13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題1、兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短．

）2、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，選哪條路最近？理由是什么？①②③

兩點(diǎn)之間,線段最短(Ⅰ)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

A..BP思考:為什么這樣就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短應(yīng)用ABl

B′P

點(diǎn)P的位置即為所求.M

作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.

②

連接AB′,交直線l于點(diǎn)P.(Ⅱ)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小.

為什么這樣做就能得到最短距離呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB>PA+PB

三角形任意兩邊之和大于第三邊比一比，誰(shuí)想的最快：?jiǎn)栴}1：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？BAl將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．B··Al運(yùn)用新知練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋思考：運(yùn)動(dòng)路徑中，哪一段路徑是恒定不變的？？？運(yùn)用新知基本思路：

由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使將軍從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA(二)造橋選址問(wèn)題思維分析BA

如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見(jiàn)1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.BAＭＮ上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN1.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA

的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D,

作點(diǎn)C關(guān)于直線

OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH2.如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊AO某一處牧馬，再到河邊BO飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA

的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F2.作點(diǎn)D關(guān)于直線

OB

的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E