第一章三角形的證明ACB有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.

腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.一、等腰三角形的概念

證明:∴∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中作頂角∠BAC的平分線AD.AB＝AC

（已知）

∠1＝∠2

（已證）

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝

∠C

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

求證：等腰三角形的兩底角相等.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC等腰三角形的性質(zhì):ACB

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫“等邊對(duì)等角”)在△ABC中∵AB=AC∴∠B＝∠C

(等邊對(duì)等角)注意：在一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角.ABCD12作頂角的平分線AD

△ABD≌△ACD證到了

除了得到∠B=∠C外

還可以得到：

BD=CD

即AD是BC邊上的中線

即AD是BC邊上的高

∠ADB=∠ADC=90°

等腰三角形

（1）性質(zhì)：①等腰三角形的

兩底角

相等。（“等邊對(duì)等角”）②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線

互相重合

（三線合一）。

在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠___=∠___，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中線，∴∠＿=∠＿，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴____⊥____，____=____.

CAB12D等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)用符號(hào)語(yǔ)言表示為：12BＤCＤ12ADBCADBCBDCD1．已知等腰三角形的一個(gè)底角為80°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為(

)A．20°B．40°

C．50°D．80°考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)2.等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為5cm和6cm，則它的周長(zhǎng)是_______________．考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底邊BC＝12cm，

則△ABC的角平分線AD的長(zhǎng)是________cm.考點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì)如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，圖中一共有幾個(gè)等腰三角形？找出其中的一個(gè)等腰三角形給予證明．ABCD已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，

AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．

等腰三角形

（2）判定：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形.②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）.

2.如圖,在△ABD中,C是BD上的一點(diǎn)，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形;（2）求∠BAD的度數(shù).已知：如圖，在△ABC中,AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.21EDCBA求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角)．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線．證明:等腰三角形兩底角的平分線相等.43EDCBA求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4．

在△ABD和△ACE中，∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的高．證明:等腰三角形兩腰上的高相等.求證：BD=CE．EDCBA

分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個(gè)三角形的全等．大膽嘗試，練一練！已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的中線．2.證明:等腰三角形兩腰上的中線相等.求證：BD=CE．EDCBA

分析：要證BD=CE，就需證BD和CE所在的兩個(gè)三角形的全等．

等邊三角形

（1）定義：

三條邊都相等

的三角形是等邊三角形。

（2）性質(zhì)：①三個(gè)內(nèi)角都等于60度，三條邊都相等②具有等腰三角形的一切性質(zhì)。

等邊三角形

（3）判定：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。1．邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形中，其一邊上高的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．考點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)2．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________度．考點(diǎn)2等邊三角形的性質(zhì)

直角三角形

（1）性質(zhì):直角三角形的兩銳角互余。(2)定理：直角三角形中，如果一個(gè)銳角是30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。(3)定理：在直角三角中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

直角三角形

（3）判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB邊上的中線，則CD的長(zhǎng)是(

)A．20B．10C．5D.考點(diǎn)3

直角三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若AD＝6，則CD＝_____．考點(diǎn)3直角三角形3．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是(

)A．3.5B．4.2C．5.8D．7考點(diǎn)3直角三角形2．下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是(

)A．3，4，5B．6，8，10C.，2，D．5，12，13考點(diǎn)4勾股定理及其逆定理2.一架長(zhǎng)5米的梯子AB，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子底端距墻底3米．如果梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動(dòng)1米嗎？用所學(xué)知識(shí)，論證你的結(jié)論．考點(diǎn)4勾股定理及其逆定理

【歸納總結(jié)】

勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)

三角形是直角三角形。1、

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，若CD＝4，則點(diǎn)D到AB的距離是________．考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)5角平分線的性質(zhì)和判定2．如圖1－2，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，則線段AD是△ABC的(

)A．垂直平分線B．角平分線C．高D．中線考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)5角平分線的性質(zhì)和判定

【歸納總結(jié)】

角平分線

（1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)叫的兩邊的距離相等。（2）在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。2、如圖，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE=20°，則∠C=

_________．考點(diǎn)6垂直平分線的性質(zhì)和判定2、如圖，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=5，則CE的長(zhǎng)為（）A.10B.8C.5D2.5考點(diǎn)6垂直平分線的性質(zhì)和判定

【歸納總結(jié)】

線段的垂直平分線

（1）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

（2）到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上1、下列命題的逆命題是真命題的是（）A．如果a＞0，b＞0,則a+b＞0B．直角都相等C．兩直線平行,同位角相等D．若a=6,則|a|=|b|考點(diǎn)7命題及逆命題

【歸納總結(jié)】

命題和逆命題：

命題：由條件和結(jié)論組成

逆命題：由結(jié)論和條件組成1、用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中

___．考點(diǎn)7反證法

【歸納總結(jié)】

反證法：

先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與已知條件相矛盾的結(jié)果1.如圖,△ABC,△CDE是等邊三角形(1)求證:AE=BD(2)若BD和AC交于點(diǎn)M,AE和CD交于點(diǎn)N,求證:CM=CN(3)連結(jié)MN,猜想MN與BE的位置關(guān)系.并加以證明考點(diǎn)8三角形的全等ABCDEMN2、