吉林省榆樹市第一高級(jí)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷B理老教材吉林省榆樹市第一高級(jí)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷B理老教材PAGEPAGE18吉林省榆樹市第一高級(jí)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷B理老教材吉林省榆樹市第一高級(jí)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末備考卷（B）理(老教材)注意事項(xiàng):1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則(）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，則,故選A．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限且滿足,則（)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴,又∵，解得，，∴．3．若，,，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，,，∴，故選B．4．每當(dāng)臨近春節(jié)時(shí)，某酒店便會(huì)到處掛滿五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴個(gè)小燈,另一種是大燈下綴個(gè)小燈,已知大燈共個(gè)，小燈共個(gè)．若在該酒店的燈球中，隨機(jī)選取兩個(gè)燈球，則至少有一個(gè)燈球是大燈下綴個(gè)小燈的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)一大三小和一大四小的燈球數(shù)分別為,則，解得，若隨機(jī)取兩個(gè)燈球，則至少有一個(gè)燈球是大燈下綴個(gè)小燈的概率為．5．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵時(shí),，∴為偶函數(shù)，排除A，C,又∵時(shí)，，排除D．6．若非零向量，滿足且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，則，得，設(shè)與的夾角為，則,則夾角為．7．關(guān)于函數(shù)有以下四個(gè)結(jié)論：①是奇函數(shù)；②直線是的一條對(duì)稱軸；③的最大值為;④函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】分段函數(shù)討論：①,故①錯(cuò)誤；②，，,故不是的對(duì)稱軸，故②錯(cuò)誤;③當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，恒成立．又由①可知為偶函數(shù)，∴的最大值為,故③正確；④當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，故④正確．8．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是(）A．函數(shù)有個(gè)零點(diǎn) B．函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)C．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn) D．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)【答案】A【解析】令，得或，解得或,故答案選A．9．已知，則的值可能為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】∵，故,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案選A．10．已知正三棱錐中,,分別為，的中點(diǎn)，已知的面積為,與所成角的余弦值為,則球的體積為(）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖,三棱錐為正三棱錐，設(shè)，．過作于，連接，則且，,．在中,．∴在中,．∵的面積為,與的成角的余弦值為．∵，∴，解得．∴，，．設(shè)球的半徑為，則有，解得．∴球的體積為．11．已知橢圓的長(zhǎng)軸為，離心率為，則以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】由已知可得橢圓的短軸為,故橢圓方程為或，設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，當(dāng)橢圓方程為時(shí),則有,兩式相減得，整理得，∴弦所在的直線的斜率為，其方程為，整理得；當(dāng)橢圓方程為時(shí)，則有，兩式相減得，整理得,∴弦所在的直線的斜率為，其方程為，整理得．根據(jù)選項(xiàng)可得答案為D．12．現(xiàn)電腦程序隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)四位二進(jìn)制數(shù)(例如）其中的各位數(shù)中出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí),下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)知每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填,，且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再填時(shí)互不影響，故以后的位數(shù)中后位的所有結(jié)果有4類：①后個(gè)數(shù)位都為,，記其概率為；②后個(gè)數(shù)位只出現(xiàn)個(gè),,記其概率為；③后位數(shù)位出現(xiàn)個(gè)，，記其概率為；④后個(gè)數(shù)位上出現(xiàn)個(gè)，記其概率為，故，故A正確，B正確，C正確,D錯(cuò)誤，故選D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則．【答案】【解析】,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，∴．14．二項(xiàng)式的展開式中的第項(xiàng)是．【答案】【解析】二項(xiàng)式的展開式中的第項(xiàng)是．15．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束),根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主客主主客客主”,設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為，客場(chǎng)取勝的概率為,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是．【答案】【解析】欲使甲隊(duì)獲勝,則第六場(chǎng)甲勝，前五場(chǎng)甲獲勝三場(chǎng)負(fù)兩場(chǎng)，故所求概率為．16．設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn)且與雙曲線在第一象限交點(diǎn)為，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】如圖所示,∵直線過點(diǎn)，∴，半焦距,連接，過作交于，∵,∴是直角三角形，且，故且,，∴，∴，∴，∴,∴．三、解答題:本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）在中，角，,的對(duì)邊分別為,，，已知．（1）若，求角大?。?2）若,求．【答案】（1）或；（2)．【解析】∵，根據(jù)余弦定理可得,∴．（1）在中，，由正弦定理可得，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，,∴為或．(2）∵，∴，∵，∴，化簡(jiǎn)得，，∵，∴．又∵，∴,∴,∴．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，,，,,分別為，，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明:如圖，取、中點(diǎn)，，連接，及．∵，分別為和的中點(diǎn)，∴且，且,∴,，∴四邊形為平行四邊形,∴,又∵平面,平面，∴平面．(2）如下圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，為軸正方向，以垂直軸,軸方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，∵且，設(shè)，則，,，，，則，,由圖易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則．∴,∴二面角的正弦值為．19．（12分）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(）等較嚴(yán)重疾?。衲瓿霈F(xiàn)的新型冠狀病毒(）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．某小區(qū)為進(jìn)一步做好新型冠狀病毒感染的肺炎疫情知識(shí)的教育，在小區(qū)內(nèi)開展《新型冠狀病毒防疫安全公益課》在線學(xué)習(xí)，在此之后組織了《新型冠狀病毒防疫安全知識(shí)競(jìng)賽》在線活動(dòng)．已知進(jìn)入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應(yīng)的名次為、、、，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度，邀請(qǐng)小區(qū)內(nèi)的所有業(yè)主在比賽結(jié)束前對(duì)四位業(yè)主的名次進(jìn)行預(yù)測(cè)，若預(yù)測(cè)正確會(huì)有禮品獲得，現(xiàn)用表示某業(yè)主對(duì)甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預(yù)測(cè)排列，是該業(yè)主預(yù)測(cè)的名次與真實(shí)名次的偏離程度的一種描述．（1）求該業(yè)主獲得禮品的概率；（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1）；（2）分布列見解析，．【解析】（1)該業(yè)主預(yù)測(cè)的結(jié)果有種可能,預(yù)測(cè)正確的結(jié)果只有一種，所以該業(yè)主獲獎(jiǎng)的概率為．(2）以（)為一個(gè)基本事件，如下表所示:即所有可能的取值為．分布列如下表所示：所以．20．（12分）已知拋物線,點(diǎn)在軸的正半軸上,過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）當(dāng)直線的斜率為,且以為直徑的圓與相切，求該圓的半徑；（2）是否存在定點(diǎn)，使得不論直線繞點(diǎn)如何移動(dòng)，恒為定值．【答案】（1)2;（2）存在，定點(diǎn)為．【解析】設(shè),，（1）設(shè)點(diǎn),則直線的方程為,由，得，由韋達(dá)定理得，，,由弦長(zhǎng)公式可得，線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,∴線段的中點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，此時(shí)圓半徑為．（2)設(shè)，直線的方程為，由,消去得，，得,,，,同理，，∵為定值，則，解得，∴存在定點(diǎn)，使得不論直線繞點(diǎn)如何移動(dòng)，恒為定值．21．(12分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明:(1）有唯一極值點(diǎn)；(2）有個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1)證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增,∴有唯一極值點(diǎn)．（2）由(1）知在單減，在單增，∴在時(shí)取得極小值為，∵，∴，，∴，又∵,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．∵,，∵,∴，，∴時(shí),，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴有個(gè)零點(diǎn)．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的極坐標(biāo)方程;（2)若直線與曲線交于點(diǎn)（不同于原點(diǎn))，與直線交于點(diǎn),求的值．【答案】（1），；(2）．【解析】（1)∵，∴，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為