第4章彎曲內(nèi)力

王明祿01二月2023第七章應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論§7–１應(yīng)力狀態(tài)的概念一、引言軸向拉壓同一橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力相等：FF同一點(diǎn)在斜截面上時(shí)：

此例表明：即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。

過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方向面？指明二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：通過受力構(gòu)件一點(diǎn)處各個(gè)不同截面上的應(yīng)力情況。2.研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。三、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法—單元體法

1.單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一所截取的微小正六面體。xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz

（1）應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸，兩角標(biāo)相同時(shí)，只用一個(gè)角標(biāo)表示。（2）面的方位用其法線方向表示3.截取原始單元體的方法、原則①用三個(gè)坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依問題和構(gòu)件形狀而定)在一點(diǎn)截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：2.單元體上的應(yīng)力分量PMeMePPMeMec)同b)，但從上表面截取Ctssb)橫截面，周向面，直徑面各一對(duì)Ba)一對(duì)橫截面，兩對(duì)縱截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA四、應(yīng)力狀態(tài)分類(按主應(yīng)力)

1.①主平面：?jiǎn)卧w上剪應(yīng)力為零的面；②主單元體：各面均為主平面的單元體，單元體上有三對(duì)主平面；③主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。旋轉(zhuǎn)y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類：

①只有一個(gè)主應(yīng)力不為零稱單向應(yīng)力狀態(tài)；②只有一個(gè)主應(yīng)力為零稱兩向應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài))；③三個(gè)主應(yīng)力均不為零稱三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))；④單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，平面和空間應(yīng)力狀態(tài)又稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)?！?–3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO規(guī)定：截面外法線同向?yàn)檎?；亦即拉正壓?fù)

ta繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

a逆時(shí)針為正。2.任意a角斜截面上的應(yīng)力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx利用三角函數(shù)公式，并注意到化簡(jiǎn)得同理：確定正應(yīng)力極值設(shè)α＝α0

時(shí)，上式值為零，即3.

正應(yīng)力極值和方向

由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。

所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ34.極值切應(yīng)力：

①令：，可求出兩個(gè)相差90o

的

a1，代表兩個(gè)相互垂直的極值切應(yīng)力方位。②極值切應(yīng)力：③(極值切應(yīng)力平面與主平面成45o)要求大家必須記住的公式：7.3~7.8思考：極值正應(yīng)力和極值切應(yīng)力什么大小關(guān)系？主單元體的確定方法1.由極值應(yīng)力公式求出2個(gè)極值應(yīng)力，加上第三方向上為零的一個(gè)應(yīng)力，即為所求的三個(gè)主應(yīng)力。2.由公式7.5求出，和其垂直的方向即為主應(yīng)力的方向。3.技巧：須將正應(yīng)力中代數(shù)值較大的定義為。

(驗(yàn)證：兩個(gè)切應(yīng)力箭頭相對(duì)的象限里是，與其垂直的方向即為。)xx例7.1已知:單元體各側(cè)面應(yīng)力

x=60MPa,xy=20.6MPa,

y=0,xy=-20.6MPa求:(1)=-450斜截面上的應(yīng)力,(2)主應(yīng)力和主平面xx30MPa50.6MPa17.20xxx=60MPa,xy=20.6MPa,y=0,yx=-20.6MPa6.4MPa66.4MPa403020單位：MPaasata14.9os3s1s3s1

例7.2

圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。單元體的兩個(gè)相互垂直截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)xyxy+/2已知：圖示原始單元體求：例7.3[例7.4]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知11330=11.98°[練習(xí)]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知33110=－67.5°[練習(xí)]求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知11330=18.43°解：C點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，其拉應(yīng)力和切應(yīng)力為：例7.6圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C點(diǎn)=30°截面上的應(yīng)力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF

圖示斜截面上應(yīng)力分量為：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)4)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成±45o斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的剪應(yīng)力；5)對(duì)于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常是橫截面上的最大剪應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；6)對(duì)于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常沿與軸線成45o的螺旋面發(fā)生拉斷。例7.7

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。練習(xí)：確定下列單元體主平面的位置以及主應(yīng)力的大小這個(gè)方程恰好表示一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓

§7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法

將第一式移項(xiàng)后兩邊平方與第二式兩邊平方相加圓心坐標(biāo)為半徑為RC應(yīng)力圓的畫法D(sx,txy)D1(sy,tyx)cRADxyoB1BA1A應(yīng)力圓的畫法步驟:⒈作橫軸為軸，縱軸為軸；⒉作點(diǎn)D和D13.連接DD1交橫軸于C，4.以C為圓心，CD為半徑作圓，即為應(yīng)力圓。[例1]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知50303030取:

連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。5030303011330=18.43°[例2]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知取:

連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。202020200=45°201133[練習(xí)]試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知取:

連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。COB1D1D2B21005050COB1D1D2B21005050A1A22011330=22.5°[例5]已知一點(diǎn)處兩個(gè)斜截面上