第三章

測度理論本章先介紹集合的外測度定義與性質(zhì)，然后引入可測集的定義、討論可測集的性質(zhì)，最后研究了可測集的構(gòu)造。其目的在于為改造積分定義時對分割、求和所涉及的不太規(guī)則集合求相應(yīng)的“長度”、“面積”、“體積”。引言

其中積分與分割、介點集的取法無關(guān)幾何意義（非負函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi

表示Ei

的“長度”問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?|E|應(yīng)具有長度、面積和體積的度量性質(zhì)，所以它應(yīng)滿足如下性質(zhì)：1、非負性|E|>=0;2、單調(diào)性若E1?E2，則|E1|<=|E2|;3、可加性E1∩E2=Φ，則|E1∪E2|=|E1|+|E2|；4、次可加性|E1∪E2|<=|E1|+|E2|；5、平移、旋轉(zhuǎn)不變性：若E經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)變?yōu)镋*，則|E|<=|E*|;6、若E是區(qū)間、面積和體積，則|E|就是E的長度、面積和體積。第一節(jié)開集的體積設(shè)I=I1×I2×I3×…×In,Ik=[ak,bk]或（ak,bk

）或[ak,bk

），或（ak,bk]，則|I|=|I1|×|I2|×|I3|×…×|In|=(b1–a1)(b2–a2)…)(bn–an)稱I為Rn中的一個閉區(qū)間或開區(qū)間或右閉左開區(qū)間或左開右閉區(qū)間，并稱|I|為I的體積。定義

設(shè)G是Rn

中的開集1、如果G=Φ

，則|G|=02、如果G≠

Φ

，且G=I=I1∪

I2∪

I3∪

…∪

In，其中Ik

，

k=1,2,

…,n是兩兩不相交的左開右閉區(qū)間，則記并稱|G|為G的“體積”。定理1設(shè)是兩組區(qū)間，如果兩兩不交，且，則。證明：略定理2設(shè)G和Gk是Rn

中的開集,1、如果G≠

Φ

，則|G|>0；2、如果G1

?G2

，則|G1|<=|G2|；3、；4、如果互不相交，則。圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）第二節(jié)點集的外測度

達布上和與下和

Riemann積分xi-1xi達布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達布上和的極限上積分（外包）外測度(外包)并稱之為E的外測度。定義：，記定理外測度具有如下性質(zhì):1、非負性：對E?Rn，m*E>=0;2、單調(diào)性：若A?B?Rn

，則m*A<=m*B;3、次可數(shù)可加性：對Rn中的任意一列子集有4、分離條件下的可數(shù)可加性：設(shè)Ej?Rn,j=1,2,…,若在Rn中存在一列互不相交的子集使得Ej?Gj

，則下確界：證明：1）顯然；2）因為能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。3）對任意的ε>0及正整數(shù)j,由外測度的定義知，取Ej?Gj

則G是開集，且于是由ε的任意性，得注：一般證明都是從大的一邊開始，因為外測度的定義用的是下確界4）對任意的ε>0，取使得則是一列互不相交的開集由ε的任意性，得再由3）即得對任意區(qū)間，有例例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再