積分變換

第一章Fourier變換

§

1.1Fourier積分

但全直線上的非周期函數(shù)沒有Fourier級(jí)數(shù)表示；

引進(jìn)類似于Fourier級(jí)數(shù)的Fourier積分(周期趨于無窮時(shí)的極限形式)復(fù)習(xí):

周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級(jí)數(shù)；最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j),其中w=2p/T研究周期函數(shù)

fT(t),如果在區(qū)間[-T/2,T/2]上滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1.連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2.只有有限個(gè)極值點(diǎn).那么在區(qū)間[-T/2,T/2]上就可以展成Fourier級(jí)數(shù).t由高數(shù)可知,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)fT(t),可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下:§1.2Fourier變換1.Fourier變換的概念我們知道,若函數(shù)f(t)滿足傅氏積分定理的條件,則在

f(t)的連續(xù)點(diǎn)處,有(1.8)式叫做f(t)的Fourier變換式,(1.9)式為F(w)的Fourier逆變換式,f(t)與F(w)可相互轉(zhuǎn)換,可記為

F(w)=?[f(t)]和

f(t)=?

-1[F(w)]還可以將f(t)放在左端,

F(w)放在右端,中間用雙向箭頭連接:

f(t) F(w)

(1.8)式右端的積分運(yùn)算,叫做f(t)的Fourier變換,同樣,(1.9)式右端的積分運(yùn)算,叫做F(w)的Fourier逆變換.

F(w)稱作f(t)的象函數(shù),

f(t)稱作F(w)的象原函數(shù).

可以說象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì).傅氏積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:

1.f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

2.f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對(duì)可積,則有

為連續(xù)點(diǎn)

為間斷點(diǎn)tf(t)根據(jù)(1.8)式,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換.=?

[]根據(jù)(1.9)式,有=?問題的提出Fourier變換的兩個(gè)限制：

對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)使其進(jìn)行Fourier變換時(shí)克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)？能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)馗脑?/p>

因此,幾乎所有的實(shí)用函數(shù)j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏變換都存在.

首先將j(t)

乘上u(t),這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了.

而大家知道在各種函數(shù)中,指數(shù)函數(shù)ebt

(b>0)的上升速度是很快的了,因而e-bt下降的速度也是很快的.tf(t)Otf(t)u(t)e-btO對(duì)函數(shù)j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏變換,可得定義

設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t0時(shí)有定義,而且積分在s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱此式為函數(shù)f(t)的Laplace變換式(簡(jiǎn)稱拉氏變換式),記為

F(s)=?[f(t)]F(s)稱為f(t)的Laplace變換(或稱為象函數(shù)).而f(t)稱為F(s)的Laplace逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=?

-1[F(s)]例1

求單位階躍函數(shù)解:根據(jù)拉氏變換的定義,有這個(gè)積分在Re(s)>0時(shí)收斂,而且有??所以例2

求指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換(k為實(shí)數(shù)).

根據(jù)(2.1)式,有其實(shí)k為復(fù)數(shù)時(shí)上式也成立,只是收斂區(qū)間為

Re(s)>Re(k).?例3

求

f(t)=sinkt

(k為實(shí)數(shù))的拉氏變換.解：?

在今后的實(shí)際工作中,我們并不要求用廣義

積分的方法來求函數(shù)的拉氏和Fourier變換,有現(xiàn)成的拉氏和傅氏變換表可查,就如同使用三角函數(shù)表,對(duì)數(shù)表及積分表一樣.本書已將工程實(shí)際中常遇到的一些函數(shù)及其傅氏、拉氏變換列于附錄中,以備查詢.

在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足

傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件,即不滿足條件一種改進(jìn)思路是轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)aplace求，但例如常數(shù),符號(hào)函數(shù),以及正,余弦函數(shù)等,我們希望其能正確地反應(yīng)出頻率的特性,因此引入了單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.§1.2Fourier變換

2.單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換

在物理和工程技術(shù)中,常常會(huì)碰到單位脈沖函

數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).

工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù),可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1稱de(t)的弱極限為d-函數(shù),記為d(t).即de(t)1/eeOd-函數(shù)有性質(zhì):(1)篩選性質(zhì)事實(shí)上f(t)是連續(xù)函數(shù)，按積分中值定理知：=（2）函數(shù)為偶函數(shù),即（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有

一般地，有d-函數(shù)的Fourier變換為:于是常數(shù)1

與d

(t)構(gòu)成了一Fourier變換對(duì).證法2：若F(w)=2pd(w),

由Fourier逆變換可得.例1

證明：2pd(w)和1構(gòu)成Fourier變換對(duì)證法1：=?

[]=??[1]tOd(t)1wOF(w)1常數(shù)1單位脈沖函數(shù)d