第二章點、直線、平面的投影

投影法

物體的三視圖

物體上點的投影

物體上直線的投影

物體上面的投影投影法

投影法的概念

投影法的分類

平行投影法的基本性質(zhì)一、投影法的概念

投射線通過物體向選定的投影面投射，并在該投影面上得到投影的方法稱為投影法。

投射中心投射線物體投影投影面二、投影法的分類中心投影法：投射線都通過投射中心

平行投影法：投射線互相平行

正投影法斜投影法正投影法斜投影法中心投影法三、平行投影法的基本性質(zhì)

點的投影仍為點，直線的投影仍為直線，平面的投影為原平面圖形的類似形。

直線的類似性平面的類似性1.類似性

當直線或平面圖形平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭?。三、平行投影法的基本性質(zhì)直線的實形性平面的實形性2.實形性

當直線或平面圖形垂直于投影面時，其投影積聚成一點或一直線。

三、平行投影法的基本性質(zhì)積聚性3.積聚性

三面投影體系的建立物體的三視圖

三視圖的形成

三視圖的投影規(guī)律一、三面投影體系的建立1.單面投影體系點在單投影面上的投影HHAAaaB

空間點A在投影面上有唯一的投影a而已知空間點A在投影的投影a，不能唯一確定點A的位置。點的一個投影不能確定空間點A的位置解決：增加投影面怎么辦？一、三面投影體系的建立2.兩面投影體系點在兩投影面上的投影

已知點A的兩個投影a和a’

可以唯一確定空間點A的位置

對于復(fù)雜的物體僅有兩投影面上的投影也是不能確定物體的形狀，仍需增加投影面一、三面投影體系的建立3.三面投影體系

三個互相垂直的投影面組成三投影面體系。正立的投影面稱為正立投影面，用V表示；水平的投影面稱為水平投影面，用H表示；側(cè)立的投影面稱為側(cè)立投影面，用W表示。這三個互相垂直的平面把空間分為八個分角，習(xí)慣上采用第一分角畫法。二、三視圖的形成

將物體放在三投影面體系的第一分角，分別向三個投影面進行投影，在三個投影面上得到的圖形即為三視圖。在V面上得到的投影稱為主視圖主視圖在H面上得到的投影稱為俯視圖俯視圖在W面上得到的投影稱為左視圖左視圖二、三視圖的形成

為了把三個視圖畫在一張圖紙上，國家標準規(guī)定：V面不動，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°,W面繞OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90°，使其與V面處在同一平面，然后去掉邊框和投影軸就得到物體的三視圖。主視圖俯視圖左視圖向下旋轉(zhuǎn)90°向右旋轉(zhuǎn)90°三、三視圖的投影規(guī)律三視圖的位置關(guān)系

：左右左右主、俯視圖反映左右即物體的長主、左視圖反映上下即物體的高俯、左視圖反映前后即物體的寬上下上下后前后前三、三視圖的投影規(guī)律左右左右主、俯視圖長對正主、左視圖高平齊俯、左視圖寬相等上下上下后前后前

點在三面投影體系中的投影物體上點的投影

點的直角坐標和三面投影的關(guān)系

三面投影體系中點的投影規(guī)律

兩點的相對位置

重影點一、點在三面投影體系中的投影空間點用大寫字母A表示在H面上的投影稱水平投影，用小寫字母a表示。在V面上的投影稱正面投影，用a′表示。在W面上的投影稱側(cè)面投影，用a″表示。二、點的直角坐標和三面投影的關(guān)系坐標值xA、yA、zA分別為A點到投影面W、V、H的離。

已知空間點A（x,y,z）的坐標,在三投影面體系中點A有唯一的一組投影(a、a′、a″）

a由A點的x、y兩坐標確定；xya′由A點的x、z兩坐標確定；a＂由A點的y、z兩坐標確定；xzyz二、點的直角坐標和三面投影的關(guān)系a由A點的x、y兩坐標確定；a′由A點的x、z兩坐標確定；

a＂由A點的y、z兩坐標確定。

即點的任意兩個投影就能包含點的三個坐標。點的兩面投影能唯一確定點的空間位置三、三面投影體系中點的投影規(guī)律a′和a都反映空間點A的X坐標，a′a⊥OX

。a′和a″反映空間點A的Z坐標，a′a″⊥OZ

。a和a″都反映空間點A的Y坐標，aax=a″az

。以上三條即為點的投影規(guī)律。四、兩點的相對位置

空間兩點的相對位置可由它們的坐標確定，那由點的投影圖怎么判斷它們的相對位置呢？

在投影圖上，可以通過兩點的坐標來判斷它們的相對位置。投影也可以反映點的坐標

四、兩點的相對位置通過兩點同面投影的坐標差來判斷它們的相對位置:Δx=xA-xB

,若Δx>0A點在B點的左方，反之，A點在B點的右方Δy=yA-yB

,若Δy>0A點在B點的前方，反之，A點在B點的后方Δz=zA-zB

,若Δz>0A點在B點的上方，反之，A點在B點的下方

四、兩點的相對位置A點在B點的右方、后方、下方。五、重影點

當空間兩點處于同一投射線上，則兩點在與此射線垂直的投影面上的投影重合為一點，稱此兩點為對該投影面的重影點。

如圖點A和點C是相對于V面的重影點。五、重影點

重影點的重合投影有“上遮下”、“前遮后”、“左遮右”的關(guān)系，重影點要在所重合的投影面上判別可見性,被遮擋點的投影符號要用（）括起來。

點A和點C在V面上的投影重合，兩點相對V面存在遮擋關(guān)系。在V面上判別可見性總結(jié)：五、重影點

判別可見性的方法：

比較兩點不相同的那個坐標，坐標值大的可見，另一個不可見。

圖A點在C點的前方，所以相對V面，A點可見C點不可見,c′用（）括起。例1.已知點A(30,15,20)，試作其三投影。10203010201020aa’a’’1020例題例2.已知點的兩個投影，求作第三投影。a’’bc’例題

直線的投影物體上直線的投影

各種位置直線的投影特性

兩直線的相對位置

直線上的點

直角投影定理一、直線的投影怎么求直線的投影？

直線的投影就是直線上兩個端點的同面投影的連線。

我們知道空間一直線是由其上的兩點決定aa’’a’bb’’b’二、直線的分類根據(jù)直線相對投影面的位置不同，將直線分為以下三類

一般位置直線—與三個投影面都傾斜的直線，也稱投影面傾斜線；投影面平行線—平行于某一投影面，且與另兩個投影面傾斜的直線；投影面垂直線—垂直于某一投影面與另兩個投影面平行的直線。二、各種位置直線的投影特性一般位置直線投影特性1.三個投影都與投影軸傾斜，且投影的長度均小于該直線的實長；

2.任何一個投影與投影軸的夾角均不反映空間直線與投影面間的傾角。

二、各種位置直線的投影特性投影面平行線根據(jù)所平行的投影面的不同又分為：正平線—平行于V面且傾斜于H、W面的直線；

水平線—平行于H面且傾斜于V、W面的直線；側(cè)平線—平行于W面且傾斜于H、V面的直線。

正平線（∥V面）投影特性1.在V面上的投影a′b′反映實長，并且映、；2.在其它面上的投影：ab∥OX,a″b″∥OZ,且都小于實長。

a′b′=AB二、各種位置直線的投影特性投影面平行線的投影特性:總結(jié)投影面平行線的投影特性1.在所平行的投影面上的投影反映實長，并且反映空間直線與投影軸的傾角；2.在其它兩個投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸且都小于實長。

二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性投影面垂直線根據(jù)所垂直的投影面的不同又分為：正垂線—垂直于V面平行于H、W面的直線；

鉛垂線—垂直于H面平行于V、W面的直線；

側(cè)垂線—垂直于W面平行于H、V面的直線。

正垂線（⊥V面）投影特性在V面上的投影a′b′積聚為一點；在其它面上的投影：ab⊥OX,a″b″=

⊥OZ,且ab=a″b″=

ABa′b′積聚成點二、各種位置直線的投影特性投影面垂直線的投影特性總結(jié)投影面垂直線的投影特性1.在所垂直的投影面上的投影積聚為一點；2.在其它兩個投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。二、各種位置直線的投影特性三、直線上的點1.從屬性

若點在直線上，則點的投影必然在直線的同面投影上，且符合點的投影規(guī)律；

反之，若點的投影在直線的同面投影上，且符合點的投影特性，則空間點必然在直線上。三、直線上的點2.定比性

點在直線上，則點分線段之比等于點的投影分線段的同面投影之比。AC:CB＝ac:cb＝a＇c＇:c＇b＇=a＂c＂:c＂b＂cc’例1:已知點C分線段AB的比為3：2，試作點C的投影。例題四、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有三種：平行、相交、交叉。CD與EF是平行關(guān)系A(chǔ)B和AE是相交關(guān)系A(chǔ)B和CD是交叉關(guān)系平行兩直線平行兩直線的投影特性滿足平行性和定比性平行兩直線的同面投影必定平行

同面投影長度之比都等于其實長之比四、兩直線的相對位置反之，兩直線的投影滿足平行性和定比性則兩直線平行。四、兩直線的相對位置相交兩直線

反之，兩直線各組同面投影相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則空間兩直線相交。交點符合點的投影規(guī)律即投影的交點為交點的投影

同面投影必相交交叉兩直線

兩直線既不符合平行兩直線的投影特性也不符合相交兩直線的投影特性，那么這兩直線為交叉兩直線。四、兩直線的相對位置例1：判別兩直線AB、CD的空間相對位置。

交叉兩直線可能有一組或兩組同面投影平行，但不可能三組同面投影都平行；四、兩直線的相對位置方法一：做出直線AB、CD的第三投影，若在W面上的投影也平行則兩直線平行，否則兩直線交叉。a’’b’’c’’d’’方法二：判別直線AB、CD在兩個投影面上投影的方向是否一致。方法一：做出直線AB、CD的第三投影，若在W面上的投影相交且交點符合點的投影規(guī)律則兩直線相交，否則兩直線交叉。

交叉二直線也可能在三個投影面上的投影都相交，可交點必定不符合點的投影規(guī)律，此時投影的交點是兩直線上點對投影面的重影點。四、兩直線的相對位置例2：判別兩直線AB、CD的空間相對位置。

交點不符合點的投影規(guī)律a’’b’’c’’d’’方法二：判別點分線段是否成比例。若成比例說明投影的交點是同一個點（交點）的投影。四、兩直線的相對位置例2：判別兩直線AB、CD的空間相對位置。b1ab1=a’b’k’k1ak1=a’k’kkk1∥bb1H面上交點的投影不重合，∴直線AB、CD為交叉兩直線。e’f’e(f)g’(h’)g’h’四、兩直線的相對位置例3：找出交叉兩直線AB、CD的重影點。五、直角投影定理

互相垂直的兩直線（垂直相交或垂直交叉），若其中一條直線平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上的投影必定互相垂直。

反之，相交或交叉的兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一直線是該投影面的平行線，則兩直線在空間必定互相垂。

AB為水平線且AB⊥AC則ab⊥AC,而ab⊥Aa∴ab⊥面ACca,∴ab⊥ac例：判斷以下兩直線是否垂直。垂直五、直角投影定理

平面的表示法物體上平面的投影

各種位置平面的投影特性

平面上的點和線直線與平面、平面與平面的相對位置一、平面的表示法

平面通?？捎么_定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素表示。

平面的這些表示形式是可以互相轉(zhuǎn)化的。二、各種位置平面的投影特性根據(jù)平面對投影面的相對位置的不同將平面分為三類：一般位置平面—與三個投影面都傾斜的平面；投影面平行面—平行于某一投影面，與另兩個投影面垂直的平面；投影面垂直面—垂直于某一投影面且與另兩個投影面傾斜的平面。一般位置平面投影特性1.三個投影都是原平面的類似形，都不反映平面的實形；

2.任何一個投影與投影軸的夾角均不反映平面與投影面間的傾角。

二、各種位置平面的投影特性原平面的類似形投影面垂直面根據(jù)所垂直的投影面的不同又分為：正垂面—垂直于V面且傾斜于H、W面的平面；

鉛垂面—垂直于H面且傾斜于V、W面的平面；側(cè)垂面—垂直于W面且傾斜于H、V面的平面。

二、各種位置平面的投影特性正垂面（⊥V面）投影特性1.在V面上的投影積聚為一直線，并反映空間直線對投影面的傾角α、γ;2.在其它投影面上的投影為原平面圖形的類似形。投影積聚成線二、各種位置平面的投影特性投影面垂直面的投影特性總結(jié)投影面垂直面的投影特性:1.在所垂直的投影面上的投影積聚為直線,并反映平面與投影面的傾角；2.在其它投影面上的投影為原平面圖形的類似形。二、各種位置平面的投影特性投影面平行面根據(jù)所平行的投影面的不同又分為：正平面—平行于V面垂直于H、W面的平面；

水平面—平行于H面垂直于V、W面的平面；側(cè)平面—平行于W面垂直于H、V面的平面。

二、各種位置平面的投影特性正平面（∥V面）投影特性1.在V面上的投影反映實形;2.在其它兩個投影面上的投影積聚成直線,且水平投影∥OX軸,側(cè)面投影∥OZ軸。投影積聚成線投影積聚成線實形二、各種位置平面的投影特性投影面平行面的投影特性總結(jié)投影面平行面的投影特性:1.在所平行的投影面上的投影反映實形；2.在其它兩個投影面上的投影積聚成直線,且投影平行于相應(yīng)的投影軸。二、各種位置平面的投影特性

點在平面上的幾何條件是：點在該平面內(nèi)的一條直線上，則此點一定在該平面上。

面上取點先取線三、平面上的點和線直線在平面上的幾何條件是：1.若直線通過平面上的兩個點，則此直線一定在該平面

上。

面上取線先取線上