第10章結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算

§10-2單自由度體系的自由振動(dòng)§10-3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)§10-4阻尼對(duì)振動(dòng)的影響§10-5多自由度體系的自由振動(dòng)§10-6多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)§10-7小結(jié)

§10-1動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度學(xué)習(xí)內(nèi)容

結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算概念，動(dòng)力計(jì)算自由度，建立體系的運(yùn)動(dòng)方程；單自由度體系的自由振動(dòng)（頻率、周期和振幅的計(jì)算）；單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的的強(qiáng)迫振動(dòng)（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移計(jì)算）；阻尼對(duì)振動(dòng)的影響；有限自由度體系的自由振動(dòng)（頻率、振型及振型正交性）；有限自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移計(jì)算）；頻率、振型的近似計(jì)算方法。人類為了生產(chǎn)、生活的需要，需要采用天然或人工材料建造各種各樣的建筑物和構(gòu)筑物（結(jié)構(gòu)）。這些建筑物在使用過(guò)程中要受到各種外界作用（荷載）。在這些作用下，結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力、變形等（反應(yīng)）。為了節(jié)省造價(jià)、保證安全、提高壽命并有效地實(shí)現(xiàn)使用功能，需要控制結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，這就需要研究結(jié)構(gòu)、作用、反應(yīng)的關(guān)系。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)、動(dòng)荷載、結(jié)構(gòu)反應(yīng)三者關(guān)系的學(xué)科。都江堰震害圖片（“都江之春”框架結(jié)構(gòu)住宅樓）：

砼柱破壞，梁端無(wú)明顯破壞工業(yè)廠房交叉斜撐，保全了排架柱。一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)1.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的主要特征考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的最主要特征。

達(dá)朗伯原理動(dòng)靜法2.結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的原理和方法§10.1動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度

靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。

動(dòng)力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。1、數(shù)學(xué)處理復(fù)雜。2、動(dòng)力問(wèn)題必須建立與時(shí)間有關(guān)的一系列解答，靜力問(wèn)題具有單一解。3、結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)還與結(jié)構(gòu)的剛度分布、質(zhì)量分布、能量耗散等有關(guān)。動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的區(qū)別：動(dòng)荷載確定不確定風(fēng)荷載地震荷載其他無(wú)法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡(jiǎn)諧荷載非簡(jiǎn)諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動(dòng)荷載結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析隨機(jī)振動(dòng)分析二、動(dòng)荷載及其分類偏心質(zhì)量m,偏心距e,勻角速度θ慣性力:P=mθ2e,其豎向分量和水平分量均為簡(jiǎn)諧荷載.θtP(t)tPt簡(jiǎn)諧荷載（harmonicload）一般周期荷載(periodicload)1）周期荷載：隨時(shí)間作周期性變化。（轉(zhuǎn)動(dòng)電機(jī)的偏心力）2）沖擊荷載：短時(shí)內(nèi)劇增或劇減。3）隨機(jī)荷載：(非確定性荷載)荷載在將來(lái)任一時(shí)刻的數(shù)值無(wú)法事先確定。（如地震荷載、風(fēng)荷載）

P(t)t隨機(jī)荷載(randomload)PttrP突加荷載(Suddenlyappliedconstantload)P(t)ttrP爆炸荷載三、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的任務(wù)(1)提供任意給定結(jié)構(gòu)在任意動(dòng)荷載作用下進(jìn)行響應(yīng)分析的方法；(2)確定結(jié)構(gòu)固有動(dòng)力特性及結(jié)構(gòu)固有動(dòng)力特性、動(dòng)荷載和結(jié)構(gòu)響應(yīng)三者間的相互關(guān)系，即結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)規(guī)律；(3)為結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性設(shè)計(jì)和健康診斷提供依據(jù)。四、動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容

動(dòng)力計(jì)算的內(nèi)容：研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法。涉及到內(nèi)外兩方面的因素：(1）確定動(dòng)力荷載；(2）確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性；計(jì)算動(dòng)位移及其幅值；計(jì)算動(dòng)內(nèi)力及其幅值。本課程的內(nèi)容—基于桿系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)研究的問(wèn)題自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)計(jì)算內(nèi)容確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特征計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)與其它課程之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)以結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)作為結(jié)構(gòu)抗震、抗風(fēng)設(shè)計(jì)計(jì)算的基礎(chǔ)。五、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需獨(dú)立幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度。1）集中質(zhì)量法(methodoflumpedmess)mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖單自由度體系(singledegree-of-freedomsystem)三個(gè)自由度體系水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系多自由度體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡(jiǎn)化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)三個(gè)自由度三個(gè)自由度2）廣義坐標(biāo)法(generalizedcoordinate)3)有限元法（finiteelement）l

（2）與幾何組成分析中的自由度不同。

M=mlml有關(guān)自由度的幾點(diǎn)說(shuō)明：

（1）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。

（3）一般采用“集中質(zhì)量法”，將連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)研究（“廣義位移法”、“有限單元法”）。

（4）并非一個(gè)質(zhì)量集中點(diǎn)一個(gè)自由度（5）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無(wú)關(guān)。（6）可用加鏈桿的方法確定自由度。

（6）可用加鏈桿的方法確定自由度。2個(gè)自由度1個(gè)自由度2個(gè)自由度EIEIEIEIEI質(zhì)點(diǎn)體系自由度的幾種情況自由度為1a梁式桿（不計(jì)軸變）EIEIy1y1y2自由度為2EI=∞y1自由度為1y1y2自由度為2自由度與質(zhì)體的數(shù)目無(wú)關(guān)b彈簧支撐自由度為2y1y2EIEI彈簧和桁架桿不影響體系的自由度自由度為2EIEIc考慮軸變的桁架桿EIEIEAy1y21)平面上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)W=22)W=2彈性支座不減少動(dòng)力自由度3)計(jì)軸變時(shí)W=2不計(jì)軸變時(shí)W=1為減少動(dòng)力自由度，梁與剛架不計(jì)軸向變形。4)W=15)W=2自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍。6)W=27)W=1W=18)平面上的一個(gè)剛體W=39)彈性地面上的平面剛體W=310)W=211)12)W=13§10.2單自由度體系的自由振動(dòng)

自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過(guò)程中沒有動(dòng)荷載的作用。自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾。靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度1振動(dòng)方程的建立剛度法

體系在慣性力作用下處于動(dòng)態(tài)平衡。柔度法

質(zhì)體的動(dòng)位移等于質(zhì)體在慣性力作用下的靜位移。2振動(dòng)方程的解振動(dòng)微分方程改寫為初始條件通解動(dòng)位移為由y0引起的由v0引起的總位移將動(dòng)位移表達(dá)式改寫成單項(xiàng)式——初始相位角

——振幅（amplitudeofvibration）3結(jié)構(gòu)的自振周期和圓頻率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期頻率圓頻率完成一次振動(dòng)需要的時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)2π個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)ya計(jì)算公式的幾種形式自振周期的特性（1）自振周期與且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)。（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比；自振周期與剛度的平方根成反比。（3）兩個(gè)外形相似的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力性能基本一致,是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。4、簡(jiǎn)諧自由振動(dòng)的特性動(dòng)位移加速度時(shí)，其幅值分別為：慣性力例1

求圖示簡(jiǎn)支梁的自振周期和圓頻率解對(duì)于豎向振動(dòng)，柔度系數(shù)為例2

求圖示懸臂桿的水平和豎向振動(dòng)時(shí)的自振周期解（1）水平振動(dòng)當(dāng)桿頂作用水平力W時(shí)，桿頂?shù)乃轿灰茷椋?）豎向振動(dòng)當(dāng)桿頂作用豎向力W時(shí)，桿頂?shù)呢Q向位移為例3、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2據(jù)此可得：ω1?ω2?ω3=1?1.512

?

211l/32l/3ml/2lm1例例1θ例4、求圖示結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ例5、求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率。lEImk1k11k11k解：求

k例6.求圖示體系的自振頻率和自振周期。

解：柔度系數(shù)自振頻率

自振周期例7．圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計(jì),求其自振頻率。

解：自振頻率

求圖示剛架的自振頻率。不計(jì)柱的質(zhì)量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3例單自由度結(jié)構(gòu)體系運(yùn)動(dòng)方程的一般形式：

mk水平運(yùn)動(dòng)模型mk豎向運(yùn)動(dòng)模型mkm§10-3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（不計(jì)阻尼）強(qiáng)迫振動(dòng)——結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)，也叫受迫振動(dòng)。一.強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)方程或式中結(jié)構(gòu)的自振頻率式（10－11)為單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。單自由度體系在動(dòng)荷載下的振動(dòng)及相應(yīng)的振動(dòng)模型如圖示:y(t)mP(t)P(t)mymkyP(t)..kmEIlP(t)P

——荷載幅值——荷載頻率運(yùn)動(dòng)方程二、簡(jiǎn)諧荷載作用下的受迫振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程的建立及求解荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移運(yùn)動(dòng)方程的解為：按荷載頻率振動(dòng)按自振頻率振動(dòng)二階線性非齊次常微分方程通解：mEIlP(t)P

——荷載幅值——荷載頻率運(yùn)動(dòng)方程先求方程特解：

代入方程,可得二、簡(jiǎn)諧荷載作用下的受迫振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程的建立及求解齊次解：通解為：荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移積分常數(shù)由初始條件確定，設(shè)在t=0時(shí)的初位移和初速度均為零，則得運(yùn)動(dòng)方程的解為：（10－12）式（10-12）中第一項(xiàng)為動(dòng)荷載引起的振動(dòng);第二項(xiàng)為初始條件引起的自由振動(dòng)。實(shí)際上，由于阻尼的存在，自由振動(dòng)部分都很快衰減掉。自由振動(dòng)消失前的振動(dòng)階段稱為過(guò)渡階段。后來(lái)只按荷載頻率進(jìn)行的振動(dòng)階段為振動(dòng)的平穩(wěn)階段，稱為純受迫振動(dòng)或穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。按荷載頻率振動(dòng)按自振頻率振動(dòng)2.穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析穩(wěn)態(tài)振動(dòng)階段運(yùn)動(dòng)方程的解：最大動(dòng)位移：動(dòng)力系數(shù)：(magnificationfactor)當(dāng)動(dòng)荷載與慣性力共線時(shí),還有（1）動(dòng)位移的討論當(dāng)時(shí)，即動(dòng)位移與干擾力指向一致；當(dāng)時(shí)，即動(dòng)位移與干擾力指向相反。1）干擾力產(chǎn)生的動(dòng)力作用不明顯，因此可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。極限情況，即或，則。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時(shí)間變化，因此不存在振動(dòng)問(wèn)題。

2）共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率,使或。隨θ/ω的增大而增大。非齊次特解代入方程，得故分母為零失效令非齊次特解補(bǔ)充：共振時(shí)動(dòng)力位移會(huì)突然增大嗎?非齊次通解零初始條件★共振時(shí)，位移是隨時(shí)間逐漸增大。時(shí)間越短，位移越??；對(duì)于轉(zhuǎn)速高的機(jī)器，在啟動(dòng)或停車的過(guò)程中，應(yīng)迅速通過(guò)共振區(qū)。★利用共振振幅突出大的特點(diǎn)，不斷改變機(jī)器的轉(zhuǎn)速，可以測(cè)定自振頻率。故★三者同時(shí)達(dá)到最大值?！餅樨?fù)數(shù)時(shí)，位移和慣性力與動(dòng)荷載方向相反。★慣性力與位移總是同向。動(dòng)荷載、動(dòng)位移、慣性力三者的關(guān)系體系處于靜止?fàn)顟B(tài)3）為減函數(shù)通過(guò)改變頻比可增加或減小振幅。若要使振幅降低,應(yīng)采取何種措施?應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)構(gòu)的自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；（剛性方案）（2）降低振幅的措施－頻率比應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。（柔性方案）

3.動(dòng)位移幅值（振幅）和動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算計(jì)算步驟：（1）計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；（2）計(jì)算動(dòng)荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)引起的位移和內(nèi)力；（3）將位移和內(nèi)力分別乘以動(dòng)力系數(shù)得動(dòng)位移幅值和動(dòng)內(nèi)力幅值。例.求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移。解：Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4最大動(dòng)位移最大動(dòng)彎矩跨中最大彎矩跨中最大位移例有一簡(jiǎn)支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中點(diǎn)有電動(dòng)機(jī)重量Q=35kN，轉(zhuǎn)速n=500r/min。由于具有偏心，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為Psinθt。忽略梁的質(zhì)量，試求強(qiáng)迫振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)和最大撓度和最大正應(yīng)力。梁長(zhǎng)l=4m.解：1）求自振頻率和荷載頻率

2）求動(dòng)力系數(shù)β175.6MPaI22b3570cm4357039.739.71.3552.3/57.4=0.91325149.2例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1求梁中點(diǎn)的動(dòng)位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ydmaxMdmax在挑梁上有一電動(dòng)機(jī)，擾力的幅值為P=4.9kg，轉(zhuǎn)數(shù)為n=1200轉(zhuǎn)/分，質(zhì)量為m=123kg。梁截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=78cm4，彈性模量為E=2.1×106kg/cm2，長(zhǎng)為l=1m。試求梁端最大動(dòng)位移和動(dòng)彎矩圖。1m解（1）自振圓頻率（2）頻率比（3）靜位移和動(dòng)力系數(shù)（4）梁端最大動(dòng)位移（5）固定端最大動(dòng)彎矩★動(dòng)內(nèi)力是動(dòng)荷載和慣性力共同作用下產(chǎn)生的.慣性力幅值動(dòng)荷載幅值靜彎矩圖動(dòng)彎矩幅值圖最大位移和最大內(nèi)力的計(jì)算振動(dòng)體系的最大位移為最大動(dòng)位移與靜位移之和；振幅為動(dòng)位移的幅值（最大動(dòng)位移）；最大內(nèi)力為最大動(dòng)內(nèi)力與靜內(nèi)力之和。最大動(dòng)位移和最大動(dòng)內(nèi)力要考慮動(dòng)力系數(shù)的影響；動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力有正負(fù)號(hào)的變化，在與靜位移和內(nèi)力疊加時(shí)應(yīng)予以注意。

ty鋼筋混凝土樓板自由振動(dòng)試驗(yàn)曲線

振動(dòng)過(guò)程中引起能量損耗的因素稱為阻尼。10-4阻尼(damping)對(duì)振動(dòng)的影響自由振動(dòng)衰減與構(gòu)件固有頻率的關(guān)系忽略阻尼影響時(shí)所得結(jié)果能不能反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律。大體上忽略阻尼的振動(dòng)規(guī)律考慮阻尼的振動(dòng)規(guī)律結(jié)構(gòu)的自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，與外因無(wú)關(guān)。簡(jiǎn)諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。自由振動(dòng)的振幅永不衰減。自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減。共振時(shí)的振幅趨于無(wú)窮大。共振時(shí)的振幅較大但為有限值。產(chǎn)生阻尼的原因：結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻力。考慮阻尼的振動(dòng)模型ykykmP(t)P(t)y動(dòng)平衡方程：1、有阻尼的自由振動(dòng)(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設(shè)解為：特征方程為：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情況.........cae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無(wú)阻尼y-t曲線①阻尼對(duì)自振頻率的影響.②阻尼對(duì)振幅的影響.振幅ae-ξωt隨時(shí)間衰減。ae-ξωttyty低阻尼y-t曲線無(wú)阻尼y-t曲線①阻尼對(duì)自振頻率的影響.當(dāng)ξ<0.2,則0.96<ωr/ω<1在工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題中0.01<ξ<0.1可近似取.②阻尼對(duì)振幅的影響.振幅ae-ξωt隨時(shí)間衰減.相鄰兩個(gè)振幅的比振幅按等比級(jí)數(shù)遞減.稱為振幅的對(duì)數(shù)遞減率.(logarithmicdecrement)

設(shè)yk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅則:經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后,相鄰兩振幅yk和yk+1的比值的對(duì)數(shù)為:2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動(dòng)性。工程中常用此方法測(cè)定阻尼確定體系阻尼比的一種方法體系的阻尼比可以通過(guò)測(cè)試體系運(yùn)動(dòng)的衰減規(guī)律得到：阻尼體系動(dòng)力反應(yīng)：體系從任一時(shí)刻經(jīng)幾個(gè)周期后的振幅比為：取對(duì)數(shù)后：（3-21）阻尼比：體系阻尼的測(cè)試：2）計(jì)算阻尼比：1）實(shí)測(cè)體系經(jīng)過(guò)個(gè)周期后的位移幅值比：3）計(jì)算阻尼系數(shù)：鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)：x=0.02~0.05;鋼結(jié)構(gòu)：x=0.002~0.02;拱壩：x=0.03~0.05;重力壩：x=0.05~0.1;土壩、堆石壩：x=0.1~0.2常用結(jié)構(gòu)的阻尼比臨界阻尼常數(shù)cr是ξ=1時(shí)的阻尼常數(shù)。（振與不振的分界點(diǎn)）(criticaldampingcoefficient)阻尼比。反映阻尼情況的基本參數(shù)。3)ξ>1強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問(wèn)題不常見。1=cr2、有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)（簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsinθt）+{Asinθt+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：自由振動(dòng)，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)，振幅和周期不隨時(shí)間而變.結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無(wú)論是否計(jì)入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp...（2）簡(jiǎn)諧荷載P(t)=Fsinθt設(shè)特解為：y=Asinθt+Bcosθt代入（17-34）得：+{Asinθt+Bcosθt}齊次解加特解得到通解：自由振動(dòng)，因阻尼作用，逐漸衰減、消失。純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)，振幅和周期不隨時(shí)間而變.結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無(wú)論是否計(jì)入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α)振幅:yp，最大靜力位移yst=F/k=F/mω2...β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)討論：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。②當(dāng)θ接近ω時(shí)，β增加的很快，ξ對(duì)β的數(shù)值影響也很大。

xb21=共振時(shí)③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時(shí)，而發(fā)生在，

β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)討論：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。②當(dāng)θ接近ω時(shí)，β增加的

xb21=共振時(shí)很快，ξ對(duì)β的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大地減小了受迫振動(dòng)的位移，因此,為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反應(yīng),阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)β的影響較小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時(shí)，而發(fā)生在，④由y=yPsin(θt－α)可見，只要有阻尼位移總滯后荷載

P=Fsinθt一個(gè)相位角α，但因ξ很小，可近似地認(rèn)為：當(dāng)θ<<ω時(shí),α→0°體系振動(dòng)得很慢，F(xiàn)I、R較小，動(dòng)荷主要由

S平衡，(即P與S反向)，S與y反向，y與P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。當(dāng)θ>>ω時(shí),α→180°體系振動(dòng)得很快，F(xiàn)I很大，S、R相對(duì)說(shuō)來(lái)較小，動(dòng)荷主要由FI平衡，F(xiàn)I與y同向，y與P反向；位移y、彈性力S，慣性力FI，阻尼力R分別為：...tqsinx21mFw2tFqsin-=kmwx22-=tymPqwqxsin2)-=tymFPI90）qqsin(2-=tkySPq),90sin(--=o當(dāng)θ=ω時(shí),α→90°由此可見：共振時(shí)（θ=ω），S與FI剛好互相平衡，βyst有無(wú)阻尼均如此。動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會(huì)出現(xiàn)位移為無(wú)窮大的情況。而在無(wú)阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力來(lái)平衡動(dòng)荷載，才出現(xiàn)位移為無(wú)限大的現(xiàn)象。k=mω2=mθ2...tycycRPqq90cos(--=-=o.=－P(t)⑤強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)的能量轉(zhuǎn)換振動(dòng)荷載Fsinθt在振動(dòng)一個(gè)周期所輸入的能量.在時(shí)間段dt內(nèi)在一個(gè)周期內(nèi).在時(shí)間段dt內(nèi)在一個(gè)周期內(nèi).粘滯阻尼力－cy

在振動(dòng)一個(gè)周期所消耗的能量....當(dāng)體系有阻尼時(shí),振動(dòng)過(guò)程中總有能量的損耗,為使振動(dòng)不衰減,就必須經(jīng)常補(bǔ)充以能量.當(dāng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí),UR=UP⑥彈性動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算一般方法:由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值，內(nèi)力也達(dá)到幅值。將位移達(dá)到幅值時(shí)刻的荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學(xué)方法求解。慣性力與位移同時(shí)達(dá)到幅值。荷載與位移無(wú)阻尼時(shí)同時(shí)達(dá)到幅值。有阻尼時(shí)位移總滯后荷載一個(gè)相位角α。比例算法:無(wú)阻尼單自由度體系且荷載作用在振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)上(動(dòng)荷載與慣性力共線)時(shí)，產(chǎn)生振幅yd的外力P為:這意味著，在位移達(dá)到幅值時(shí)，可用βF代替慣性力和荷載的共同作用（有無(wú)阻尼均如此）。βF產(chǎn)生的動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移是F產(chǎn)生的靜內(nèi)力和靜位移β倍。注意：位移達(dá)幅值時(shí)，速度為零，故阻尼力為零，計(jì)算時(shí)不必考慮阻尼力。EI=∞m例題：圖示一單層建筑物的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計(jì)為m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，測(cè)得側(cè)移A0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動(dòng)。再測(cè)得周期T=1.5s及一個(gè)周期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22例題圖示剛架，柱的抗彎剛度EI=4.5×106N·m2，不計(jì)質(zhì)量；橫梁為剛性，質(zhì)量m=5000kg。為測(cè)得該結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)，先用千斤頂使橫梁產(chǎn)生25mm的側(cè)移，然后突然放開，使剛架產(chǎn)生自由振動(dòng)。經(jīng)過(guò)5個(gè)周期后，測(cè)得橫梁側(cè)移的幅值為7.12mm，試計(jì)算結(jié)構(gòu)的等效粘滯阻尼系數(shù)。解：鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)，鋼結(jié)構(gòu)。各種壩體的。例題試求例題中圖示剛架的自振頻率，并與有阻尼自振頻率比較。解：工程中取是有足夠精度的。例題解在橫梁處加F=98kN的水平力，橫梁發(fā)生側(cè)移y0=0.5cm。突然釋放。測(cè)得周期Tr=1.5s，一個(gè)周期后，橫梁的側(cè)移為y1=0.4cm。試求：質(zhì)體的質(zhì)量、對(duì)數(shù)衰減率、阻尼比。例題解已知:機(jī)器的轉(zhuǎn)速為n=800轉(zhuǎn)/分,擾力幅值F=3T,地基剛度k=134000T/m,機(jī)器和基礎(chǔ)的重量為Q=156T,阻尼比為0.2.試求：質(zhì)體的振幅。例圖示機(jī)器與基礎(chǔ)總重量W=60kN，基礎(chǔ)下土壤的抗壓剛度系數(shù)為cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基礎(chǔ)底面積A=20m2。試求機(jī)器連同基礎(chǔ)作豎向振動(dòng)時(shí)(1)自振頻率；(2)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生P0sinθt，P0=20kN，轉(zhuǎn)速為400r/min。求振幅及地基最大壓力。(3)如考慮阻尼，阻尼比ξ=0.15，求振幅及地基最大壓力。WP0sinθt解:(1)讓振動(dòng)質(zhì)量產(chǎn)生向下單位位移需施加的力為：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m解:(2)求荷載頻率求動(dòng)力系數(shù)豎向振動(dòng)振幅地基最大壓力解(3)：求動(dòng)力系數(shù)豎向振動(dòng)振幅地基最大壓力例題：?jiǎn)螌咏ㄖY(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖做振動(dòng)試驗(yàn)。在橫梁處加一水平力FP=98kN，門架發(fā)生側(cè)向位移A0=0.5厘米，然后突然釋放，結(jié)構(gòu)開始自由振動(dòng)。測(cè)得周期Td=0.5秒，5周后測(cè)得振幅A5=0.164厘米。求阻尼系數(shù)c,并確定幾周后振幅小于0.05厘米。

FP(1)由于阻尼對(duì)周期影響很小，所以

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)na周，振幅將降到0.05厘米以下，由

例.對(duì)圖示剛架進(jìn)行自由振動(dòng)以測(cè)動(dòng)力特性。加力20kN時(shí)頂部側(cè)移2cm，振動(dòng)一周T=1.4s后，回?cái)[1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：由(2)自振頻率(3)阻尼特性假設(shè)(1)大梁的重量,(4)6周后的振幅剛性橫梁處加一水平力P=9.8kN，測(cè)得側(cè)移y0=0.5cm，然后突然卸載使結(jié)構(gòu)物發(fā)生水平自由振動(dòng)。此時(shí)測(cè)得周期T=1.5sec及一個(gè)周期后剛架的側(cè)移為y1=0.4cm，試求剛架振動(dòng)時(shí)參與振動(dòng)的質(zhì)量m、阻尼比和阻尼系數(shù)c。例1Pym解：Pym工程中的結(jié)構(gòu)有些可簡(jiǎn)化為單自由度體系分析單層工業(yè)廠房水塔有些不能作為單自由度體系分析，需簡(jiǎn)化為多自由度體系進(jìn)行分析多層房屋、高層建筑不等高廠房排架和塊式基礎(chǔ)§10-5多自由度體系的自由振動(dòng)

按建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，多自由度體系自由振動(dòng)的求解方法有兩種：剛度法和柔度法。剛度法通過(guò)建立力的平衡方程求解，柔度法通過(guò)建立位移協(xié)調(diào)方程求解，二者各有其適用范圍。多自由度體系自由振動(dòng)的問(wèn)題，主要是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。1、剛度法：（建立力的平衡方程）兩個(gè)自由度的體系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2質(zhì)點(diǎn)動(dòng)平衡方程:即:設(shè):............結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型.y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j點(diǎn)產(chǎn)生單位位移(其它點(diǎn)位移=0)時(shí),在i點(diǎn)需施加的力(稱為剛度系數(shù)).振型計(jì)算公式頻率計(jì)算公式頻率方程....振型方程與ω2相應(yīng)的第二振型：因?yàn)镈=0，兩個(gè)振型方程式線性相關(guān)的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求與ω1相應(yīng)的第一振型：

ω2的兩個(gè)根均為實(shí)根；矩陣[k]為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。故矩陣[k]為正定矩陣。k11k22-k12k21>0ω2的兩個(gè)根均為正根；與ω2相應(yīng)的第二振型：求與ω1相應(yīng)的第一振型：多自由度體系能夠按某個(gè)主振型自由振動(dòng)的條件是：初始位移和初始速度應(yīng)當(dāng)與此主振型相對(duì)應(yīng)。幾點(diǎn)注意：①ρ1ρ2必具有相反的符號(hào)。②多自由度體系自振頻率的個(gè)數(shù)=其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。③每個(gè)自振頻率相應(yīng)一個(gè)主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。④自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。一般解：

在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的振動(dòng)，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程組的特解，其線性組合即一般解。<0>0例m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2k21k111解：求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww

代入頻率方程：+1)當(dāng)m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y12=1第二主振型

2)當(dāng)m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求頻率：求振型：如n=90時(shí)當(dāng)上部質(zhì)量和剛度很小時(shí)，頂部位移很大。（鞭梢效應(yīng)）第一振型：第二振型：特征方程：+++例試求圖示體系的頻率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1=∞m1EI1=∞m2ii2i2ill解(1)求剛度系數(shù)(2)求頻率解得將ω=ω1代入振型方程,得第一振型將ω=ω2代入振型方程,得第二振型(3)求振型3.36513.36510.19810.1981例求圖所示兩層剛架的自振頻率和振型。已知橫梁為剛性，各立柱的抗彎剛度，立柱的質(zhì)量忽略不計(jì)，橫梁的質(zhì)量m1=m2=5000kg，每層的高度5m。解：兩個(gè)自由度體系，設(shè)m1的位移為y1，m2的位移為y21.28091第二主振型10.7808第一主振型2、柔度法y1(t)y2(t)建立振動(dòng)微分方程：（建立位移協(xié)調(diào)方程）

m1、m2的位移y1(t)、

y2(t)應(yīng)等于體系在當(dāng)時(shí)慣性力作用下所產(chǎn)生的靜力位移。................柔度法建立的振動(dòng)微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1頻率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全為零。求得頻率：頻率方程和自振頻率：設(shè)各質(zhì)點(diǎn)按相同頻率和初相角作簡(jiǎn)諧振動(dòng)Y1，Y2是質(zhì)點(diǎn)位移幅值........振動(dòng)微分方程體系頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目主振型(normalmodeshape)頻率方程振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全為零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它們的比值。第一主振型

第二主振型

頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目主振型是體系由此主振型慣性力幅值所引起的靜力位移。Y11Y21Y12Y22例求簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系數(shù)P=1P=1求得頻率：求得主振型：mm例求簡(jiǎn)支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對(duì)稱的，則主振型不是對(duì)稱就是反對(duì)稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算：1對(duì)稱情況：l/91反對(duì)稱情況：例求圖a所示體系的自振頻率及主振型。梁EI=常數(shù)。解：將原結(jié)構(gòu)化成正對(duì)稱和反對(duì)稱半結(jié)構(gòu)分別計(jì)算（圖b、c）。，

當(dāng)ω=ω1時(shí)，振型為正對(duì)稱，則當(dāng)ω=ω2時(shí)，振型為反對(duì)稱，則

例：求圖示體系對(duì)稱振動(dòng)情況下的頻率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m1210.5110.8750.2511332111Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與計(jì)算柔度系數(shù)時(shí)置于其上的單位力方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位力方向相反。0.5a例試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）計(jì)算頻率1a1（2）振型10.277第一振型13.61第二振型例

試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.1l/41l/2圖圖m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常數(shù)解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率(3)求振型第一振型第二振型10.30511.639例求圖示體系的頻率、振型解:令例求圖示體系的頻率、振型解:令例求圖示體系的頻率、振型解:令y1yiynri動(dòng)平衡方程：riy1yiynri應(yīng)滿足剛度方程kij是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，使點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移（其它點(diǎn)位移為零）時(shí)在點(diǎn)i所需施加的力。....多自由度體系......或：設(shè)解為：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ個(gè)頻率與ωｉ相應(yīng)的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不過(guò)只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。標(biāo)準(zhǔn)化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............例：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。求自振頻率k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]：11展開得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求頻率：代入頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后兩式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij為正時(shí)表示質(zhì)量mi的運(yùn)動(dòng)方向與單位位移方向相同，為負(fù)時(shí)，表示與單位位移方向相反。利用剛度法的方程間接導(dǎo)出柔度法方程：由剛度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展開式:是關(guān)于λ的n次代數(shù)方程,先求出λi再求出頻率ωi將λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n個(gè)主振型.可見剛度法、柔度法實(shí)質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng)計(jì)算體系的柔度系數(shù)方便時(shí)用柔度法（如梁）；當(dāng)計(jì)算體系的剛度系數(shù)方便時(shí)用剛度法（如橫梁剛度為無(wú)窮大的多層剛架）。例：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系數(shù)：m2mmk

柔度矩陣[δ]和質(zhì)量矩陣[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展開得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三個(gè)頻率為：3）求主振型：（令Y3i=1）將λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前兩式：

2）求頻率：解得：同理可得第二、第三振型例試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.EI=常數(shù)mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4圖圖13l/16圖解(1)求柔度系數(shù)(2)求頻率(3)求振型令每個(gè)振型的第一個(gè)元素為1，得11.4141第三振型(正對(duì)稱)第二振型(反對(duì)稱)11第一振型(正對(duì)稱)11.4141幾點(diǎn)說(shuō)明：1)按振型作自由振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度的比值也為常數(shù)，且與位移比值相同。2)發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.4)N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型頻率方程解頻率方程得,從小到大排列依次稱作第一頻率,第二頻率...第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.將頻率代入振型方程得N個(gè)振型N個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的.3)振型與頻率是體系本身固有的屬性,與外界因素?zé)o關(guān).多自由度體系自由振動(dòng)的計(jì)算步驟：建立體系自身的質(zhì)量矩陣M：

根據(jù)頻率方程計(jì)算結(jié)構(gòu)的各階自振頻率i

計(jì)算體系自身的剛度矩陣K或柔度矩陣δ

：

計(jì)算結(jié)構(gòu)的主振型向量Yi1、柔度法（忽略阻尼）

tPqsintPqsiny1y2....P（2）動(dòng)位移的解答及討論§10-7兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)（1）建立振動(dòng)微分方程各簡(jiǎn)諧荷載頻率相同,相位相同，否則用其他方法設(shè)純強(qiáng)迫振動(dòng)解答為：n各自由度體系，存在n個(gè)可能的共振點(diǎn)設(shè)純強(qiáng)迫振動(dòng)解答為：代入：（3）動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算....荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時(shí)達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時(shí)，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時(shí)可將動(dòng)荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動(dòng)內(nèi)力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：代入位移幅值方程可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：圖示簡(jiǎn)支梁EI=常數(shù),θ=0.75ω1求動(dòng)位移幅值和動(dòng)彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求Δ1PΔ2PP1=1P2=1P5)計(jì)算動(dòng)內(nèi)力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd圖6)比較動(dòng)力系數(shù)因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。例已知圖a剛架受簡(jiǎn)諧荷載作用，θ=0.6ω,繪出動(dòng)力彎矩圖Md，并求柱頂最大位移

ymax。解：利用對(duì)稱性取半邊結(jié)構(gòu)如圖所示。柱頂位移

，代入方程，得慣性力：

（注意：質(zhì)量應(yīng)減半）由于

，代入上式，則方程變?yōu)?/p>

只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，設(shè)方程的特解

代入方程解得，

所以M圖如圖所示。2、剛度法y1(t)y2(t)在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng):Y1=D1/D0Y2=D2/D0求得位移幅值Y1、Y2,計(jì)算慣性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計(jì)算方法求得動(dòng)內(nèi)力幅值。

....P1(t)P2(t)若則★n個(gè)自由度體系有n個(gè)共振區(qū)頻率方程（1）共振問(wèn)題在兩個(gè)自由度的振動(dòng)中，當(dāng)外界干擾力的頻率等于體系的任意一階自振頻率時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)共振，即體系存在兩個(gè)共振點(diǎn)。求圖示剛架樓面處的側(cè)移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)2)求位移幅值3)求慣性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA例：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)不同。當(dāng)趨于無(wú)窮大?？梢娫趦蓚€(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1=yst2=P/k層間剪力:Qst1=P動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。層間動(dòng)剪力:例：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說(shuō)明在圖a結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動(dòng)（動(dòng)力吸振器原理）。吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動(dòng)時(shí)才有必要設(shè)置。吸振原理表明：

為減少單自由度主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，可適當(dāng)?shù)馗郊淤|(zhì)量－彈簧子系統(tǒng)，只要合理設(shè)計(jì)就可以消除主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。該原理已被應(yīng)用于工程的調(diào)頻質(zhì)量阻尼系統(tǒng)和調(diào)頻液體阻尼系統(tǒng)等結(jié)構(gòu)控制技術(shù)中。第七節(jié)多自由度體系受迫振動(dòng)1、簡(jiǎn)諧荷載作用下的無(wú)阻尼受迫振動(dòng)吸振器設(shè)計(jì)步驟（1）根據(jù)m2的許可振幅，選定k2。（2）根據(jù)m2=k2/2,確定m2的值?！镌诮Y(jié)構(gòu)上附加子系統(tǒng)，可以消除主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動(dòng)荷載幅值P=1kN問(wèn)：1）應(yīng)加動(dòng)力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）k2m2l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下。與ω2相應(yīng)的振型是12k2211mkw--2212YY==－1當(dāng)θ=ω2，D0=0，也有：不會(huì)趨于無(wú)窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。

對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì)稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。

對(duì)于n個(gè)自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷載時(shí)簡(jiǎn)諧荷載則在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng).振幅方程:如系數(shù)矩陣的行列式可解得振幅{Y}如系數(shù)矩陣的行列式D0=0(θ=ωi)解得振幅{Y}=無(wú)窮大對(duì)于具有n個(gè)自由度的體系,在n種情況下都可能出現(xiàn)共振.........例:質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。F(t)=100sin20.96t解：1、求剛度系數(shù)：

剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]：m2=270tm1=315tm3=180tk1=245MN/mk2=196MN/mk2=98MN/mF(t)負(fù)號(hào)表示干擾力向右達(dá)到幅值時(shí)，位移向左達(dá)到幅值.2、各層柱的剪力幅值1003、各層柱的剪力幅值各樓層的慣性力幅值：負(fù)號(hào)表示干擾力向右達(dá)到幅值時(shí)，位移向左達(dá)到幅值.89.18726.04519.751Q3=－89.187kNQ2=－89.187－26.045+100=－15.232kNQ1=－89.187－26.045－19.751+100=－34.983kN另外,剪力也可又側(cè)移剛度來(lái)求:kN/mm慣性力與位移同時(shí)達(dá)到幅值。荷載與位移無(wú)阻尼時(shí)同時(shí)達(dá)到幅值。由于結(jié)構(gòu)的彈性內(nèi)力與位移成正比，所以位移達(dá)到幅值，內(nèi)力也達(dá)到幅值。將位移達(dá)到幅值時(shí)刻的荷載值和慣性力值加在結(jié)構(gòu)上，按一般靜力學(xué)方法求解。

靜力荷載是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。

動(dòng)力荷載是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。若荷載對(duì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚微——按靜荷載考慮；若荷載對(duì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚大——按動(dòng)荷載考慮.小結(jié)動(dòng)荷載確定不確定風(fēng)荷載地震荷載其他無(wú)法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡(jiǎn)諧荷載非簡(jiǎn)諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動(dòng)荷載結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析隨機(jī)振動(dòng)分析(1)動(dòng)力自由度數(shù)是確定質(zhì)量空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）個(gè)數(shù)，它和結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)或獨(dú)立位移個(gè)數(shù)沒有關(guān)系。列運(yùn)動(dòng)方程時(shí)的剛度系數(shù)和柔度系數(shù)和解超靜定問(wèn)題時(shí)的對(duì)應(yīng)系數(shù)之間也沒有關(guān)系。(2)直接平衡法有兩種建立方程的方法：剛度法和柔度法。但都是根據(jù)達(dá)朗伯爾原理和所采用的阻尼假設(shè)在體系上加慣性力和阻尼力。剛度法是考慮質(zhì)量各自由度方向的平衡；柔度法是建立各自由度方向位移的協(xié)調(diào)條件。(3)集中質(zhì)量多自由度體系的質(zhì)量矩陣是對(duì)角矩陣，其元素為各自由度方向的總質(zhì)量。剛度矩陣元素為“僅j自由度發(fā)生單位位移時(shí)，i自由度方向所需施加的（附加）約束反力”，根據(jù)反力互等定理剛度矩陣是對(duì)稱的。動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需獨(dú)立幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度。（1）基本未知量數(shù)目與自由度數(shù)目是一致的。前者強(qiáng)調(diào)獨(dú)立位移數(shù)目，后者強(qiáng)調(diào)獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。（2）自由度數(shù)與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，但不大于質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍。（3）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無(wú)關(guān)。（4）可用加鏈桿的方法確定自由度。（5）彈簧和桁架桿不影響體系的自由度。(4)單自由度體系的頻率、周期的計(jì)算公式；振幅、相位的算式和各種力的平衡關(guān)系；簡(jiǎn)諧荷載下純受迫振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)與頻率比、阻尼比間的關(guān)系等等。這些基本概念必須深刻理解、熟練掌握。(5)由于阻尼比一般很小，它對(duì)頻率、周期的影響一般可忽略。(6)在共振區(qū)，阻尼的作用是不可忽略的。從能量角度看，阻尼使能量耗散，當(dāng)不希望有能量耗散時(shí)應(yīng)減少阻尼，而當(dāng)希望盡可能使輸入結(jié)構(gòu)的能量減少時(shí)，應(yīng)增大阻尼。單自由度體系的自由振動(dòng)

自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過(guò)程中沒有動(dòng)荷載的作用。自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾。剛度法

體系在慣性力作用下處于動(dòng)態(tài)平衡。振動(dòng)方程柔度法

質(zhì)體的動(dòng)位移等于質(zhì)體在慣性力作用下的靜位移。結(jié)構(gòu)的自振周期和圓頻率※※

（naturalperiodandnaturalcircularfrequency）周期頻率圓頻率完成一次振動(dòng)需要的時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)2π個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)幾個(gè)定義ya計(jì)算公式的幾種形式單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（不計(jì)阻尼）強(qiáng)迫振動(dòng)——結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的振動(dòng)，也叫受迫振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程或荷載幅值作為靜荷載所引起的最大靜位移最大動(dòng)位移：動(dòng)力系數(shù)：1）干擾力產(chǎn)生的動(dòng)力作用不明顯，因此可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。2）共振為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率,使或。隨θ/ω的增大而增大。體系處于靜止?fàn)顟B(tài)3）為減函數(shù)應(yīng)使頻率比減小，增加結(jié)構(gòu)的自振頻率，增大剛度，減小質(zhì)量；（剛性方案）（2）降低振幅的措施－頻率比應(yīng)使頻率比增大，減小結(jié)構(gòu)的自振頻率，減小剛度，增大質(zhì)量。（柔性方案）

有阻尼的自由振動(dòng)(阻尼比dampingratio）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety設(shè)解為：特征方程為：(characteristicequation)1)ξ<1（低阻尼）情況...2)ξ=1（臨界阻尼）情況)1(2-±-=xxwl=-wl3)ξ>1強(qiáng)阻尼：不出現(xiàn)振動(dòng)，實(shí)際問(wèn)題不常見。有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)（間諧荷載）（低阻尼體系，ξ<1）振幅:yp，最大靜力位移yst=F/k=F/mω2...β與頻率比θ/ω和阻尼比ξ有關(guān)4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0幾點(diǎn)討論：①隨ξ增大β曲線漸趨平緩，特別是在θ/ω=1附近β的峰值下降的最為顯著。②當(dāng)θ接近ω時(shí)，β增加的

xb21=共振時(shí)很快，ξ對(duì)β的數(shù)值影響也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大地減小了受迫振動(dòng)的位移，因此,為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反映,阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì)β的影響較小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。③βmax并不發(fā)生在共振θ/ω=1時(shí)，而發(fā)生在，④由y=yPsin(θt－α)可見，只要有阻尼位移總滯后荷載

P=Fsinθt一個(gè)相位角α，但因ξ很小，可近似地認(rèn)為：當(dāng)θ<<ω時(shí),α→0°體系振動(dòng)得很慢，F(xiàn)I、R較小，動(dòng)荷主要由

S平衡，(即P與S反向)，S與y反向，y與P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。當(dāng)θ>>ω時(shí),α→180°體系振動(dòng)得很快，F(xiàn)I很大，S、R相對(duì)說(shuō)來(lái)較小，動(dòng)荷主要由FI平衡，F(xiàn)I與y同向，y與P反向；位移y、彈性力S，慣性力FI，阻尼力R分別為：...（3-21）阻尼比：體系阻尼的測(cè)試：2）計(jì)算阻尼比：1）實(shí)測(cè)體系經(jīng)過(guò)個(gè)周期后的位移幅值比：3）計(jì)算阻尼系數(shù)：（7）兩個(gè)自由度體系自由振動(dòng)主要問(wèn)題是確定體系的全部自振頻率及其相應(yīng)的主振型。（8）兩個(gè)(多個(gè))自由度體系自振頻率個(gè)數(shù)與自由度的個(gè)數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。（9）每個(gè)自振頻率有自己相應(yīng)的主振型.主振型就是兩個(gè)自由度體系能夠按單自由度振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式。（10）兩個(gè)自由度體系的自振頻率和主振型是體系本身的固有性質(zhì)。自振頻率只與體系本身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量的分布情形有關(guān)，而與外部荷載無(wú)關(guān)。振型計(jì)算公式頻率計(jì)算公式頻率方程....振型方程與ω2相應(yīng)的第二振型：因?yàn)镈=0，兩個(gè)振型方程式線性相關(guān)的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求與ω1相應(yīng)的第一振型：

頻率方程振型方程求得頻率：體系頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目第一主振型

第二主振型

n各自由度體系，存在n個(gè)可能的共振點(diǎn)兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng)Y1=D1/D0Y2=D2/D0....求得位移幅值Y1、Y2,計(jì)算慣性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計(jì)算方法求得動(dòng)內(nèi)力幅值。

(11)不管運(yùn)動(dòng)方程用那種方法建立，多自由度體系自由振動(dòng)最終歸結(jié)為求解頻率和振型方程，從數(shù)學(xué)上說(shuō)屬矩陣特征值問(wèn)題。(12)多自由度體系的自振頻率取決于結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（或柔度矩陣）和質(zhì)量矩陣，頻率方程為：

......或：設(shè)解為：{y}={Y}sin(ωt+α)得振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝0可求出ｎ個(gè)頻率與ωｉ相應(yīng)的主振型向量由([K]－ω2ｉ

[M]){Y（ｉ）}=｛0｝不過(guò)只能確定主振型的形狀，而不能唯一地確定它的振幅。標(biāo)準(zhǔn)化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。............利用剛度法的方程間接導(dǎo)出柔度法方程：由剛度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}=｛0｝令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}=｛0｝得頻率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0其展開式:是關(guān)于λ的n次代數(shù)方程,先求出λi再求出頻率ωi將λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝可求出n個(gè)主振型.可見剛度法、柔度法實(shí)質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng)計(jì)算體系的柔度系數(shù)方便時(shí)用柔度法（如梁）；當(dāng)計(jì)算體系的剛度系數(shù)方便時(shí)用剛度法（如橫梁剛度為無(wú)窮大的多層剛架）。一般地同理★振型