2．3總體特征數(shù)的估計(jì)

2．3.1平均數(shù)及其估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)求樣本的平均數(shù)；2．運(yùn)用平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體的平均水平；3．會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練2．3.1平均數(shù)及其估計(jì)課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基通過(guò)上節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，你能說(shuō)清如何選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù)嗎？當(dāng)在問(wèn)題中收集到的數(shù)據(jù)量較多時(shí)，在用統(tǒng)計(jì)圖表示之前，一般需要先將數(shù)據(jù)按一定的方式進(jìn)行整理．在此基礎(chǔ)上，再根據(jù)不同的需要選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行表示．①如果需要根據(jù)圖表了解各個(gè)數(shù)據(jù)所占的頻率可以使用條形統(tǒng)計(jì)圖．例如統(tǒng)計(jì)一批產(chǎn)品中優(yōu)等品所占頻率．②如果要了解數(shù)據(jù)的增減情況可以采用折線圖．例如統(tǒng)計(jì)一個(gè)人的成績(jī)變化情況．③如果要了解數(shù)據(jù)的全部信息可以使用莖葉圖．例如籃球比賽的計(jì)分．④要選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表直觀表達(dá)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，必須把各種統(tǒng)計(jì)圖表的特點(diǎn)和問(wèn)題中的需要結(jié)合起來(lái)，確定選擇何種統(tǒng)計(jì)圖表．知新益能問(wèn)題探究統(tǒng)計(jì)量中，刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最理想的量是什么？提示：平均數(shù)描述了數(shù)據(jù)的平均水平，對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，定量地反映了數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)所處的水平，是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)最理想的統(tǒng)計(jì)量．課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)突破平均數(shù)的計(jì)算考點(diǎn)一為了解解“樂(lè)佳佳佳”商店的的日營(yíng)營(yíng)業(yè)額額，抽抽查了了商店店某月月5天的日日營(yíng)業(yè)業(yè)額，，結(jié)果果如下下(單位：：元)14845,25304,18954,11672,16330求這5天的日日平均均營(yíng)業(yè)業(yè)額為為多少少元．．例1【思維總總結(jié)】(1)一組數(shù)數(shù)據(jù)的的總和和除以以數(shù)據(jù)據(jù)的個(gè)個(gè)數(shù)所所得的的商就就是平平均數(shù)數(shù)或均均值．．(2)定義法法求平平均數(shù)數(shù)的適適用條條件：：數(shù)據(jù)據(jù)總個(gè)個(gè)數(shù)不不多時(shí)時(shí)，適適宜用用定義義法求求平均均數(shù)．．自我挑挑戰(zhàn)1從一批批機(jī)器器零件件毛坯坯中隨隨機(jī)抽抽取20件，稱(chēng)稱(chēng)得它它們的的重量量如下下(單位：：kg)：計(jì)算樣樣本平平均數(shù)數(shù)(結(jié)果保保留到到個(gè)位位)．(1)眾數(shù)、、中位位數(shù)及及平均均數(shù)都都是描描述一一組數(shù)數(shù)據(jù)集集中趨趨勢(shì)的的量，，平均均數(shù)是是最重重要的的量．．(2)平均數(shù)數(shù)的大大小與與一組組數(shù)據(jù)據(jù)里每每個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)均均有關(guān)關(guān)系，，任何何一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)的變變動(dòng)都都會(huì)相相應(yīng)引引起平平均數(shù)數(shù)的變變動(dòng)．．(3)眾數(shù)考考查各各數(shù)據(jù)據(jù)出現(xiàn)現(xiàn)的頻頻率，，大小小只與與這組組數(shù)據(jù)據(jù)中的的部分分?jǐn)?shù)據(jù)據(jù)有關(guān)關(guān)，當(dāng)當(dāng)一組組數(shù)據(jù)據(jù)中有有不少少數(shù)據(jù)據(jù)多次次重復(fù)復(fù)出現(xiàn)現(xiàn)時(shí)，，眾數(shù)數(shù)往往往更能能反映映問(wèn)題題．(4)中位數(shù)數(shù)僅與與數(shù)據(jù)據(jù)的排排列位位置有有關(guān)，，某些些數(shù)據(jù)據(jù)的變變動(dòng)對(duì)對(duì)中位位數(shù)沒(méi)沒(méi)有影影響，，中位位數(shù)可可能出出現(xiàn)在在所給給數(shù)據(jù)據(jù)中，，也可可能不不在所所給數(shù)數(shù)據(jù)中中．考點(diǎn)二眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用在2010年青年年歌手手大獎(jiǎng)獎(jiǎng)賽民民族唱唱法組組中，，6位評(píng)委委現(xiàn)場(chǎng)場(chǎng)給每每位歌歌手打打分，，然后后去掉掉一個(gè)個(gè)最高高分和和一個(gè)個(gè)最低低分，，其余余分?jǐn)?shù)數(shù)的平平均數(shù)數(shù)作為為歌手手的成成績(jī)，，已知知6位評(píng)委給某某位歌手的的打分是：：9．2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5求這位歌手手的得分及及6位評(píng)委打分分的平均數(shù)數(shù)、眾數(shù)和和中位數(shù)．．【思路點(diǎn)撥】直接利用相相關(guān)公式計(jì)計(jì)算即可．．例2【名師點(diǎn)評(píng)】理解并掌握握平均數(shù)、、眾數(shù)和中中位數(shù)的概概念，平均均數(shù)、眾數(shù)數(shù)和中位數(shù)數(shù)可能相同同，也可能能不同．注注意某幾個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)的平平均數(shù)就是是這些數(shù)的的算術(shù)平均均數(shù)，樣本本平均數(shù)代代表了數(shù)據(jù)據(jù)更多的信信息，在實(shí)實(shí)際問(wèn)題中中，計(jì)算時(shí)時(shí)應(yīng)按照實(shí)實(shí)際要求進(jìn)進(jìn)行計(jì)算．．自我挑戰(zhàn)2為了發(fā)展，，某公司新新開(kāi)發(fā)了10個(gè)項(xiàng)目，其其中一個(gè)項(xiàng)項(xiàng)目投資為為200萬(wàn)，另外9個(gè)項(xiàng)目均在在2萬(wàn)與40萬(wàn)之間．經(jīng)經(jīng)分析中位位數(shù)是30萬(wàn)，平均數(shù)數(shù)是35萬(wàn)，眾數(shù)是是4萬(wàn)，你會(huì)選選擇哪種數(shù)數(shù)字特征表表示每一項(xiàng)項(xiàng)目的投資資？為什么么？解：選擇平平均數(shù)較合合適．平均均數(shù)描述了了數(shù)據(jù)的平平均水平，，定量地反反映了數(shù)據(jù)據(jù)的集中趨趨勢(shì)所處的的水平．從從而使總投投資資金更更有代表性性、更有說(shuō)說(shuō)服力．利用頻率分分布直方圖圖求數(shù)字特特征：(1)眾數(shù)是最高高的矩形的的底邊的中中點(diǎn)．(2)中位數(shù)左右右兩側(cè)直方方圖的面積積相等．(3)平均數(shù)等于于每個(gè)小矩矩形的面積積乘以小矩矩形底邊中中點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)．考點(diǎn)三頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用(本題滿分14分)從高三年級(jí)級(jí)抽出50名學(xué)生參加加數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽，由成績(jī)績(jī)得到如圖圖所示的頻頻率分布直直方圖．例3由于一些數(shù)數(shù)據(jù)丟失，，試?yán)妙l頻率分布直直方圖求：：(1)這50名學(xué)生成績(jī)績(jī)的眾數(shù)與與中位數(shù)；；(2)這50名學(xué)生的平平均成績(jī)．．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直方圖圖中的數(shù)據(jù)據(jù)及眾數(shù)、、中位數(shù)、、平均數(shù)的的定義可解解此題．【規(guī)范解答】(1)由眾數(shù)的概概念可知，，眾數(shù)是出出現(xiàn)次數(shù)最最多的數(shù)．．在直方圖圖中，高度度最高的小小矩形框的的中間值的的橫坐標(biāo)即即為所求，，所以眾數(shù)數(shù)應(yīng)為75.2分由于中位數(shù)數(shù)是所有數(shù)數(shù)據(jù)中的中中間值，故故在頻率分分布直方圖圖中體現(xiàn)的的是中位數(shù)數(shù)的左右兩兩邊頻數(shù)應(yīng)應(yīng)相等，即即頻率也相相等，從而而就是小矩矩形的面積積和相等．．因此在頻頻率分布直直方圖中，，將頻率分分布直方圖圖中所有小小矩形的面面積一分為為二的直線線所對(duì)應(yīng)的的成績(jī)即為為所求.4分∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.3，∴前三個(gè)小矩矩形面積的的和為0.3.∵第四個(gè)小矩矩形的面積積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5，∴中位數(shù)應(yīng)位位于第四個(gè)個(gè)小矩形內(nèi)內(nèi)．設(shè)其底邊為為x，高為0.03，∴令0.03x＝0.2，解得x≈6.7，故中位數(shù)應(yīng)應(yīng)為70＋6.7＝分(2)樣本平均值值即所有數(shù)數(shù)據(jù)的平均均值，取每每個(gè)小矩形形底邊的中中點(diǎn)值乘每每個(gè)小矩形形的面積即即可.10分∴平均成績(jī)?yōu)闉?5×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋綜上：(1)50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是75，中位數(shù)約為76.7；(2)50名學(xué)生成績(jī)的平均成績(jī)約為分【名師點(diǎn)評(píng)】利用直方圖圖求眾數(shù)、、中位數(shù)、、平均數(shù)均均為近似值值，往往與與得出的實(shí)實(shí)際數(shù)據(jù)不不一致．但但它們能粗粗略估計(jì)其其眾數(shù)、中中位數(shù)和平平均數(shù)．自我挑戰(zhàn)3下面是60名男生每分分鐘脈搏跳跳動(dòng)的次數(shù)數(shù)72706674817074535762589272676291736465807867758083617272697076746584798076726865827971867769725670627656866373(1)作出上述數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)根據(jù)直方圖的各組中值估計(jì)總體平均數(shù)，并將所得結(jié)果與實(shí)際的總體平均數(shù)相比較計(jì)算誤差．分組頻數(shù)頻率頻率/組距[51.5,57.5)40.0670.011[57.5,63.5)60.10.017[63.5,69.5)110.1830.031[69.5,75.5)200.3330.056[75.5,81.5)110.1830.031[81.5,87.5)50.0830.014[87.5,93.5)30.050.008頻率分布直直方圖如圖圖所示．(2)由直方圖的的各組中值值估計(jì)平均均數(shù)為：(54.5×4＋60.5××6＋66.5××11＋72.5××20＋78.5××11＋84.5××5＋90.5××3)÷60＝72，實(shí)際平均數(shù)數(shù)為71.97，誤差約為72－71.97＝0.03.方法感悟1．眾數(shù)通常常是樣本數(shù)數(shù)據(jù)的頻率率分布直方方圖中最高高矩形的中中點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)．2．在樣本中中，有50%的個(gè)體小于于或等于中中位數(shù)，也也有50%的個(gè)體大于于