第二十三講等腰三角形考綱要求1.①了解等腰三角形的有關(guān)概念；

②會(huì)用分類的思想解決等腰三角形的有關(guān)問(wèn)題.2.探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三

角形的條件.3.①了解等邊三角形的概念；

②探索等邊三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等邊三角形

的條件.4.已知底邊及底邊上的高，能作出等腰三角形.5.掌握線段的垂直平分線的概念、性質(zhì)、判定.accacba網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

等腰三角形1．定義：有兩條邊____的三角形叫做等腰三角形．2．性質(zhì)：(1)等腰三角形兩底角____，簡(jiǎn)稱__________； (2)等腰三角形__________、底邊上的中線、__________互相重合，簡(jiǎn)稱三線合一； (3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是________________直線．3．判定：(1)有兩條邊____的三角形是等腰三角形； (2)有____相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)稱為_(kāi)_________．相等相等等邊對(duì)等角頂角平分線底邊上的高底邊上的高所在的相等兩角等角對(duì)等邊【即時(shí)應(yīng)用1】一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別為4cm和8cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.

答案

20【即時(shí)應(yīng)用2】如圖，AE∥BD，C是BD上的點(diǎn)，且AB＝BC，∠ACD＝110°，則∠EAB＝________度．

答案

40

等邊三角形1．定義：______都相等的三角形叫做等邊三角形．2．性質(zhì)：(1)等邊三角形三條邊______，三個(gè)角______，且每個(gè)角都等于____； (2)等邊三角形是__對(duì)稱圖形，它有____對(duì)稱軸．3．判定：(1)三條邊都____的三角形是等邊三角形； (2)三個(gè)角都____的三角形是等邊三角形； (3)有一個(gè)角等于____的__________是等邊三角形．三條邊都相等都相等60°相等三條60°軸相等等腰三角形【即時(shí)應(yīng)用3】如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中∠α＋∠β的度數(shù)是

(

)A．180° B．220°C．240° D．300°答案

C助學(xué)微博1．在解有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，有一種習(xí)慣上的認(rèn)識(shí)，總認(rèn)為腰大于底，這是造成錯(cuò)解的原因．實(shí)際上底也可以大于腰，此時(shí)也能構(gòu)成三角形．2．有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題，若條件中沒(méi)有明確底和腰時(shí)，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個(gè)方面進(jìn)行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同樣，在底角沒(méi)有被指定的等腰三角形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行討論．注意運(yùn)用分類討論的方法，將問(wèn)題考慮全面，不能想當(dāng)然.

對(duì)接點(diǎn)一：等腰三角形的性質(zhì)和判定?？冀嵌龋?.等腰三角形的性質(zhì)；2．等腰三角形的判定；3．等腰三角形底邊上的高、頂角的平分線、底邊上的中線三線合一．【例題1】(2013·紹興)如圖鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，則∠A的度數(shù)是__________．解析設(shè)∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°，即∠A＝12°.答案

12°1．遇等腰三角形時(shí)往往考查“三線合一”與等角對(duì)等邊；2．求角的度數(shù)常常利用三角形內(nèi)角和定理或解直角三角形來(lái)解決．【預(yù)測(cè)1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，△AB′C和△ABC關(guān)于AC所在的直線對(duì)稱，AD和B′C相交于點(diǎn)O，連接BB′. (1)請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰三角形(不添加字母)； (2)求證：△AB′O≌△CDO.(1)解

△ABB′，△AOC和△BB′C；(2)證明在?ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠D.由軸對(duì)稱知AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C，∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D.∴△AB′O≌△CDO(AAS)．

對(duì)接點(diǎn)二：等邊三角形的性質(zhì)與判定?？冀嵌龋?.等邊三角形的性質(zhì)；2．等邊三角形的判定；3．等邊三角形的軸對(duì)稱性．【例題2】(2012·杭州)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE.

分析：(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可．(2)如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長(zhǎng)．(1)證明在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠BAD＝∠CDA.而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，AB＝AE，DC＝DF，且∠BAE＝∠CDF＝60°，∴AE＝DF，∠EAD＝∠FDA，AD＝DA，(1)求證：AF＝DE；(2)若∠BAD＝45°，AB＝a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長(zhǎng)．∴△AED≌△DFA(SAS)，∴AF＝DE；(2)解如圖作BH⊥AD于H，CK⊥AD于K，則有BC＝HK，∵∠BAD＝45°，∴∠HAB＝∠KDC＝45°，等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此它不僅具有等腰三角形的一切性質(zhì)，而且還具有一般等腰三角形所不具備的特性；等邊三角形三邊上的中線、高及三個(gè)內(nèi)角平分線重合且交于同一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三邊的距離相等，到三頂點(diǎn)的距離相等，且到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍．【預(yù)測(cè)2】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________度．解析

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°.∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°.∵DF＝DE，∴∠E＝15°.答案

15

對(duì)接點(diǎn)三：分類討論思想?？冀嵌龋?.對(duì)等腰三角形的角分頂角和底角討論；2．對(duì)等腰三角形的邊分腰和底邊討論．【例題3】(2013·雅安)若(a－1)2＋|b－2|＝0，則以a、b為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析根據(jù)題意得，a－1＝0，b－2＝0，解得a＝1，b＝2.①若a＝1是腰長(zhǎng)，則底邊為2，三角形的三邊分別為1，1，2.∵1＋1＝2，∴不能組成三角形．②若a＝2是腰長(zhǎng)，則底邊為1，三角形的三邊分別為2，2，1，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2＋2＋1＝5.答案

51．平方、絕對(duì)值、算術(shù)平方根都具有非負(fù)性；2．遇等腰三角形時(shí)應(yīng)注意哪條邊為腰，哪條邊為底，當(dāng)不能確定腰和底時(shí)，應(yīng)進(jìn)行討論，同時(shí)還應(yīng)注意三邊之間應(yīng)滿足三邊關(guān)系．【預(yù)測(cè)3】已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個(gè)等腰三角形的頂角是 (

)

A．30° B．60° C．150° D．30°或150°

解析

①當(dāng)為銳角三角形時(shí)可以畫圖，高與左邊腰成60°夾角，由三角形內(nèi)角和為180°可得，頂角為30°；②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)可畫圖，此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為30°，所以三角形的頂角為150°.答案

D易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)等腰三角形的角忘記討論，造成漏解辨識(shí)：當(dāng)已知等腰三角形的一角時(shí)，對(duì)已知的角要分底角和頂角兩種情況討論．【例題1】(2010·楚雄州)已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 (

) A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不對(duì) [錯(cuò)解]

A或B[錯(cuò)因分析]

70°沒(méi)有指明是等腰三角形的頂角還是等腰三角形的底角，當(dāng)70°為頂角時(shí)，另外兩角為55°，55°；當(dāng)70°為底角時(shí)，另外兩角為70°，40°.[正解]當(dāng)70°為頂角時(shí)，另外兩個(gè)角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為(180°－70°)÷2＝55°；當(dāng)70°為底角時(shí)，另外一個(gè)底角也是70°，頂角是180°－140°＝40°.答案

C易錯(cuò)點(diǎn)2：對(duì)等腰三角形的邊忘記討論，造成漏解辨識(shí)：當(dāng)已知等腰三角形的一邊時(shí)，對(duì)已知的邊要分底邊和腰兩種情況討論．【例題2】(2012·襄陽(yáng))在等腰△ABC中，∠A＝30°