離形式的.將方程(1)和齊邊邊界條件(2)的變數(shù)分離,(兩邊分別是獨立變量t和x的函數(shù)，只能為同一個常數(shù)).（5）（4）(4)式代入(1)式：（6）1)分離變數(shù)，令(4)式代入(2)式：否則給出平庸解∴(6)、(7)不同于一般的常微分方程問題，在方程中帶有待定常數(shù)λ,（7）1分離變量法稱其為本征值問題.2/1/202318第十章a)若則X(x)=0平庸解u(x,t)=0，不可能等于零；則c1=c2=0X(x)=0u(x,t)=0平庸解，故不可能b)設(shè)所以c)

(否則給出平庸解),則

本征值：屬于本征值的本征函數(shù)：

考慮到所有本征函數(shù)應(yīng)是非零、彼此線性獨立和方便，本征值和本征函數(shù)中的n=1,2,3,….（8）（9）2)解本征值問題：給出可能的非平庸解2/1/202319第十章將(8)代入(5),得(n=1,2,3,…)(9)、(10)代回(4)式，得本征解物理意義：波長為圓頻率為的駐波，有n+1個節(jié)點(包括端點在內(nèi)),n=1時稱為基波，的稱為n次諧波，un(x,t)(n=1,2,3,…)是該系統(tǒng)中可能存在的駐波模式，或是泛定方程(1)在齊次邊界條件(2)下的所有可能解.其解

（10）(n=1,2,3,…)3)本征解2/1/202320第十章根據(jù)疊加原理∴注：a)上述解法稱為分離變量法或駐波法b)本征函數(shù)族具有正交完備性(m=1,2,3,…)4)一般解定系數(shù)2/1/202321第十章2分離變量法的幾點說明和主要步驟4)分離變數(shù)法中的幾個要點：分離變量時注意變量的獨立性，只考慮非平庸解；本征值問題：求出所有可能的非平庸且彼此線性獨立的解；每一個本征解是一個可能解，所有本征解的迭加是系統(tǒng)的一般解；利用本征函數(shù)族的正交模平方關(guān)系推導(dǎo)一般解中的待定系數(shù)公式.1)分離變量法的總思路：將偏微分方程問題常微分方程問題求解.

直接分離變量法要求：方程和邊界齊次，否則不能分離變量.2)本征值問題是分離變量法的核心和關(guān)鍵.3)分離變量法是求解偏微分方程的基本方法之一，不只適用于波動,也適用于輸運問題和穩(wěn)定場，不只適用于有界系統(tǒng)，也適用于無界系統(tǒng).具體步驟已如1中所述不再重復(fù).2/1/202322第十章[例1]長為l的均勻細桿，側(cè)面是絕熱的，桿的x=0端保持為零度，另一端(x=l)按牛頓自由冷卻定律與外界進行熱交換，設(shè)外界溫度恒為零，已知桿的初始溫度分布是f(x).求桿上的溫度變化.其中(b是自由冷卻系數(shù)，k是熱傳導(dǎo)系數(shù)),2)設(shè)(4)式代入(1)式：（5）(4)式代入(2)式，（7）（4）（6）解:1)u(x,t)為x點t時時刻的溫度，定解問題為2/1/202323第十章3)本征值問題引入量綱為1的量:則(8)化為為超越方程，運用作圖法，可給出其正值解本征值：相應(yīng)的本征函數(shù)：(本征值給出平庸解，故不考慮).（8）

（9）（10）2/1/202324第十章(9)代入(5):→5)一般解并定系數(shù)可證：[其中用到了式（11）而

4)本征解：(11)代入(3):2/1/202325第十章[例2]邊長為l1、l2的矩形薄板，兩板面不透熱，它的一邊y=l2為絕熱，其余三邊保持為零度，設(shè)板的初始溫度分布是f(x,y).求板內(nèi)的溫度變化.2)分離變量，設(shè),x、y、t彼此獨立，可令則(7)(6)不考慮平庸解（8）

（9）解:1)定解問題

（4）(5)(4)代入(1):

(4)代入(2):

2/1/202326第十章(6)與(8)本征值相應(yīng)本征函數(shù)(7)與(9)本征值相應(yīng)本征函數(shù)、代入(5)并解之，得∴4)本征解、一般解3)解本征值問題將(n=1,2,…；m=0,1,2,…)

2/1/202327第十章5)定系數(shù)∴(…；…).f(x,y)具體給定，由上式積分式可具體定出Cnm.∵2/1/202328第十章思考與討論題1.分離變數(shù)法的物理背景是什么？為什么能將未知函數(shù)表示為一元函數(shù)的乘積？2.分離變數(shù)法的主要步驟有哪些？你認為其中最關(guān)鍵的是哪一步？作業(yè)：p223：10.5，10.6，10.8，10.102/1/202329第十章§10.4非齊次邊界條件的齊次化(P211)分離變數(shù)法求解有界區(qū)域上的定解問題，要求物理邊界必須是齊次，對給定問題中的非齊次邊界，首先要轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的齊次邊界定解問題，才可進一步用分離變數(shù)法求解.非齊次邊界齊次化的基本思想：

選取滿足非齊次邊界條件的特解v(x,t)，并令

u=v(x,t)+w(x,t)將關(guān)于u的非齊次邊界定解問題→關(guān)于w的齊次方程、齊次邊界定解問題.注：該特解v(x,t)的選取是不唯一的.2/1/202330第十章解:1)定解問題2)選取特解使之滿足可設(shè)∴[例1]長為l、側(cè)面絕熱的均勻細桿的導(dǎo)熱問題,桿的x=0端保持恒溫

u0,另一端(x=l)有面積熱流量為q0的定常熱流進入,設(shè)桿的初始溫度分布是u0.求桿上的溫度變化.2/1/202331第十章3)令∴.2/1/202332第十章[例2]求半帶形區(qū)域(0≤x≤a,y≥0)內(nèi)的靜電勢，已知邊界x=0和y=0上的電勢都是零，而邊界x=a上的電勢保持為u0（常量）.2)選取特解使得顯然可取解:1)定解問題2/1/202333第十章3)令所以分離變量法,可得單由y=0處邊界，不足以定出兩套系數(shù)，=有限值”的自然邊界條件，有限值∴∴須同時考慮2/1/202334第十章[例3]求解長為的均勻其中A、ω都是常量.使之滿足據(jù)上可取特解解得∴解:1)取特解細桿的縱振動問題2/1/202335第十章2)令則

需要特別指出，對于像書上選取令關(guān)于據(jù)此而認為：“保持方程齊次化的前提條件下，并不是任何非齊次邊界條件都可以實現(xiàn)齊次化”的觀點有待商榷.的齊次邊界條件、非齊次泛定方程問題[P214（10.83)]，2/1/202336第十章§10.5本征函數(shù)法(P214)亦有的稱其為廣義傅立葉級數(shù)法或傅立葉級數(shù)法.2/1/202337第十章[例]1)方程(1)相應(yīng)齊次泛定方程(即情況)在齊次邊界(2),則可設(shè)該定解問題解的傅立葉級數(shù)展開式為（4）下的本征函數(shù)族為2/1/202338第十章2)將(4)式代入(1)式，得其中再將(4)式代入(3)式，得(6)其中

(5)(7)2/1/202339第十章比較(5)、(6)、(7)諸式兩端的系數(shù)，有本征函數(shù)法：1)唯一要求，邊界條件是齊次的.2)步驟：a)找出相應(yīng)齊次泛定方程對應(yīng)定解問題的本征函數(shù)族，用該本征函數(shù)族將定解問題待求的解展開成廣義傅立葉級數(shù)；b)將解的傅立葉級數(shù)展開式代入非齊次泛定方程和除齊次邊界外的其它定解條件→關(guān)于傅立葉級數(shù)展開式中待定系數(shù)函數(shù)的常微分方程問題；c)解出系數(shù)函數(shù)代回u(x,t)的傅里葉級數(shù)表達式.2/1/202340第十章[再如]據(jù)解的迭加原理，設(shè)，關(guān)于v的定解問題直接分離變數(shù)可求解，關(guān)于w的，當(dāng)f=0時的本征函數(shù)族為故設(shè)代回w(x,t)的傅里葉級數(shù)，即得解.2/1/202341第十章思考與討論題1.非齊次邊界條件齊次化的核心思想是什么？非齊次邊界條件齊次化的方法唯一嗎？在非齊次邊界條件齊次化的同時能否讓方程也是齊次的？2.本征函數(shù)法的主要步驟有哪些？該法的關(guān)鍵步驟是什么？該法適用于求解什么樣的定解問題？作業(yè)：p224：10.12，10.13，10.114，10.152/1/202342第十章§10.6施圖姆-劉維爾型方程的

本征值問題(P217)1本征值問題一般提法2本征值問題的一般性質(zhì)本征值問題是用分離變量法求解定解問題的核心，我們在物理上遇到的本征值問題都可歸結(jié)為施圖姆-劉維爾(簡記為S-L)型方程對應(yīng)的本征值問題，本節(jié)就來研究該類本征值問題的性質(zhì).2/1/202343第十章分離變量得到的二階線性齊次常微分方程是待定常數(shù)，以函數(shù)乘上式兩端后可化為施圖姆-劉維爾型方程

其中構(gòu)成本征值問題.為例，若，則稱為權(quán)重函數(shù).施圖姆-劉維爾型方程同如下的邊界條件下1)以端點1本征值問題一般提法2/1/202344第十章2)若即是的至少一階零點，則在處有自然邊界條件，證:若為方程的一個特解且滿足則由P173（8.141）式，另一特解為顯然這不符合物理的要求，故應(yīng)有條件的限制.，則有自然周期條件，[例]∵∴常數(shù)，相應(yīng)本征函數(shù)或本征值，相應(yīng)本征函數(shù)S-L型方程與其齊次邊界或自然周期或自然邊界條件構(gòu)成本征值問題.;，3)若其本征值2/1/202345第十章2本征值問題的一般性質(zhì)2.1所有本征值是非負的，即證:設(shè)是屬于本征值的本征函數(shù)，即有乘以后，積分顯然邊界(x=a、b)若是自然邊界、自然周期、第一類齊次邊界、第二類齊次邊界時，邊界(x=a、b)若是第三類齊次邊界，即(其中)，則.證畢在物理問題中，S-L方程中的k、q、ρ都是非負的.2/1/202346第十章2.2本征函數(shù)的節(jié)點……，且除周期性邊界條件外，屬于的本征函數(shù)的節(jié)點數(shù)目（周期性邊界條件是唯一存在簡并的情況）.比屬于的本征函數(shù)的節(jié)點數(shù)目多一個存在無限多個分離本征值2/1/202347第十章2.3帶權(quán)重正交:屬于不同本征值和的本征函數(shù)和在上帶權(quán)重正交，即().（1）注意到是實數(shù),得上式最后一步的證明類似于性質(zhì)(1)的證明，邊界為自然邊界、自然周期、第一類齊次邊界、或第二類齊次邊界時，是顯然的；證明:∵（2）=02/1/202348第十章邊界為第三類齊次邊界，

帶權(quán)重正交模