《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系》同步作業(yè)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．函數(shù)y＝log3x的反函數(shù)是()A．y＝logx B．y＝3xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x D．y＝x3B解析：∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函數(shù)y＝log3x的反函數(shù)是y＝3x，故選B.]2．函數(shù)f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則f－1(2)的值為()\f(1,2)\f(2,3)C．2D．4B解析由已知得f(x)＝ax＋1的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，∴4＝2a＋1，∴a＝eq\f(3,2).∴f(x)＝eq\f(3,2)x＋1.∴2＝eq\f(3,2)x＋1，∴x＝eq\f(2,3)，∴f－1(2)＝eq\f(2,3).3．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域?yàn)?)A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)C解析：y＝f－1(x)的定義域即為原函數(shù)的值域，∵3x＋1＞1，∴l(xiāng)og2(3x＋1)＞0.4．若指數(shù)函數(shù)y＝ax當(dāng)x<0時(shí)，有0<y<1，則在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與函數(shù)y＝logax的圖像是()A解析∵x<0時(shí)，y＝ax∈(0,1)，∴a>1.∴y＝logax單調(diào)遞增，y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x單調(diào)遞減．結(jié)合選項(xiàng)知，選A.3．函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域?yàn)?)A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)C解析：y＝f－1(x)的定義域即為原函數(shù)的值域，∵3x＋1＞1，∴l(xiāng)og2(3x＋1)＞0.]C解析：∵x>1，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，∴0<a<b，而y＝logx是減函數(shù)，∴l(xiāng)ogx<log1＝0.∴c<a<b.故選C.二、填空題6．函數(shù)y＝3x(0＜x≤2)的反函數(shù)的定義域?yàn)?1，9]解析：選B.由于反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，因?yàn)?＜x≤2，所以y＝3x∈(1，9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函數(shù)的定義域?yàn)?1，9]．7．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的反函數(shù)為g(x)，那么g(x)的圖像一定過點(diǎn)________．(1,0)解析：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的反函數(shù)為g(x)＝logx，所以g(x)的圖像一定過點(diǎn)(1,0)．8．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋a)的反函數(shù)為y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，則實(shí)數(shù)a＝________.3[函數(shù)f(x)＝log2(x＋a)的反函數(shù)為y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，則2＝log2(1＋a)，解得a＝3.]三、解答題9．求函數(shù)y＝2x＋1(x<0)的反函數(shù)．[解]因?yàn)閥＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.所以1<y<2.由2x＝y(tǒng)－1，得x＝log2(y－1)．所以f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2)．10．已知函數(shù)f(x)＝loga(2－x)(a>1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；(2)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f－1(x)；(3)判斷f－1(x)的單調(diào)性．[解](1)要使函數(shù)f(x)有意義，需滿足2－x>0，即x<2，故原函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，2)，值域?yàn)镽.(2)由f(x)＝y(tǒng)＝loga(2－x)，得2－x＝ay，即x＝2－ay.所以f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是減函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2.因?yàn)閒－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，因?yàn)閍>1，x1<x2，所以ax1<ax2，即ax1－ax2<0，所以f－1(x2)<f－1(x1)，所以y＝f－1(x)在R上是減函數(shù)．[等級(jí)過關(guān)練]1．將y＝2x的圖像________，再作關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖像，可得到函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖像()A．先向上平移一個(gè)單位長度B．先向右平移一個(gè)單位長度C．先向左平移一個(gè)單位長度D．先向下平移一個(gè)單位長度D解析：將y＝2x向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)＝2x－1，再作關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖像即可得到．故選D.2．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)＝lnx＋x－2的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的是()A．f(a)<f(1)<f(b)B．f(a)<f(b)<f(1)C．f(1)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(1)<f(a)A解析：分別作出函數(shù)y＝ex，y＝lnx，y＝2－x的圖像，如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)a<1<b，而函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以f(a)<f(1)<f(b)．3．函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函數(shù)是________．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1))解析：當(dāng)x<0時(shí)，y＝x＋1的反函數(shù)是y＝x－1，x<1；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝ex的反函數(shù)是y＝lnx，x≥1.故原函數(shù)的反函數(shù)為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1.))4．已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，其圖像經(jīng)過A(－4,1)，B(0，－1)兩點(diǎn)，f(x)的反函數(shù)是f－1(x)，則f－1(1)的值是________；不等式|f(x－2)|<1的解集是________．－4(－2,2)解析由題意，可知f－1(x)的圖像過點(diǎn)(1，－4)和點(diǎn)(－1，0)，∴f－1(1)＝－4；∵|f(x－2)|<1，∴－1<f(x－2)<1，即f(0)<f(x－2)<f(－4)，又f(x)為(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，∴－4<x－2<0，即－2<x<2，∴不等式|f(x－2)|<1的解集為{x|－2<x<2}．5．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．[解](1)要使函數(shù)有意義，必須ax－1>0，當(dāng)a>1時(shí)，x>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，x<0.∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)；當(dāng)0<a<1時(shí)