第九章解三角形正弦定理與余弦定理正弦定理課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.在△ABC中,下列關(guān)系式中一定成立的是()>bsinA =bsinA<bsinA ≥bsinA解析由正弦定理,得asinA=bsinB,所以a=bsinAsinB,在△ABC中,0<sinB≤1,故1答案D2.在△ABC中,a=43,b=4,A=π3,則B=(A.π6 B.C.π2 D.解析由正弦定理可得asinA=bsinB,又∵a=43>b=4,∴A>B.∴B=π6.故選A答案A3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=π3,則△ABC的面積等于( 3 3解析S△ABC=12bcsinA=12×3×8×sinπ3=63.答案C4.在△ABC中,a=23,b=22,B=45°,則A為()°或150° °或120°° °解析由正弦定理可得:asinA=bsinB,∵0<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°.故選B.答案B5.在△ABC中,一定成立的等式是()A=bsinB A=bcosBB=bsinA B=bcosA解析在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,即asinB=bsin答案C6.在△ABC中,若A=30°,a=2,b=23,則此三角形解的個數(shù)為()個 個個 D.不能確定解析a·sinA=2×12=1,∵1<2<23,即a·sinA<a<b,∴有兩個三角形.故選C答案C7.以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是()A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中,若sin2A=sin2B,則a=bC.在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B,若A>B,則sinA>sinB都成立D.在△ABC中,a解析由正弦定理易知A,C,D正確.對于B,由sin2A=sin2B,可得A=B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以a=b或a2+b2=c2,故B錯誤.故選B答案B8.在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C所對的邊.若∠A=105°,∠B=45°,b=22,則c=,△ABC的面積為.

解析∠C=180°-105°-45°=30°.根據(jù)正弦定理bsinB=csinC,可知22sin45°S=12bcsinA=12×22×2×sin=22×6+答案23+19.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,則cosB=.

解析由正弦定理得ACsin所以sinB=ACsin因為AC<BC,所以B<A=60°,則B為銳角,所以cosB=1-答案610.在△ABC中,若acosA2=bcosB解析由正弦定理得sinA所以sinA2=sinB2=sin因為0<A,B,C<π,所以0<A2,B2,C2<π2,所以答案等邊11.在△ABC中,a=2,c=2,sinA+cosA=0,則角B的大小為.

解析因為角A是三角形的內(nèi)角,所以A∈(0,π),又因為sinA+cosA=0,所以有tanA=-1,所以A=34π,由正弦定理可知:asinA=csinC?222=2sinC?sinC=12,因為A=34π答案π12.在△ABC中,求證:a-證明因為在△ABC中,asinA=b所以左邊=2=sin(B+所以等式成立,即a-能力提升1.在△ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c=3,A=45°,B=75°,則a=()A.2 B.3 解析因為A=45°,B=75°,所以C=180°-45°-75°=60°,在△ABC中,asinA=csinC,所以asin45答案A2.滿足條件C=60°,AB=3,BC=95的△ABC有() 解析由于BC·sinC=9310<3<95,所以答案C3.在△ABC中,若AB·AC=2且∠BAC=30°,則△ABC的面積為(A.3 3 C.33 D.解析由AB·AC=2,得bccos30°=2,所以bc=43.由三角形面積公式得S=12bcsinA=1答案C4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,acosB=(2c-b)cosA,則角A的大小為()A.π6 B.π4 C.π3解析由正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)·cosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,也即cosA=22,故A=π4.故選答案B5.如圖,A,B是半徑為1的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中△PAB的面積的最大值為()12β+sin2β+12sin2C.β+sinβD.β+cosβ解析在△ABP中,由正弦定理可得,ABsin∠APB=2R=2,則AB=2sinS△ABC=12AB·h,當(dāng)點P在AB的中垂線上時,h取得最大值,此時△ABP的面積最大取AB的中點C,過點C作AB的垂線,交圓于點D,取圓心為O,則OC=OB2-BC2=1-sin2β=cos所以△ABP的面積最大為S=12AB·DC=12(2sinβ)·(1+cosβ)=sinβ+sinβcosβ=sinβ+12sin2β.答案B6.在△ABC中,角A所對的邊為a,若a=2,且△ABC的外接圓半徑為2,則A=.

解析由正弦定理可得asinA=4,所以sinA=a4=12,∵0<A<答案π7.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是.

解析過點A作BC垂線,交BC于點E,則AE=15,所以sin∠ABC=154,則sin∠CBD=sin(π-∠ABC)=154,所以S△BCD=12BD·BC·sin∠CBD=12×2×答案158.在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分線AD=3,則AC=.

解析如圖,由正弦定理易得ABsin∠ADB=ADsinB,即2sin∠ADB=3sin120在△ABC,已知∠B=120°,∠ADB=45°,即∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分線,故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,∠B=120°,∠BAC=30°,易得∠ACB=30°.在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB答案69.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tanA=43,tanB=13,a=(1)求tanC;(2)求△ABC中的最長邊.解(1)因為tanC=-tan(A+B)=-tanA-43+1(2)由(1)知C為鈍角,所以C為最大角,因為tanA=43,所以sinA=4又tanC=-3,所以sinC=310由正弦定理得545=c31010.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2c(1)求角A的大小;(2)設(shè)a=22,b=3,求sin(2B-A)的值.解(1)由正弦定理可得2sinC即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC.因為sinC≠0,所以cosA=12又A∈(0,π),所以A=π3(2)由正弦定理asinA=bsinB,所以cosB=±1-sin2所以cos