§2-1薛定諤方程

薛定諤提出波函數(shù)所滿足的微分方程，用來處理低速實(shí)物粒子的運(yùn)動(dòng)問題。以薛定諤方程為基礎(chǔ)建立起來的理論體系，稱為量子力學(xué)。一、薛定諤方程的引入●一維運(yùn)動(dòng)自由粒子含時(shí)的薛定諤方程：非相對(duì)論動(dòng)能和動(dòng)量的關(guān)系即是一維運(yùn)動(dòng)自由粒子含時(shí)的薛定諤方程●勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)非自由粒子含時(shí)的薛定諤方程：勢(shì)場(chǎng)中粒子的能量即為勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)非自由粒子含時(shí)的薛定諤方程●粒子三維空間運(yùn)動(dòng)的一般薛定諤方程：將勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)非自由粒子含時(shí)的薛定諤方程推廣到三維情況。其中，梯度符號(hào)拉普拉斯算符令：哈密頓算符一般的薛定諤方程：量子力學(xué)處理微觀粒子運(yùn)動(dòng)問題的一般方法：

只要知道粒子的質(zhì)量和它在勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)的具體形式，就可寫出其薛定諤方程，再根據(jù)初值條件和邊值條件求解，得到描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，其絕對(duì)值的平方就給出粒子在不同時(shí)刻不同位置處出現(xiàn)的概率密度。二、定態(tài)不含時(shí)間的薛定諤方程所謂定態(tài)，即原子系統(tǒng)處于一系列不連續(xù)的能量狀態(tài)，此狀態(tài)下，電子能量狀態(tài)穩(wěn)定，不輻射能量，此原子系統(tǒng)處于定態(tài)。穩(wěn)定原子內(nèi)部的電子一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)都是定態(tài)，粒子在空間分布一定，各種平均值一定。顯然，E具有能量的量綱波函數(shù)可以寫成定態(tài)：能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。定態(tài)薛定諤方程解得波函數(shù)為概率密度：與時(shí)間無關(guān)，這樣的態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)波函數(shù)描述的粒子具有的性質(zhì)：1、粒子在空間各處的概率密度不隨時(shí)間變化。即分布一定。2、一切力學(xué)量（不含時(shí)間t）的平均值不變。一般，只有當(dāng)薛定諤方程中總能量E具有某些特定值時(shí)才有解。這些E值叫做能量的本征值。相應(yīng)的波函數(shù)稱為本征解或本征函數(shù)。顯然，穩(wěn)定原子內(nèi)部的電子、一維自由粒子都是定態(tài)。§2-2勢(shì)阱中的粒子一維定態(tài)一維無限深勢(shì)阱問題——理想模型V(x)xoa設(shè)粒子質(zhì)量為m。勢(shì)函數(shù)：定態(tài)薛定諤方程：～（1）

x<0,x>a時(shí)～～～通解：令：一維定態(tài)當(dāng)x≥a時(shí)，V

當(dāng)

時(shí)，要求A=0當(dāng)x≤0時(shí)，V

當(dāng)

時(shí)，要求B=0結(jié)論：

x<0，x>a的區(qū)域粒子出現(xiàn)的概率為零。邊值條件：（2）～0<x<a時(shí),V=0～～通解：由波函數(shù)連續(xù)性要求：～～～歸一化條件：

En稱為本問題中能量E的本征值。n相當(dāng)于玻爾理論中的量子數(shù)?！玍(x)xoaE1E3E2E4本征函數(shù)：本征值：V(x)xoaE1E3E2E4V(x)xoaE1E3E2E4一維勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)的特征：1、粒子能量是量子化的。稱n為粒子能量的量子數(shù)。2、粒子的最小能量不等于零。

經(jīng)典認(rèn)為粒子的能量可以為零。3、粒子在勢(shì)阱中出現(xiàn)的概率不均勻。經(jīng)典認(rèn)為勻速運(yùn)動(dòng)粒子應(yīng)該在各處均勻出現(xiàn)。4、薛定諤方程的解為駐波形式，即粒子的物質(zhì)波在勢(shì)阱中形成駐波。阱壁處為波節(jié)，粒子概率為零?！?-3

勢(shì)壘和隧道效應(yīng)一、粒子進(jìn)入勢(shì)壘二、有限寬勢(shì)壘和隧道效應(yīng)三、隧道效應(yīng)的應(yīng)用ψ2ψ1透射?反射入射1.勢(shì)函數(shù)

討論入射能量E<U0情況xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

一、粒子進(jìn)入勢(shì)壘

U(x)=

U0íì?0x<0x>

0I區(qū)令2.定態(tài)薛定諤方程xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

方程為II區(qū)令>3.薛定諤方程通解通解通解波動(dòng)形式指數(shù)增加和衰減考慮物理上的要求當(dāng)x

時(shí)2(x)應(yīng)有限所以D

=0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0

4.概率密度

(x

>0區(qū))x>0區(qū)(E<U0)粒子出現(xiàn)的概率

0U0

x

概率

本征波函數(shù)概率密度經(jīng)典：電子不能進(jìn)入E<U的區(qū)域(因動(dòng)能

0)量子：電子可透入勢(shì)壘

若勢(shì)壘寬度不大則電子可逸出金屬表面在金屬表面形成一層電子氣EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0二、有限寬勢(shì)壘和隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)EΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)x=aΨ3隧道效應(yīng)EΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)Ψ3振幅為

波穿過勢(shì)壘后將以平面波的形式繼續(xù)前進(jìn)()稱為勢(shì)壘穿透或隧道效應(yīng)經(jīng)典量子隧道效應(yīng)1.穿透系數(shù)穿透系數(shù)會(huì)下降6個(gè)數(shù)量級(jí)以上當(dāng)勢(shì)壘寬度

a約50nm以上時(shí)此時(shí)量子概念過渡到經(jīng)典量子物理：粒子有波動(dòng)性遵從不確定原理粒子經(jīng)過II區(qū)和能量守恒并不矛盾只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度x=a不是無限大粒子能量就有不確定量Ex=a很小時(shí)

P和E很大2.怎樣理解粒子通過勢(shì)壘區(qū)經(jīng)典物理：從能量守恒的角度看是不可能的三、隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道二極管金屬場(chǎng)致發(fā)射核的衰變…1.核的衰變UTh+He2382344粒子怎么過去的呢?通過隧道效應(yīng)出來的對(duì)不同的核算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致rRU35MeV4.25MeV0<<勢(shì)壘高度2.掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明

用于觀察表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）原理：利用量子力學(xué)的隧道效應(yīng)1986.Nob：魯斯卡（E.Ruska）

1932發(fā)明電子顯微鏡賓尼（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STMU0U0U0ABdE電子云重疊隧道電流iABUd探針樣品A——常量——樣品表面平均勢(shì)

壘高度（~eV）d~10A。d變

i變反映表面情況隧道電流反饋傳感器參考信號(hào)顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖某種型號(hào)的掃描隧道顯微鏡基于STM工作原理或掃描成像方法的派生顯微鏡系列原子力(AFM)磁力分子力顯微鏡等等

用AFM得到的癌細(xì)胞的表面圖象“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮P.98圖4-8操縱原子不是夢(mèng)“原子書法”

1994年中國(guó)科學(xué)院科學(xué)家“寫”出的平均每個(gè)字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮插頁彩圖13