1闡述了數學期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質與計算，會求隨機變量函數的數學期望和方差。2要熟記兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數分布和正態(tài)分布的數學期望與方差。3給出了契比雪夫不等式，要會用契比雪夫不等式作簡單的概率估計。4引進了協方差、相關系數的概念，要掌握它們的性質與計算。5要掌握二維正態(tài)隨機變量的不相關與獨立的等價性。6給出了矩與協方差矩陣。第四章小結返回主目錄一、闡述了數學期望、方差的概念及背景，要掌握它們的性質與計算，會求隨機變量函數的數學期望和方差。第四章小結返回主目錄1、數學期望：2、隨機變量函數的數學期望設Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數，若X,Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)性質返回主目錄

若(X,Y)是二維隨機變量，是二元連續(xù)函數，則

(1)若(X,Y)的分布律為，(2).若(X,Y)的概率密度為則第四章小結返回主目錄第四章小結第四章小結返回主目錄3、方差

連續(xù)型。

性質定義：計算公式：()22EXEXDX-=二、要熟記兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數分布和正態(tài)分布的數學期望與方差。第四章小結返回主目錄1.兩點分布2.二項分布4.均勻分布5．正態(tài)分布

6.指數分布第四章小結返回主目錄三、給出了契比雪夫不等式，要會用契比雪夫不等式作簡單的概率估計。稱Y是隨機變量X的標準化了的隨機變量。隨機變量的標準化：1、協方差及相關系數的定義第四章隨機變量的數字特征協方差定義：COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)返回主目錄特別COV（X，X）=DX計算公式:COV（X，Y）=E(XY)-E(X)E(Y)D(aX+bY)=特別相關系數四、引進了協方差、相關系數的概念，要掌握它們的性質與計算。第四章隨機變量的數字特征定理：若X，Y獨立，則X,Y不相關。返回主目錄但是，X，Y不相關，不一定有X，Y相互獨立。2、協方差的性質X，Y獨立與X,Y不相關的關系：第四章隨機變量的數字特征說明X與Y之間沒有線性關系并不表示它們之間沒有關系。3、相關系數的性質的量．之間線性關系緊密程度與量相關系數是表征隨機變YX存在著線性關系；之間以概率與時，當，11YXYX=r之間的線性關系越弱；與時，越接近于當，YXYX0r()．不相關之間不存在線性關系與時，當，YXYX0=r第四章隨機變量的數字特征則X，Y獨立=0X，Y不相關。返回主目錄§3協方差五、要掌握二維正態(tài)隨機變量的不相關與獨立的等價性。5、n維正態(tài)分布的性質第四章隨機變量的數字特征返回主目錄4)相互獨立的一維正態(tài)隨機變量的線性組合服從正態(tài)分布第四章隨機變量的數字特征返回主目錄5)n維正態(tài)隨機變量的邊緣分布是一維正態(tài)分布；反之，若服從正態(tài)分布，且相互獨立，則服從n維正態(tài)分布。注:()(),~)1222121rssmm，，，，，若NYX)2,(~2122221221srsssmmabbabaNbYaX++++則),(~22221221ssmmbabaNbYaX+++則第四章小結返回主目錄第四章習題課例1則X與Y的聯合分布為。第四章隨機變量的數字特征例2解：返回主目錄第四章隨機變量的數字特征例2續(xù)先求：返回主目錄第四章隨機變量的數字特征例2（續(xù)）則：返回主目錄例3解：例4解例5解例6解第四章隨機變量的數字特征§5矩求隨機變量X

和Y

的密度函數(2)問X

和Y是否獨立？為什么？例7第四章隨機變量的數字特征則解：由題意，不妨設二維隨機變量例7（續(xù)）第四章隨機變量的數字特征因此有且例7（續(xù)）第四章隨機變量的數字特征隨機變量X和Y的相關系數例7（續(xù)）第四章隨機變量的數字特征（2）由題設例7（續(xù)）例8解其數學期望為例9第四章隨機變量的數字特征對N個人進行驗血，有兩種方案：（1）對每人的血液逐個化驗，共需N次化驗；（2）將采集的每個人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個人一組混合后進行化驗（設N是k的倍數），若呈陰性反應，則認為k個人的血都是陰性反應，這時k個人的血只要化驗一次；如果混合血液呈陽性反應，則需對k個人的另一份血液逐一進行化驗，這時k個人的血要化驗k+1次；返回主目錄（例9續(xù)）第四章隨機變量的數字特征解：設X表示第二個方案下的總化驗次數，表示第i個組的化驗次數，則返回主目錄第四章隨機變量的數字特征（例9續(xù)）例如：當p=0.1，q=0.9時，可證明k=4可使最??；這時，工作量將減少40%.返回主目錄例10若有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們去試開門上的鎖。設取到每只鑰匙是等可能的。若把鑰匙試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數X的數學期望。（1）寫出X的分布律；（2）不寫出X的分布律。解因此則沿用（1）中的記號，則有故有例11假設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率是0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作。若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0萬元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內期望利潤是多少？解設X表示一周5天內機器發(fā)生故障的天數，則

X~B(5,0.2)。可得以Y表示所獲利潤，則利潤表達式為期望利潤例12第四章隨機變量的數字特征返回主目錄

設某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，30]上的均勻分布的隨機變量，而經銷商店進貨的數量為區(qū)間[10，30]中的整數，商店每銷出一單位商品可得利潤500元；若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，商店可從外部調劑供應，每單位商品僅獲利潤300元。為使商店所獲利潤不小于9280元，試確定最少進貨的數量。分析：設y為經銷商店的進貨量，Z為商店所獲利潤，第一步：確定利潤Z與需求量X、進貨量y的關系；第二步：固定y，求E（Z）；第三步：求y，使例12第四章隨機變量的數字特征返回主目錄解：設y為經銷商店的進貨量，Z為商店所獲利潤，（例12續(xù)）第四章隨機變量的數字特征X的概率密度為故最少進貨量為21。例13設二維隨機變量(X,Y)服從矩形上的均勻分布，記解由題意知，(X,Y)的聯合概率密度為所以，(U,V)的聯合分布律及各自的邊緣分布律為

UV01010.2500.250.50.250.750.50.5所以，因此，第四章隨機變量的數字特征例14用某臺機器生產某種產品，已知正品率隨著該機器所用次數的增加而指數下降，即P{第k次生產出的產品是正品}=假設每次生產100件產品，試求這臺機器前10次生產中平均生產的正品總數。解：設X是前10次生產的產品中的正品數，并設返回主目錄第四