函數的應用(一)【教學目標】1.了解函數模型(如一次函數、二次函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用.2.能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題．3.通過建立函數模型解決實際問題，培養(yǎng)數學建模素養(yǎng).4.借助實際問題中的最值問題，提升數學運算素養(yǎng).【教學重點】能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題．【教學難點】能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題．【教學過程】新知初探常見的幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)分段函數模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))小試身手1．一個矩形的周長是40，則矩形的長y關于寬x的函數解析式為()A．y＝20－x,0<x<10 B．y＝20－2x,0<x<20C．y＝40－x,0<x<10 D．y＝40－2x,0<x<20[答案]A2．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是()A．一次函數模型 B．二次函數模型C．分段函數模型 D．無法確定C[由s與t的圖象，可知t分4段，則函數模型為分段函數模型．]3．某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1元，其銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品的最佳售價應為每個________元．60[設漲價x元，銷售的利潤為y元，則y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以當x＝10，即銷售價為60元時，y取得最大值．]例題講解一次函數模型的應用【例1】某廠日生產文具盒的總成本y(元)與日產量x(套)之間的關系為y＝6x＋30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒()A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套D[因利潤z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生產文具盒5000套．]方法總結1．一次函數模型的實際應用一次函數模型應用時，本著“問什么，設什么，列什么”這一原則．2．一次函數的最值求解一次函數求最值，常轉化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數a的正負，也可以結合函數圖象或其單調性來求最值．課堂練習1.如圖所示，這是某通訊公司規(guī)定的打某國際長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系圖象．根據圖象填空：①通話2分鐘，需要付電話費________元；②通話5分鐘，需要付電話費________元；③如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系式為________．①②6③y＝(t≥3)[①由圖象可知，當t≤3時，電話費都是元．②由圖象可知，當t＝5時，y＝6，需付電話費6元．③易知當t≥3時，圖象過點(3,，(5,6)，待定系數求得y＝(t≥3)．]二次函數模型的應用【例2】某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調查發(fā)現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式；(3)當每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？[思路點撥]本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)是一個一次函數關系，雖然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把問題看成一次函數模型的應用問題；平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)是一個二次函數關系，可看成是一個二次函數模型的應用題．[解](1)根據題意，得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因為w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以當x<60時，w隨x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以當x＝55時，w有最大值，最大值為1125.所以當每箱蘋果的售價為55元時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元．方法總結二次函數模型的解析式為gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函數建模中，它占有重要的地位.在根據實際問題建立函數解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數求最值最好結合二次函數的圖象來解答.課堂練習2．A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km，已知每個城市的供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數λ＝.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．(1)把A，B兩城月供電總費用y(萬元)表示成x(km)的函數，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用最?。甗解](1)由題意設甲城的月供電費用為y1，則y1＝λ×20x2.設乙城的月供電費用為y2，則y2＝λ×10×(100－x)2，∴甲、乙兩城月供電總費用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.∵λ＝，∴y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(2)由y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))2＋eq\f(50000,3)，則當x＝eq\f(100,3)時，y最?。十敽穗娬窘ㄔ诰郃城eq\f(100,3)km時，才能使供電總費用最?。侄魏瘮的Ｐ偷膽谩纠?】某公司生產一種產品，每年投入固定成本萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投資萬元，經預測可知，市場對這種產品的年需求量為500件，當出售的這種產品的數量為t(單位：百件)時，銷售所得的收入約為5t－eq\f(1,2)t2(萬元)．(1)若該公司的年產量為x(單位：百件)，試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量x的函數；(2)當這種產品的年產量為多少時，當年所得利潤最大？[解](1)當0<x≤5時，產品全部售出，當x>5時，產品只能售出500件．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2))－＋，0<x≤5，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(1,2)×52))－＋，x>5，))即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋－，0<x≤5，,12－，x>5.))(2)當0<x≤5時，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋－，所以當x＝(百件)時，f(x)有最大值，f(x)max＝25(萬元)．當x>5時，f(x)<12－×5＝(萬元)．故當年產量為475件時，當年所得利潤最大．方法總結1．分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏．2．分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．3．分段函數的值域求法：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論．課堂練習3．已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地．(1)把汽車離開A地的距離x(千米)表示為時間t(小時)的函數；(2)求汽車行駛5小時與A地的距離．[解](1)汽車以60千米/時的速度從A地到B地需小時，這時x＝60t；當<t≤時，x＝150；汽車以50千米/時的速度返回A地需3小時，這時x＝150－50(t－．所求函數的解析式為x＝eq\b\lc\{\rc\(\a