第六章

模糊規(guī)則CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量語(yǔ)言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫(kù)CompanyLogo由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量在日常生活中，變量常用詞語(yǔ)來(lái)描述，如，當(dāng)說(shuō)"今天熱"，或者說(shuō)"今天的氣溫高"時(shí)，就是用詞語(yǔ)"高"來(lái)描述變量"今天的氣溫"。也就是說(shuō)，變量"今天的氣溫"取值為"高"。當(dāng)然，變量"今天的氣溫"也可以取值為250C、190C等。當(dāng)一個(gè)變量取數(shù)值時(shí)，己經(jīng)有一個(gè)完善的數(shù)學(xué)體系對(duì)其進(jìn)行描述。而當(dāng)一個(gè)變量取語(yǔ)言值時(shí)，在經(jīng)典數(shù)學(xué)理論中并沒(méi)有一個(gè)正式的體系可對(duì)其進(jìn)行描述。為了提供這樣一種正式體系，引入了語(yǔ)言變量的概念。粗略地講，如果一個(gè)變量取自然語(yǔ)言中的詞語(yǔ)為值，則稱其為語(yǔ)言變量。現(xiàn)在，問(wèn)題是怎樣用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述這些詞語(yǔ)。這里用模糊集來(lái)描述這些詞語(yǔ)。于是，有下面的定義:

定義6.1如果一個(gè)變量能夠取普通語(yǔ)言中的詞語(yǔ)為值，則稱該變量為語(yǔ)言變量。這里，詞語(yǔ)由定義在論域上的模糊集合來(lái)描述，變量也是在論域上定義的。CompanyLogo由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量例6.1 汽車(chē)速度是一個(gè)變量χ，其取值范圍為區(qū)間忡，V缸]，這里，V缸是汽車(chē)的最快速度。在[0，Vov]內(nèi)定義如圖6.1所示的三個(gè)模糊集"慢速"、"中速"、"快速"。如果把x看作一個(gè)語(yǔ)言變量，則它可取"慢速"、"中速"和"快速"為值，即"x為慢速"、"x為中速"、"x為快速"。當(dāng)然，χ 圖6.1 汽車(chē)的速度作為一個(gè)語(yǔ)言變量也可取區(qū)間[0，VmaJ上的數(shù)值為值，如x=50mph，35mph等。

圖6.1CompanyLogo由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量定義6.2 語(yǔ)言變量可表征為四元組(X，T，U，M)，其中? X為語(yǔ)言變量名稱;在例6.1中，X指汽車(chē)的速度。? T為語(yǔ)言變量X取值的術(shù)語(yǔ)集合;在例6.1中，T{慢速，中速，快速}。? U是語(yǔ)言變量X取值的論域;在例6.1中，U=[O，Vmax]。?M是研究X取值的語(yǔ)義規(guī)則，即將T中的每個(gè)語(yǔ)言值和U中的模糊集連接起來(lái)的語(yǔ)義規(guī)則;在例6.1中，M將"慢速"、"中速"、"快速"同圖6.1中的隸屬度函數(shù)連接起來(lái)。CompanyLogo由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量比較定義6.1和定義6.2，可以看出，這兩種定義實(shí)際上是等價(jià)的。定義6.1更直觀些，而定義6.2則更正式些。由定義可以看出，語(yǔ)言變量某種意義上是數(shù)值變量的一種擴(kuò)展，即允許語(yǔ)言變量取模糊集為值(見(jiàn)圖6.2)。

由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量CompanyLogo由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量

為什么語(yǔ)言變量的概念重要呢?這是因?yàn)椋Z(yǔ)言變量是人類(lèi)知識(shí)表達(dá)中最基本的元素，當(dāng)用傳感器測(cè)量一個(gè)變量時(shí)，傳感器會(huì)給出一個(gè)數(shù)值;而當(dāng)征求專家對(duì)一個(gè)變量的評(píng)價(jià)時(shí)，專家會(huì)給出語(yǔ)言。例如，當(dāng)使用雷達(dá)槍來(lái)測(cè)量汽車(chē)速度時(shí)，雷達(dá)槍會(huì)給出諸如39mph，42mph等數(shù)字;而當(dāng)讓某個(gè)人告訴我們汽車(chē)速度時(shí)，他/她通常會(huì)說(shuō)如"它開(kāi)得慢"、"它開(kāi)得快"等話語(yǔ)。因此，引入語(yǔ)言變量的概念就會(huì)使自然語(yǔ)言的模糊描述形成精確的數(shù)學(xué)描述，這是人類(lèi)知識(shí)系統(tǒng)有效地嵌入工程系統(tǒng)的第一步。CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量語(yǔ)言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫(kù)CompanyLogo語(yǔ)言限定詞根據(jù)語(yǔ)言變量的概念，我們可以將詞語(yǔ)賦給語(yǔ)言變量。在日常生活中，我們常用一個(gè)單詞以上的詞語(yǔ)來(lái)描述一個(gè)變量。例如，如果將汽車(chē)速度看做一個(gè)語(yǔ)言變量，則它的值可能為“不慢”，“非常慢”，“稍快”，“差不多中速”等等。一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)語(yǔ)言變量的取值是一個(gè)合成術(shù)語(yǔ)X=X1，X2…,xn，即為元辭X1，X2…,xn串接。這些元辭可以分成三類(lèi):

?基本術(shù)語(yǔ)，它是模糊集的說(shuō)明性短語(yǔ);如例6.1中，基本術(shù)語(yǔ)就是"慢速"、"中速"和"快速"。

?連接詞，"非"、"且"和"或"。

?限定詞，如"非常"、"稍微"、"差不多"等等。CompanyLogo語(yǔ)言限定詞

定義6.3令A(yù)為U上的一個(gè)模糊集合，則非常A也是一個(gè)U上的模糊集合，它可用如下隸屬度函數(shù)未定義:

μ非常A(χ)=[μA(χ)](6.1)差不多A也是U上的一個(gè)模糊集合，它可用如下隸屬度函數(shù)未定義:

μ差不多(χ)=[μA(X)](6.2)例6.2令U= {1，2，…，引，則模糊集合"小"可定義為

小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5(6.3)然后，由式(5.1)和式(5.2)，可得

非常小=1/1+0.64/2+0.36/3+0.16/4+0.04/5 (6.4)

非常非常小=非常(非常小)=1/1+0.4096/2+O.1296/3+0.0256/4+0.0016/5(6.5)

差不多小=1/1+0.8944/2+0.7746/3+0.6325/4+0.4472/5

(6.6)21/2CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量語(yǔ)言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫(kù)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則在模糊系統(tǒng)與模糊控制中，人類(lèi)知識(shí)可以用模糊IFTHEN規(guī)則來(lái)表述。一條模糊IF-THEN規(guī)則就是一個(gè)條件陳述句，它可以表述為IF<模糊命題)，THEN<模糊命題)因此，要想理解模糊IF-THEN規(guī)則，就必須先知道什么是模糊命題。CompanyLogo模糊命題有兩種類(lèi)型的模糊命題(FuzzyPropositions):子模糊命題和復(fù)合模糊命題。子模糊命題是一個(gè)單獨(dú)的陳述句x為A (6.8)

這里，χ是語(yǔ)言變量，A是語(yǔ)言變量x的值(即4是一個(gè)定義在x 的論域上的模糊集合)。子模糊命題通過(guò)連接詞"且"、"或"、"非"連接起來(lái)而構(gòu)成的命題叫做復(fù)合模糊命題，這里"且"、"或"、"非"分別表示模糊交、模糊并和模糊補(bǔ)。如例5.1中，如果用x表示汽車(chē)的速度，則有以下模糊命題(前三個(gè)為子模糊命題，后三個(gè)為復(fù)合模糊命題):x為s(6.9)x為M(6.10)x為F(6.11)x為5或x非M(6.12)x非S或x非F(6.13)(x為5且x非F)或x為M(6.14)

這里，5、M和F分別表示模糊集"慢速"、"中速"和"快速"。CompanyLogo模糊命題

應(yīng)注意，在一個(gè)復(fù)合模糊命題中，子模糊命題是獨(dú)立的。即，對(duì)于命題(6.12)~命題(6.14)中的同一個(gè)變量x而言，X的取值可能是不同的。實(shí)際上，在復(fù)合模糊命題中的語(yǔ)言變量一般也是不同的。例如，令χ表示汽車(chē)速度，y=x表示汽車(chē)的加速度，如果將加速度取值為模糊集合大(L)，則有如下復(fù)合模糊命題:x為F且y為L(zhǎng)

所以，復(fù)合模糊命題應(yīng)該被理解為一種模糊關(guān)系。那么，怎樣確定這些模糊關(guān)系的隸屬度函數(shù)呢?·CompanyLogo模糊命題?用模糊交表示連接詞"且"。具體地講，令x和y分別為定義域U和V上的語(yǔ)言變量，A和B分別為U和V上的模糊集合，則下面的復(fù)合模糊命題x為A且y為B(6.15)

可以解釋為UxV中的模糊關(guān)系A(chǔ)∩B①，其隸屬度函數(shù)為μA∩B(x，y)=t[μA(x)，μB(y)](6.16)其中，t:[0，1]x[0,1]→[0，1]是任意t-范數(shù)。?用模糊并表示連接詞"或"。具體地講，下面的復(fù)合模糊命題x為A或y為B(6.17)可以解釋為UxV中的模糊關(guān)系A(chǔ)UB，其隸屬度函數(shù)為μAUB(x，y)=s[μA(x)，μB(y)](6.18)其中，s:[0，1]x[0,1]→[0，1]是任意s-范數(shù)?用模糊補(bǔ)表示連接詞"非"。即，把非A用A來(lái)替代_CompanyLogo模糊命題例6.3模糊命題(6.14)，即FP=(X為5且x非F)或x為M(6.19)

是乘積空間[0，Vmax]中的一個(gè)模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為μFP(x1,x2,x3)=s{t[μS(x1)，c(μF(x2))],μM(x3)}(6.20)

其中，s、t和c分別表示s-范數(shù)、t-范數(shù)和模糊補(bǔ)算子，模糊集(其定義見(jiàn)圖5.1)5=慢速，M=中速，F(xiàn)=快速，x1=x2=x3=x解釋形如式(6.7)的模糊IF-THEN規(guī)則的準(zhǔn)備工作己經(jīng)就緒。3CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋

由于模糊命題是用模糊關(guān)系未解釋的，所以剩下的關(guān)鍵問(wèn)題是怎樣解釋IF-THEN的運(yùn)算。在經(jīng)典命題運(yùn)算中，表達(dá)式IFpTHENq可以寫(xiě)成p→q，→可以看做是由表6.1所定義的一種連接，這里p和q都是命題變量，其值為真(T)或?yàn)榧?F)。

表6.1CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋如果p和q的值都為真或都為假，則p→q為真;如果p的值為真，q的值為假，則p→q為假;如果p的值為假，q的值為真，則p→q為真。因此，認(rèn)為p→q等價(jià)于pVq (6.21)

和(p∧q)Vp (6.22)即式(6.21)和式(6.22)與p→q都符合真值表(表6.1)的規(guī)律，這里-、∧、V和別代表(經(jīng)典)邏輯運(yùn)算符"非"、"或"和"與"。__CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋由于模糊IF-THEN規(guī)則可以解釋為用模糊命題取代了p和q，所以，模糊IF-THEN規(guī)則也可以解釋為用模糊補(bǔ)、模糊并和模糊交來(lái)分別取代式(6.21)和式(6.22)中的-,

∨和∧算子。因?yàn)槟：a(bǔ)、模糊并和模糊交算子有很多種，所以文獻(xiàn)中提出的模糊IF-THEN規(guī)則也就有很多種不同的解釋。下面列舉了其中的一部分。將式(6.7)重寫(xiě)為IF<FP1>THEN<FP2>，用FP1 和FP2來(lái)分別取代式(6.21)和式(6.22)中的p和q，這里FP1 和FP2都是模糊命題。假設(shè)FP1是一個(gè)定義在U=U1×…×Un上的模糊關(guān)系，F(xiàn)P2是一個(gè)定義在V=V1×…×Vm上的模糊關(guān)系，χ和y分別是U和V上的語(yǔ)言變量(向量)。CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋?Dienes-Rescher含義:把式(6.21)中的邏輯運(yùn)算符和V分別用基本模糊補(bǔ)和基本模糊并未取代，就可得到Dienes-Rescher含義。具體地講，模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP]>THEN<FP2>，可以解釋為UxV中的一個(gè)模糊關(guān)系。D'其隸屬度函數(shù)為μQD(x,y)=max[1-μFP1(x)，μFP2(y)](6.23)?Lukasiewicz含義:。具體地講，模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>，可以解釋為UxV中的一個(gè)模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為μQZ(x,y)=max[1-μFP1(x)，min(μFP1(x),μFP2(y))] (6.24)?Zadeh含義:這里的模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>可以解釋為UxV中的一個(gè)模糊關(guān)系。z'其隸屬度函數(shù)為μQZ(X，y)=max[min(μFP1(χ)，μFP2(y))，1一μFP1(χ)] (6.25)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋G?del含義:G?del含義是經(jīng)典邏輯中一個(gè)眾所周知的含義公式。通過(guò)將其推廣至模糊命題，得到的模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>可以解釋為UxV中的一個(gè)模糊關(guān)系QG，其隸屬度函數(shù)為

μQG（x,y）=(5.26)1

μFP1(x)≤

μFP1(x)

μFP1(y)其他

CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋Mamdani含義:模糊IF-THEN規(guī)則IF<FP1>THEN<FP2>可以解釋為U×V中的一個(gè)模糊關(guān)系QMM

或QMP

其隸屬度函數(shù)為μQMM

（x,y）=min[μFPl(x)，μFP2(y)] (5.27)μQMP(x.y)=μFPl(x)μFP2(y) (5.28)Mamdani含義是在模糊系統(tǒng)與模糊控制中使用最廣泛的含義。其成立的論據(jù)是，模糊IF-THEN規(guī)則為局部含義。盡管，也許有一些人不同意這一觀點(diǎn)。如，有人可能認(rèn)為，當(dāng)說(shuō)"速度快則阻力很大"時(shí)，其內(nèi)在含義是"速度慢則阻力小"。從這個(gè)意義上講，模糊 IF-THEN規(guī)則又是非局部的。這種爭(zhēng)論表明，當(dāng)用模糊IF-THEN規(guī)則來(lái)表述人類(lèi)的知識(shí)時(shí)，不同的人會(huì)有不同的解釋。因此，要求用不同的含義來(lái)處理不同的問(wèn)題。例如，如果專家認(rèn)為其規(guī)則是局部的，則會(huì)使用Mamdani含義;否則就會(huì)考慮全局含義式(5.23) 式(5.26)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋例令U= {1，2，3，4}，V= {1，2，3}。假設(shè)己知x∈U是y∈V的逆命題。為描述這

一知識(shí)，可以使用下面的模糊IF-THEN規(guī)則:如果x為大，則y為小(1)這里，模糊集"大"和"小"的定義如下:

大=0/1+0.1/2+0.5/3+1/4 (2)小=1/1+0.5/2+0.1/3 (3)如果使用Dienes-Rescher含義，則模糊IF-THEN規(guī)則(1)就可以表述為如下UxV中的模糊關(guān)系QD

QD=1/(1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2，1+)0.9/(2，2)+0.9/(2，3)+1/(3，1)+0.5/(3，2)+0.5/(3，3)+1/(4，1+)0.5/(4，2)+0.1/(4，3) (4)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋如果使用Lukasiewicz含義，則規(guī)則(1)就變成了QL=1/(1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2,1+)1/(2,2)+1/(2,3)+1/(3,1)+1/(3,2)+0.6/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3) (5)如果使用Zadeh含義和G?del含義，則有Qz=l/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+0.9/(2,1)+0.9/(2,2)+0.9/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.5/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3)(6)QG=l/( 1，1)+1/(1，2)+1/(1，3)+1/(2，1+)1/(2，2)+1/(2，3)+1/(3，1)+1/(3，2)+0.1/(3，3)+1/(4，1)+0.5/(4，2)+0.1/(4，3) (7)

最后，如果使用Mamdani含義，則模糊IF-THEN規(guī)則(1)就變成了QMM=0/(1,1)+0/(1,2)+0/(1,3)+0.1/(2,1)+0.1/(2,2)+0.1/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.1/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0.1/(4,3)(8)

QMP=0/(1,1)+0/(1，2)+0/(1，3)+0.1/(2，1)+0.05/(2，2)+0.01/(2，3)+0.5/(3，1+)0.25/(3，2)+0.05/(3，3)+1/(4，1)+0.5/(4，2)+0.1/(4,3) (9)CompanyLogo模糊IF-THEN規(guī)則的解釋由式(4)式(9)可以看出，對(duì)于不包含在規(guī)則式(1)之內(nèi)的數(shù)據(jù)對(duì)，即(1，1)，(1，2)和(1，3)(因?yàn)棣檀?1)=0)，QD，QL，Qz和Qc給出的隸屬度值是1，而QMM

和QMP

給出的隸屬度值是0。這同前面的結(jié)論，Dienes-Rescher含義、Lukasiewicz含義，Zadeh含義以及G?del含義為全局含義，而Mamdani含義為局部含義的結(jié)論是一致的。CompanyLogo目錄由數(shù)值變量到語(yǔ)言變量語(yǔ)言限定詞模糊IF-THEN規(guī)則模糊規(guī)則庫(kù)CompanyLogo模糊規(guī)則庫(kù)-結(jié)構(gòu)模糊規(guī)則庫(kù)是由模糊IF-THEN規(guī)則集合組成的。它是模糊系統(tǒng)的核心，從這個(gè)意義上講，模糊系統(tǒng)的其他組成部分都是以一種合理而有效的方式來(lái)執(zhí)行這些規(guī)則的。具體地講，模糊規(guī)則庫(kù)是由以下模糊IF-THEN規(guī)則組成的:Rμ:如果X1為A1; 且…且xn為An，則y為B (7.1)其中，Ai;和B分別是UiCR和VCR上的模糊集合，X=(x1，x2，…，Xn)∈U和y∈V分別是模糊系統(tǒng)的輸入和輸出(語(yǔ)言)變量。令M為模糊規(guī)則庫(kù)式(7.1)中的規(guī)則數(shù)目，即l=1，2，…，M。將形如式(7.1)的規(guī)則叫做標(biāo)準(zhǔn)模糊IF-THEN規(guī)則，因?yàn)檎缦旅娴囊硭砻鞯哪菢?，它包含了許多其他類(lèi)型的模糊規(guī)則及特殊的模糊命題。（l）lllllTCompanyLogo模糊規(guī)則庫(kù)-結(jié)構(gòu)引理7形如式(7.1)的標(biāo)準(zhǔn)模糊IF-THEN規(guī)則包含了下列特例:(a)"不完整規(guī)則"

如果x1為A1;且…且Xm

為Am

，則y為B(7.2)其中，m<n(b)"或規(guī)則"如果x1為A1;且…且Xm

為Am

或Xm+1或Am+1且…且Xn為An，則y為B

(7.3)

llllllllllCompanyLogo模糊規(guī)則庫(kù)-結(jié)構(gòu)(c)單一模糊陳述y為B(7.4)(d)"逐級(jí)變化規(guī)則"x越小，則y越大(7.5)(e)非模糊規(guī)則(即傳統(tǒng)的擴(kuò)展規(guī)則)lCompanyLogo模糊規(guī)則庫(kù)-特性

因?yàn)槟：?guī)則庫(kù)是由規(guī)則集合組成的，所以這些規(guī)則之間的關(guān)系及規(guī)則整體都蘊(yùn)涵著有趣的問(wèn)題。如，這些規(guī)則涵蓋了模糊系統(tǒng)所有可能面對(duì)的情況了嗎?這些規(guī)則之間有沖突嗎?為回答這些問(wèn)題，引入下列概念定義7.1 如果對(duì)任意x∈U，在模糊規(guī)則庫(kù)中都至少存在一條規(guī)則，稱之為規(guī)則Ru[形如規(guī)則(7.1)]，對(duì)于所有i=1，2，…，n都滿足

μAl(xi)≠0。

則稱這個(gè)模糊IF-THEN規(guī)則集合是完備的。直觀地講，一個(gè)規(guī)則集合的完備性表明，輸入空間中的任意點(diǎn)上都至少存在一條可用規(guī)則。也就是說(shuō)，規(guī)則的IF部分的隸屬度值在這一點(diǎn)上是非零的

(l)CompanyLogo模糊規(guī)則庫(kù)-特性例7.1考慮U=U1xU2=[0，1J]x[0，1]和V=[0，1]上的一個(gè)二維輸入一維輸出模糊系統(tǒng)。在U1

上定義三個(gè)模糊集合同S1，M1

，L1

，在U2上定義兩個(gè)模糊集合S2，L2(見(jiàn)圖7.2)。為了保證模糊規(guī)則庫(kù)的完備性，該模糊規(guī)則庫(kù)必須