固體物理學(xué)復(fù)習(xí)（二）綜合分析題密積比，最近鄰原子間距和晶格常數(shù)

見習(xí)題1.1，1.2，1.7例：1）金剛石結(jié)構(gòu)原子密排方向[111],最近鄰原子間距：2R2Ra2）六角密積結(jié)構(gòu)（hcp)六棱柱狀晶胞內(nèi)原子數(shù)：12×1/6+2×1/2+3=6

例1：求晶面交線的晶向:(111)與(100)，(111)與(110)。解：設(shè)兩晶面交線的晶向?yàn)閇uvw]，由于晶面上任一直線均與晶面法向正交，故有：因此，(111)與(100)交線的晶向?yàn)椋阂妶Da)；晶列、晶向、晶面

同理，(111)與(110)交線的晶向?yàn)椋篴)b)見圖b)；例2：已知立方晶系晶體的晶格常數(shù)為a，請(qǐng)標(biāo)出如下晶列和晶面：［010］，［101］，［121］；（010），（121），（123）。Oabc[010][101][121]ABCDE所求晶列如圖：[010]—OB；[101]—OD；[121]—OE.

所求晶面如圖：（010）—BDEF；（121）—AGC；（123）—AGH。Oabc(010)ABCDEFGH例3：如圖為一立方晶胞，已知H[[1/3,0,0]],I[[0,1/2,0]]。請(qǐng)標(biāo)出晶面OAGB、AGFE、CDEF、ABDF、CHI和ABC的面指數(shù)。OAGB—（001）AGEF—（100）CDEF—（001）ABDF—（110）CHI—（321）ABC—（111）OABCGEFDHI倒格子與布里淵區(qū)例：已知三維晶體之原胞基矢為：

試求：1）倒格子基矢及倒格子原胞體積；2）晶面（210）之面間距；畫出以為基矢的二維格子的前三個(gè)布里淵區(qū)。解：1)由定義:

所以，倒格子基矢為：

倒格子原胞體積：2)晶面（210）之面間距：3）畫第一、二、三布里淵區(qū)a)由倒格子基矢：周期性平移作出倒格子（倒點(diǎn)陣）如圖；ijb1b2jib1b2b)作最近鄰倒格點(diǎn)的中垂線，如圖中紅線；c)作次近鄰倒格點(diǎn)的中垂線，如圖中藍(lán)線；ijb1b2d)取中垂線圍成的封閉區(qū)域；ijb1b2第一布區(qū)第二布區(qū)第三布區(qū)e)按布區(qū)定義分別確定第一、第二和第三布區(qū)：倒格矢中垂線圍成的最小區(qū)域?yàn)榈谝徊紖^(qū)，跨越第一布區(qū)的邊界所能到達(dá)的區(qū)域?yàn)榈诙紖^(qū)，跨越第二布區(qū)的邊界所能到達(dá)的區(qū)域?yàn)榈谌紖^(qū)，各區(qū)面積之和等于倒格子原胞面積；如圖。晶體衍射例：某立方晶系的Cu粉末衍射中，衍射角有：求衍射晶面的密勒指數(shù)(hkl)。問立方晶體屬何種點(diǎn)陣？解：1)由布拉格公式：

∴衍射面指數(shù)分別為(111),(200),(220),(311),(222),(400),(331),(420)。2)立方晶體的結(jié)構(gòu)因子分別為：SC：，不會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)消光bcc：當(dāng)面指數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)消光。fcc：fcc當(dāng)h,k,l部分奇偶時(shí)，F(xiàn)hkl=0，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)消光。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，樣品的衍射峰對(duì)應(yīng)的面指數(shù)全為奇數(shù)或全為偶數(shù)，沒有出現(xiàn)面指數(shù)為奇偶混雜晶面之衍射峰，因此，樣品應(yīng)為面心立方晶體。由XRD實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析實(shí)際晶體的結(jié)構(gòu)或進(jìn)行物相分析，甚至定量分析，現(xiàn)已發(fā)展成一門獨(dú)立的學(xué)科，即X射線固體學(xué)。例：晶體互作用能試求1)平衡間距r0；2)結(jié)合能W（單個(gè)原子）；3)若取m=2,n=10,r0=3A,W=4eV,求α和β。解：1)晶體互作作用能2)

若取m=2,n=10,r0=3A,W=4eV,求α和β。由最近鄰平衡間及結(jié)合能表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算：Lennard-Jones勢(shì)例：惰性元素晶體是最簡(jiǎn)單的分子晶體，原子間的相互作用能可以用Lennard-Jones勢(shì)描寫：1）說明式中參數(shù)σ和ε的物理意義。2）對(duì)fcc結(jié)構(gòu)的惰性元素晶體，證明平衡時(shí)原子間的最近鄰距離r0=1.09σ,每個(gè)原子的內(nèi)聚能為u=-8.6ε.解：1）參數(shù)σ和ε的物理意義r<r0,u是排斥勢(shì)，r>r0,u是吸引勢(shì)，因此參數(shù)σ反映了排斥力的作用范圍，而ε則反映了吸引作用的強(qiáng)弱。2）最近鄰間距和結(jié)合能離子晶體互作用能

例：離子晶體互作用能中的排斥項(xiàng)C/Rn用指數(shù)形式Zλexp(-R/ρ)代替，問R0取什么值時(shí)兩種排斥能給出的結(jié)合能是相等的。解：由兩種表達(dá)式分別給出R0和U0為：即當(dāng)時(shí)，兩種形式給出的晶體結(jié)合能是相等的。例1：試求晶格常數(shù)為2a的一維布拉維格子晶格振動(dòng)的色散關(guān)系及模式密度。解：1)色散關(guān)系對(duì)于一維情況，原子的運(yùn)動(dòng)方程為，設(shè)試解為：

晶格振動(dòng)故，色散關(guān)系為：2）模式密度由色散關(guān)系，有又設(shè)例2：三維晶格光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有求證：頻率分布函數(shù)為：證明：當(dāng)時(shí)無實(shí)數(shù)解例3：有N個(gè)相同原子組成面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限下比熱正比于T2.解：二維布拉維格子有兩支色散關(guān)系，即兩支格波，設(shè)其傳播速度相同，均為v，由德拜模型，其色散關(guān)系為：晶格振動(dòng)能量：模式密度（頻率分布函數(shù)）和截止頻率：1)高溫極限與經(jīng)典的杜隆-珀替定律及實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果一致。2)低溫極限

高溫下與經(jīng)典的杜隆-珀替定律一致，高低溫極限下均及實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果一致。（積分與T無關(guān)）例1.根據(jù)狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與E+、E-對(duì)應(yīng)的本征態(tài)波函數(shù)，說明它們都代表駐波。并比較兩個(gè)電子云分布（即），說明能隙的來源，假設(shè)。解：設(shè)對(duì)應(yīng)的零級(jí)波函數(shù)為，即它們分別滿足零級(jí)近似方程

能帶理論由簡(jiǎn)并波函數(shù)組成系統(tǒng)新的零級(jí)近似波函數(shù)：取代入波函數(shù)，得到B=-A,同理取得到A=B，因此有：兩種情況下得到的都是駐波例2.電子周期場(chǎng)的勢(shì)能函數(shù)為其中a=4b,為常數(shù)（1）試畫出此勢(shì)能曲線，并求其平均值（2）用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)及第二個(gè)帶隙寬度。解:(1)勢(shì)能曲線如下圖所示，其中a=4b

V(x)xnana+bna-b(n+1)a(n-1)a(n+1)a-b(n+1)a+b(n-1)a-b(n-1)a+b勢(shì)能的平均值勢(shì)能的平均值（2）近自由電子近似中，勢(shì)函數(shù)傅里葉展式第n項(xiàng)的系數(shù)令將代入上式得所以，第一個(gè)帶隙寬度：第二個(gè)帶隙寬度例3.

已知某一維晶格周期為a，晶體的勢(shì)函數(shù)可表為：

試由近自由電子模型計(jì)算其第一和第二禁帶的寬度。解：由近自由電子模型，各禁帶的寬度，

而Vn是晶體勢(shì)函數(shù)V(x)的傅利葉級(jí)數(shù)展式第n項(xiàng)的系數(shù)。其值：

兩式比較，有：勢(shì)函數(shù)：例：試由緊束縛模型的結(jié)果，導(dǎo)出簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)晶體S電子的能譜，并求：1）能帶的寬度；2）k態(tài)電子的速度；3）能帶底部及能帶頂部附近電子的有效質(zhì)量。解：由緊束縛的結(jié)果：

簡(jiǎn)立方每個(gè)原子有六個(gè)最近鄰原子，其坐標(biāo)為：將最近鄰原子坐標(biāo)代入能譜表達(dá)式1)能帶寬度：

2）K態(tài)電子運(yùn)動(dòng)速度：

3)能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量。

由a)能帶底部位于將能譜在底部附近展開，有：與自由電子能譜比較，有b)能帶頂?shù)撞课挥?/p>

令式中將其帶入能譜表達(dá)式，并在帶頂附近展開：均為小量，與自由電子能譜比較，有：例4.用緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)。解：由緊束縛近似結(jié)果，s態(tài)電子的能譜：1）面心立方面心立方晶胞如圖，任取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，最近鄰格點(diǎn)有12個(gè)，其坐標(biāo)分別是：o將其代入能譜表達(dá)式的求和項(xiàng)，共有12項(xiàng)合并整理后有：2）體心立方晶胞如圖，任取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，有8個(gè)最近格點(diǎn)，其坐標(biāo)為：將其代入能譜表達(dá)式，化簡(jiǎn)后得到體心立方s態(tài)電子能譜：例4.證明面心立方晶體的s帶緊束縛近似下的E(k)，在沿著布里淵區(qū)幾個(gè)主對(duì)稱軸方向，可以約化為以下的形式1）沿ΓΧ2）沿ΓL3）沿ΓK4）沿ΓWzxyΓXKL面心立方的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)解：由緊束縛近似，面心立方S電子能譜為

1)將

代入上式得到

2)將

代入上式得到3)將

代入上式得到

4)將代入上式得到例：向銅中摻鋅，一些銅原子將被鋅原子所取代。采用自由電子模型，求鋅原子與銅原子之比為什么值時(shí)，費(fèi)米球與第一布里淵區(qū)邊界相接觸？（銅是面心立方晶格，單價(jià)，鋅是二價(jià)）解：設(shè)晶體中有N個(gè)Cu原子，向其中摻入x個(gè)