第六章

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法第六章IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握沖激響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法本章作業(yè)練習(xí)

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1(1)3456.1數(shù)字濾波器的基本概念一、濾波器的功能濾波器的功能是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波以增強(qiáng)所需信號(hào)部分，抑制不要的部分。a）時(shí)域說(shuō)明b）頻域說(shuō)明6.1數(shù)字濾波器的基本概念

二、數(shù)字濾波器的分類

經(jīng)典濾波器：

現(xiàn)代濾波器：

選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：FIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）三、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)：

為幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的幅度加權(quán)情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過(guò)濾波器后各頻率成分的信號(hào)延時(shí)情況6.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)（1）按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)（3）利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等（4）實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法 ：阻帶截止頻率（1）低通濾波器的容限圖6.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) ：通帶截止頻率 ：通帶紋波 ：阻帶紋波2.數(shù)學(xué)描述式（誤差）阻帶：過(guò)渡帶：通帶：通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當(dāng)時(shí)，稱為3dB通帶截止頻率（2）各種濾波器的幅度響應(yīng)的容限圖及技術(shù)指標(biāo)（2）各種濾波器的幅度響應(yīng)的容限圖及技術(shù)指標(biāo)（3）表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量a.幅度平方響應(yīng)

的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對(duì)稱的H(z)的極點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A內(nèi)的極點(diǎn)b.相位響應(yīng)相位響應(yīng)：（3）群延遲響應(yīng)相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器7.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器7.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法分類7.5用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一、設(shè)計(jì)思想：

s平面z平面 模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)，即s平面的左半平面Re[s]<0，映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<1二、設(shè)計(jì)要求：7.5.1概述三、設(shè)計(jì)方法：-沖激響應(yīng)不變法-階躍響應(yīng)不變法-雙線性變換法7.5.2沖激響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)（1）、變換原理T—抽樣周期（2）、混迭失真僅當(dāng)數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為

實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會(huì)混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率給定時(shí)，不能通過(guò)提高抽樣頻率來(lái)改善混迭現(xiàn)象（3）、模擬濾波器的數(shù)字化方法系數(shù)相同：極點(diǎn)：s平面z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面不是所有的點(diǎn)都按照上述映射關(guān)系。當(dāng)T很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：由于：試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則模擬濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：（4）、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng) 時(shí)域逼近良好頻率保持線性關(guān)系：解：沖激響應(yīng)不變法：例：用沖激響應(yīng)不變法將以下變換為抽樣周期為T。，（1）將部分分式分解：經(jīng)沖激響應(yīng)不變法變換后得：7.5.3階躍響應(yīng)不變法（1）變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng) T—抽樣周期階躍響應(yīng)不變法同樣有頻率響應(yīng)的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應(yīng)不變法要小。7.5.4雙線性變換法（1）變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近 缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù)c（2）變換常數(shù)c的選擇b.某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：a.低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置c.逼近情況1）

s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)

s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上d.優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換缺點(diǎn)：

除了零頻率附近，與之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器e.模擬濾波器的數(shù)字化方法f.預(yù)畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器例：設(shè)有一模擬濾波器抽樣周期，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)解：由變換公式及，，可得可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)7.6常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器貝塞爾Bessel濾波器橢圓Ellipse濾波器7.6.1由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸特點(diǎn)：極點(diǎn)成象限對(duì)稱1）由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的s平面函數(shù)2）將因式分解，得到各零極點(diǎn)3）對(duì)比和，確定增益常數(shù)4）由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K07.6.2Butterworth低通逼近(1)幅度平方函數(shù)N取正整數(shù)，表示濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率兩個(gè)參數(shù):(2).幅度函數(shù)的特點(diǎn)：

（2）

（3）

通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小

（4）過(guò)渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小

（1）稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬通帶內(nèi)，N值越大，衰減越慢，幅度越平坦；阻帶內(nèi)，N值越大，衰減越快。Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：(3)系統(tǒng)函數(shù)的求解a.極點(diǎn)分布特點(diǎn)極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)；

極點(diǎn)間的角度間隔為

極點(diǎn)不落在虛軸上；N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)（2）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：（3）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：其中技術(shù)指標(biāo)給出或由下式求出：阻帶指標(biāo)有富?；蛲◣е笜?biāo)有富裕寫出系統(tǒng)函數(shù)例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T=1sa）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)4）將展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù) 用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無(wú)混迭問(wèn)題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)4）將變換成Butterworth數(shù)字濾波器：三、Chebyshev低通逼近N：濾波器的階數(shù)1.幅度平方函數(shù)：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項(xiàng)式三個(gè)參數(shù)：

2.幅度函數(shù)特點(diǎn)：通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏

3.三個(gè)參量的確定：通帶截止頻率，給定：表征通帶內(nèi)波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高為阻帶截止頻率4.確定系統(tǒng)函數(shù)（1）極點(diǎn)分布特點(diǎn)（2）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：其中：5.濾波器的設(shè)計(jì)步驟 歸一化：確定技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N及：其中：由下式求出：求出極點(diǎn)：根據(jù)N確定系數(shù)，寫出系統(tǒng)函數(shù)例：用雙線性變換法設(shè)計(jì)Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù)3）設(shè)計(jì)Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點(diǎn)c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：②將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)小結(jié)：利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率①確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法③按模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器④將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法四、設(shè)計(jì)IIR型濾波器的頻率變換法例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為：設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設(shè)數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應(yīng)不變法來(lái)設(shè)計(jì)。解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計(jì)算ZT得五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實(shí)函數(shù)將左半平面的的極點(diǎn)歸Ha(s)將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點(diǎn)分布由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱的s平面函數(shù)對(duì)比和，確定增益常數(shù)由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K01）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見(jiàn)模擬濾波器設(shè)計(jì)幅度平方函數(shù)：當(dāng)稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過(guò)渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當(dāng)W＝Wst（阻帶截止頻率）時(shí)，衰減的d1為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn)極點(diǎn)間的角度間隔為極點(diǎn)不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)Ha(s)Ha(-s)的零極點(diǎn)分布(a)N=4(三階）(b)N=4（四階）3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標(biāo)：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標(biāo)Wc給出或由下式求出： 其中極點(diǎn)：去歸一化阻帶指標(biāo)有富裕或通帶指標(biāo)有富裕例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T=1sa）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出的Butterworth濾波器2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：a）確定參數(shù) 用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無(wú)混迭問(wèn)題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點(diǎn)（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2）切貝雪夫?yàn)V波器（Chebyshev）N：濾波器的階數(shù)Wc：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項(xiàng)式TypeIChebyshevN為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0Chebyshev濾波器的三個(gè)參量：Wc：通帶截止頻率，給定

e：表征