無定向?qū)Ь€的計算及精度分析[摘要]：本文結(jié)合公式推導(dǎo)介紹了無定向?qū)Ь€的計算方法、平差原理及精度分析，并且通過與單一附合導(dǎo)線進行精度分析比較后提出無定向?qū)Ь€在實際應(yīng)用中應(yīng)注意的問題。[關(guān)鍵詞]：無定向?qū)Ь€；計算；精度；應(yīng)用0引言在測量工作中，由于光電測距技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)線測量已成為布設(shè)平面控制測量的主要方法。但是有時由于條件的限制，在起始于兩個高級點的附合導(dǎo)線端點上無法觀測方位連接角，即沒有起始方位角，我們稱之為無定向?qū)Ь€。利用這種導(dǎo)線解決低等平面控制測量的困難較為方便。以下結(jié)合公式推導(dǎo)來介紹無定向?qū)Ь€的計算及其應(yīng)用。1計算方法及平差原理1.1計算方法如圖一，設(shè)M(1)、N(n+1)為兩個已知坐標(biāo)點，2、3、…、n為無定向?qū)Ь€的待求點，觀測了s1、s2、…、sn共n條邊和2、3、…、n共（n-1）個方向角。當(dāng)導(dǎo)線用于測圖控制時，一般采用近似平差，仿照線形鎖的計算法，先假設(shè)起始邊方位角為1，以M點為起算坐標(biāo)點，按支導(dǎo)線法推算出終點N的假坐標(biāo)，利用M點和N點的真假坐標(biāo)按坐標(biāo)反算計算出MN的真方位和假方位并求出真假方位角的差值，再計算真方位角，最后計算各待求點的真坐標(biāo)，這是常用的方法。另外，還可以按照坐標(biāo)換算公式來計算，如圖二，可以看出：（1）i=1+180(n-1)+i（2）式中XM、YM；XN、YN為起終點坐標(biāo)，i為各條導(dǎo)線邊的方位角。將(2)代入(1)整理后得：（3）結(jié)合圖二可以看出：（4）其中：1=s1，1=0；2=-s2×cos2，2=-s2×sin2；3=s3×cos(2+3)，3=s3×sin（2+3）；…n=sn×cos（2+3+…+n），n=sn×sin（2+3+…+n）。可以簡化為：（5）在（5）式中對導(dǎo)線的奇數(shù)邊、取正號，偶數(shù)邊取負(fù)號。解（3）式可以求得：（6）根據(jù)（3）式，對于導(dǎo)線上的任一點可以得出求坐標(biāo)增量的一般公式：（7）（3）式是當(dāng)坐標(biāo)原點重合時的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，為假定坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)（如圖二）。求出i、i、1后按坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式求出坐標(biāo)增量和各點的坐標(biāo)。1.2平差原理根據(jù)圖二可以得到如下恒等式：（8）根據(jù)（8）式可以列出條件方程式：（9）上式中、為按觀測值計算出的、值。、為、的改正數(shù)，=2＋2－S2為法方程自由項，組成法方程式解得：（10）按、的絕對值計算、的改正數(shù)：（11）求出、、、的最終值：（12）最后，由、計算cos1、sin1，再由(7)式計算各點的坐標(biāo)增量和各點的最終坐標(biāo)值。2無定向?qū)Ь€精度分析經(jīng)過實踐，無定向?qū)Ь€的計算是比較方便，也解決了具體工作中的不少困難，但它的精度到底如何，以下通過與單一附合導(dǎo)線進行比較來分析無定向?qū)Ь€的精度情況。如圖一，為了方便推導(dǎo)公式，以M點為坐標(biāo)原點，以導(dǎo)線的方向MN作為X軸，采用帶有未知數(shù)的條件平差。根據(jù)圖一可以看出有縱橫坐標(biāo)條件和方位角未知數(shù),可以列出帶有未知數(shù)的條件方程式:（13）式中、，、為條件方程式邊長、角度改正數(shù)的系數(shù)，而且，si=cosi，?i=yi/，si=sini，?i=(XN－xi)/；、、分別為邊長、角度、未知數(shù)的改正數(shù)，、為縱、橫坐標(biāo)的閉合差。以等邊直伸導(dǎo)線為例，條件方程式（13）的系數(shù)如下：代入（13）式得到等邊直伸導(dǎo)線帶有未知數(shù)的條件方程式：（14）利用聯(lián)系數(shù)，由條件方程式（14）可組成法方程式：用等邊直伸導(dǎo)線條件方程式的系數(shù)求法方程的系數(shù)得到：代入得等邊直伸無定向?qū)Ь€的法方程式：(15)現(xiàn)在利用上述平差計算公式來推導(dǎo)等邊直伸無定向?qū)Ь€的精度估算公式。根據(jù)平差值權(quán)函數(shù)式一般式：得到平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)為：(16)用等邊直伸無定向?qū)Ь€條件方程系數(shù)及法方程系數(shù)代入得：(17)將（17）代入（16）后得平差值函數(shù)權(quán)倒數(shù)為：(18)以下根據(jù)(18)式分別推導(dǎo)等邊直伸無定向?qū)Ь€方位角及縱、橫坐標(biāo)的權(quán)倒數(shù)公式來進行精度估算。2.1方位角精度估算導(dǎo)線任意邊方位角權(quán)函數(shù)式為：考慮(14)式得：[f]=0[f]=s/2ρ(i-1)(2n-i)[ff]=i-1f=1代入(18)式得任意邊方位角權(quán)倒數(shù)：=（19）(19)式中，當(dāng)i=1或i=n時，1/Pi有最大值，即==（20）對(19)式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于0得：2i-(n+1)=0,即當(dāng)i=(n+1)/2時，有最小值=(n-1)(2n-1)/6n-(n-1)2/4n（21）從（20）、(21)式可以看出，無定向?qū)Ь€的端邊方位角最弱，中央邊方位角精度最高。2.2任意點縱向坐標(biāo)精度估算導(dǎo)線任意點縱坐標(biāo)權(quán)函數(shù)式為：Xi+1=cosi·Si=Si考慮（14）式得，[f]=i,[f]=0,[ff]=i,f=0,代入（18）式得平差后任意點縱坐標(biāo)的權(quán)倒數(shù)公式：=i-（22）當(dāng)i=0或者i=n時，權(quán)倒數(shù)有最小值==0（23）對(22)式求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于0，則有1-=0，即i=時，權(quán)倒數(shù)最大：=（24）從（23）、（24）式可以看出導(dǎo)線中點縱向誤差最大，導(dǎo)線端點縱向誤差最小。2.3任意點橫向坐標(biāo)精度估算導(dǎo)線任意點橫坐標(biāo)的權(quán)函數(shù)公式為：VYi+1=Vi+V1,考慮(14)式得:,[f]=0,[f]=,f=。代入18式得平差后導(dǎo)線點橫坐標(biāo)權(quán)倒數(shù):=（25）當(dāng)i=0或i=n時，權(quán)倒數(shù)有最小值0，即==0（26）當(dāng)i=時，（25）式有最大值=（27）從(26)、(27)式可以看出導(dǎo)線中點橫向誤差最大,近端點處橫向誤差最小。3與單一附合導(dǎo)線精度的比較3.1最弱邊方位角權(quán)倒數(shù)比較單一附合導(dǎo)線最弱方位邊在導(dǎo)線的端邊,其權(quán)倒數(shù)為:=（28）兩種導(dǎo)線最弱邊方位角權(quán)倒數(shù)之比為:k=/=4-（29）由(29)式可以看出比值k隨著n的增大而增大,即為了提高精度，應(yīng)盡量減少邊數(shù)，布設(shè)長邊導(dǎo)線。3.2最弱點縱向權(quán)倒數(shù)比較單一附合導(dǎo)線縱向最弱點在導(dǎo)線的中點，其權(quán)倒數(shù)為:=（30）兩種導(dǎo)線縱向最弱點權(quán)倒數(shù)之比為:k=/=1（31）由（31）式可以看出兩種導(dǎo)線的縱向誤差是相同的。3.3最弱點橫向權(quán)倒數(shù)比較單一附合導(dǎo)線橫向最弱點也在導(dǎo)線的中點，其權(quán)倒數(shù)為:=（32）兩種導(dǎo)線縱向最弱點權(quán)倒數(shù)之比為:k=/=（33）由（33）式可以看出比值k隨著n的增大而增大