第三節(jié)牽連運(yùn)動為平動時點(diǎn)的加速度合成定理第九章點(diǎn)的合成運(yùn)動第一節(jié)點(diǎn)的合成運(yùn)動的概念第二節(jié)點(diǎn)的速度合成定理

運(yùn)動是絕對的，但運(yùn)動的描述則是相對的。同一物體的運(yùn)動在不同的參考系中是不一樣的。對于不同的參考系，物體運(yùn)動的結(jié)果不一樣。例如:車輪上的點(diǎn)P的運(yùn)動，如果以地面作為參考系，點(diǎn)的軌跡是旋輪線(復(fù)雜運(yùn)動)，而如果以小車作為參考系，點(diǎn)的軌跡則是一個圓(相對簡單運(yùn)動)。前章中我們研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動，都是以地面為參考系的。然而，實(shí)際問題中，為了研究問題的方便，例如，將一個復(fù)雜的運(yùn)動分解為幾個較為簡單的運(yùn)動或?qū)讉€運(yùn)動合成為一個復(fù)雜的運(yùn)動，都需要在不同的參考系中來研究物體的運(yùn)動，分析物體相對不同參考系運(yùn)動之間的關(guān)系。本章提出一種運(yùn)動的分解和合成的方法。研究點(diǎn)的合成運(yùn)動,分析點(diǎn)的速度合成和加速度合成的規(guī)律。

應(yīng)用運(yùn)動的分解和合成的方法把點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動分解為某些簡單的運(yùn)動,對各簡單的運(yùn)動加以分析之后,再合起來就可以解決復(fù)雜的運(yùn)動問題。這稱為點(diǎn)的合成運(yùn)動(點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動)。例如:車床上車刀刀尖P的運(yùn)動，很顯然車刀刀尖相對于地面是直線運(yùn)動，但如果相對于旋轉(zhuǎn)的工件而言，軌跡則是圓柱面上的螺旋線。第一節(jié)點(diǎn)的合成運(yùn)動的概念下面介紹點(diǎn)的合成運(yùn)動中的基本概念：“一點(diǎn)兩系三運(yùn)動”一點(diǎn)：即動點(diǎn)，所研究的點(diǎn)。兩系：定參考系和動參考系。定參考系

—固結(jié)于地面上的坐標(biāo)系，簡稱靜系。動參考系

—

固結(jié)于相對于地面運(yùn)動物體上的坐標(biāo)系，簡稱動系。例如行駛的汽車。三運(yùn)動：絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動。絕對運(yùn)動：動點(diǎn)相對靜系的運(yùn)動。相對運(yùn)動：動點(diǎn)相對動系的運(yùn)動。例如：人在行駛的汽車?yán)镒邉?。牽連運(yùn)動：動系相對于靜系的運(yùn)動。例如：行駛的汽車相對于地面的運(yùn)動。牽連運(yùn)動中,牽連點(diǎn)的速度和加速度稱為牽連速度和牽連加速度動點(diǎn)在絕對運(yùn)動中的軌跡、速度和加速度稱為動點(diǎn)的絕對軌跡、絕對速度

和絕對加速度。動點(diǎn)在相對運(yùn)動中的軌跡、速度和加速度稱為動點(diǎn)的相對軌跡、相對速度和相對加速度。

特別需要強(qiáng)調(diào)的是，由于動參考系的運(yùn)動是剛體的運(yùn)動而不是一個點(diǎn)的運(yùn)動，因此定義在任意瞬時，動參考系上與動點(diǎn)重合的那一點(diǎn)稱為牽連點(diǎn)，該點(diǎn)應(yīng)該是動系上在該瞬時與動點(diǎn)關(guān)系最緊密的。顯然牽連點(diǎn)不是動系上的一個固定點(diǎn)。有了牽連點(diǎn)的概念，可以定義牽連速度和牽連加速度如下：絕對軌跡,牽連軌跡,相對軌跡;絕對速度,牽連速度,相對速度;()絕對加速度,牽連加速度,相對加速度.()若記動點(diǎn)相對于動坐標(biāo)系的坐標(biāo)為:x'=f1(t),y'=f2(t),z'=f3(t).則則在某一瞬時與動點(diǎn)M重合的點(diǎn)M‘相對于靜坐標(biāo)系的速度和加速度,稱為動點(diǎn)M在這一瞬時的牽連速度和牽連加速度。M‘稱為牽連點(diǎn)。牽連運(yùn)動:在某一瞬時與動點(diǎn)M重合而與動坐標(biāo)系固結(jié)在一起的點(diǎn)M‘對于靜坐標(biāo)系的軌跡為牽連運(yùn)動的軌跡。下面通過例子來說明以上的各個概念靜坐標(biāo)系與物體固結(jié)

動坐標(biāo)系

與運(yùn)動車廂固結(jié)以速度v1向東行駛的車廂內(nèi)，地板上有一南北向的槽AB，一小球M沿槽以不變的速度u向北運(yùn)動，而站在地面的人看到小球往東偏北方向運(yùn)動。v=(u2+v12)1/2。例9-1

O

yxo'x'y'ABv1

uM一點(diǎn)兩系三運(yùn)動這里：M稱為動點(diǎn)，車廂相對地面的運(yùn)動為牽連運(yùn)動（牽連速度，牽連加速度）；小球M相對車廂的運(yùn)動是相對運(yùn)動（相對速度，相對加速度）；小球相對于地面的運(yùn)動為絕對運(yùn)動（絕對速度，絕對加速度）。

O

yxo'x'y'ABv1

uM也即

動點(diǎn)靜系

絕對運(yùn)動動點(diǎn)動系相對運(yùn)動動系靜系牽連運(yùn)動

Link1問：絕對運(yùn)動是什么？相對運(yùn)動是什么？牽連運(yùn)動是什么？靜坐標(biāo)系

與地面固結(jié)動坐標(biāo)系與直管OA固結(jié)

=例9-2直管OA作定軸轉(zhuǎn)動，小球M沿OA管向外運(yùn)動。veMy'x'u=vrxy例9-3說明動點(diǎn)、動系及絕對運(yùn)動、牽連運(yùn)動和相對運(yùn)動。(b)M

v(a)Mvavrve動點(diǎn)：動系：靜系：偏心凸輪C上A1點(diǎn)固結(jié)于桿AB上固結(jié)在地面上動點(diǎn)：動系：靜系：AB桿上A點(diǎn)固結(jié)于偏心凸輪C上固結(jié)在地面上從以上例子可以得出，如果動點(diǎn)和動系選擇的恰當(dāng)，則相對軌跡較為簡單，反之則較復(fù)雜。因此，動點(diǎn)動系的選擇是分析點(diǎn)的合成運(yùn)動的關(guān)鍵之一。點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動—速度分析例子思考：如果動點(diǎn)是頂桿上的A點(diǎn)，動系與凸輪固結(jié)，試對動點(diǎn)進(jìn)行速度分析，畫出速度圖。本節(jié)主要研究點(diǎn)的絕對速度、牽連速度、相對速度三者之間的關(guān)系■速度合成定理：任一瞬時，動點(diǎn)的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和。第二節(jié)點(diǎn)的速度合成定理現(xiàn)推導(dǎo)點(diǎn)的速度合成定理。動點(diǎn)M沿著曲線AB運(yùn)動；曲線AB固結(jié)于動坐標(biāo)系上且隨同動坐標(biāo)系相對靜坐標(biāo)系運(yùn)動?t后：(1)動曲線，動點(diǎn)M1的絕對軌跡。(2)在動坐標(biāo)體系上觀察M點(diǎn)的運(yùn)動，則它沿曲線運(yùn)動到M2，該弧稱為相對軌跡。

(3)在瞬時與動點(diǎn)M重合的那點(diǎn)則沿運(yùn)動到稱為牽連軌跡。M2（M’）由定義：方向均如圖所示。另存在以?t除兩端，并令?t→0，取lim有M2（M’）如圖所示，Oxyz為定參考系，Oxyz為動參考系。動系坐標(biāo)原點(diǎn)O

在定系中的矢徑為rO，動系的三個單位矢量分別為i，j，k。動點(diǎn)M在定系中的矢徑為rM，在動系中的矢徑為r。牽連點(diǎn)（動系上與動點(diǎn)重合的點(diǎn)）為M，它在定系中的矢徑為rM。顯然動點(diǎn)的絕對速度va為相對速度是動點(diǎn)相對動參考系的速度，因此與絕對速度的計算類似，相對速度應(yīng)是相對矢徑r對時間的相對導(dǎo)數(shù)，即將i，j，k視為常矢量。從而有為與絕對導(dǎo)數(shù)區(qū)別，相對導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)符號上加“”表示。動點(diǎn)的牽連速度為因?yàn)闋窟B點(diǎn)是動系上的點(diǎn)，故它的相對坐標(biāo)是常數(shù)，對時間的導(dǎo)數(shù)為零。由（9-1），（9-2）和（9-3）得點(diǎn)的速度合成定理表式提供投影方程2個，可以求解兩個未知量。若要求解問題，則需分析方向√√√大小√√√N(yùn)ote:上面的推導(dǎo)過程中，動參考系并未限制作何運(yùn)動，因此點(diǎn)的速度合成定理對任意的牽連運(yùn)動都適用。刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接，當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動搖桿O1B繞固定軸O1擺動，設(shè)曲柄長OA=r，兩間距離OO1=l，求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿的角速度ω1。例題9-4相對運(yùn)動軌跡解：1.選擇動點(diǎn)，動系與定系。動系－O1x'y'，固連于搖桿O1B。2.運(yùn)動分析。絕對運(yùn)動－以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動。相對運(yùn)動－沿O1B的直線運(yùn)動。牽連運(yùn)動－搖桿繞O1軸的擺動。動點(diǎn)－滑塊A

。定系－固連于機(jī)座。應(yīng)用速度合成定理3.速度分析。絕對速度va：va＝OA·ω

＝rω

，方向垂直于OA，沿鉛垂方向向上。

相對速度vr：大小未知，方向沿?fù)u桿

O1B。牽連速度ve：ve為所要求的未知量，

方向垂直于O1B

。vavevr因?yàn)樗云渲兴钥傻胿avevr例9-5【討論】若取搖桿O1B上A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系固連曲柄OA，則相對運(yùn)動軌跡是什么曲線？【討論】若取搖桿O1B上A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系固連曲柄OA，則相對運(yùn)動軌跡是什么曲線？例9-6

凸輪頂桿機(jī)構(gòu)中半徑為R的半圓形凸輪以等速度v0沿水平軌道向右運(yùn)動，帶動頂桿AB沿鉛垂方向運(yùn)動，如圖所示，試求φ=60o時，頂桿AB的速度。ABv0nφR【解】1.選擇動點(diǎn)，動系與定系。動系－Ox'y'，固連于凸輪。2.運(yùn)動分析。絕對運(yùn)動－直線運(yùn)動。牽連運(yùn)動－水平平動。動點(diǎn)－AB的端點(diǎn)A。相對運(yùn)動－沿凸輪輪廓曲線運(yùn)動。定系－固連于水平軌道。3.速度分析。絕對速度va：大小未知，方向沿桿AB向上。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪圓周的切線

。牽連速度ve：ve=

v0，方向水平向右。ABnφRvaveφv0vr此瞬時桿AB的速度方向向上。應(yīng)用速度合成定理討論：若取凸輪圓心O′點(diǎn)為動點(diǎn)，動系固連頂桿AB，則相對運(yùn)動軌跡是什么曲線？討論：若取凸輪圓心O′點(diǎn)為動點(diǎn)，動系固連頂桿AB，則相對運(yùn)動軌跡是什么曲線？例9-7

已知:凸輪半徑r,圖示時v，＝300

桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度?！痉治觥肯嘟佑|的兩個物體的接觸點(diǎn)位置都隨時間而變化，因此兩物體的接觸點(diǎn)都不宜選為動點(diǎn)，否則相對運(yùn)動的分析就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點(diǎn)為動點(diǎn)?！窘狻咳⊥馆喩螩點(diǎn)為動點(diǎn),動系固結(jié)于OA桿上,靜系固結(jié)于基座。絕對運(yùn)動:直線運(yùn)動,絕對速度:相對運(yùn)動:直線運(yùn)動,相對速度:牽連運(yùn)動:定軸轉(zhuǎn)動,牽連速度:如圖示。根據(jù)速度合成定理做出速度平行四邊形（）M點(diǎn)沿直管運(yùn)動，同時這直管又在圖示固定平面內(nèi)繞定軸O轉(zhuǎn)動。已知r=OM和轉(zhuǎn)角φ的變化規(guī)律求M點(diǎn)絕對速度的表達(dá)式。Oxx'y'yφM例題9-81.選擇動點(diǎn)，動系與定系。動點(diǎn)－點(diǎn)M。動系－Ox′y′固連于直管。2.運(yùn)動分析。絕對運(yùn)動－平面曲線運(yùn)動。牽連運(yùn)動－直管繞O作定軸轉(zhuǎn)動。相對運(yùn)動－沿動直管的直線運(yùn)動。x'y'OxyφM解：定系－固連于機(jī)座。例題9-83.速度分析。絕對速度va：大小和方向未知。Oxx'y'yφMαvavr=varve=vaφ牽連速度ve：大小，方向垂直于向直管向左上。相對速度vr：大小，方向沿直管向右上。例題9-8由點(diǎn)的速度合成定理M點(diǎn)的絕對速度va的大小角度α可由下式確定Oxx'y'yφMαvavr=varve=vaφ例題9-8如圖所示，平底頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下移，偏心圓盤繞軸O轉(zhuǎn)動，軸O位于頂桿的軸線上。圓盤半徑為R，偏心OC=e,角速度為。OC與水平線夾角用表示，求

=00時頂桿的速度?！窘狻咳”P心C為動點(diǎn)，平頂桿AB為動系。則有：速度平行四邊形如圖示；圖中平行于桿AB的底平面，所以：當(dāng)時，頂桿的速度例9-9如圖所示，半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在圖示位置時，桿AB的速度。R例題9-10動點(diǎn)：動系：靜系：偏心凸輪C上A1點(diǎn)固結(jié)于桿AB上固結(jié)在地面上動點(diǎn)：動系：靜系：AB桿上A點(diǎn)固結(jié)于偏心凸輪C上固結(jié)在地面上點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動—速度分析例子思考：如果動點(diǎn)是頂桿上的A點(diǎn)，動系與凸輪固結(jié)，試對動點(diǎn)進(jìn)行速度分析，畫出速度圖。解：1.選擇動點(diǎn)，動系與定系。動系－Ox′y′，固連于凸輪。2.運(yùn)動分析。絕對運(yùn)動－直線運(yùn)動。相對運(yùn)動－以C為圓心的圓周運(yùn)動。牽連運(yùn)動－繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動。動點(diǎn)－AB的端點(diǎn)A

。eOCθωBy'x'定系－固連于機(jī)座。應(yīng)用速度合成定理3.速度分析。相對速度vr：大小未知，方向沿凸輪

圓周的切線

。牽連速度ve：ve＝OA

·

ω

，方向垂直

于OA

。eOCAθωBvevaθvr絕對速度va：va為所要求的未知量，

方向沿桿AB。前面主要講述了點(diǎn)的速度合成定理，不論動參考系作任何運(yùn)動，它都是成立的。但點(diǎn)的加速度合成定理，對牽連運(yùn)動是平移和牽連運(yùn)動是轉(zhuǎn)動是不相同的。第三節(jié)牽連運(yùn)動為平移時點(diǎn)的加速度合成定理為動系的正向單位矢量。同理在任意瞬時t的相對加速度由于動系作平移，在同一瞬時，動系(可視為剛體)上所有各點(diǎn)的速度都相同，故而動點(diǎn)的牽連速度必與動系原點(diǎn)O′的速度相同，設(shè)在圖示中的動系作平移。則根據(jù)動點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)理論，動點(diǎn)M在任意瞬時t的相對速度與其相對坐標(biāo)之間有下面關(guān)系：上式是任意瞬時都成立的，故可對時間t求導(dǎo)，注意到動系僅作平動，均為常矢，有將(2)代入，即因?yàn)閯酉底髌揭疲谕凰矔r，動系上所有各點(diǎn)的加速度都相同，故而動點(diǎn)的牽連加速度必與動系原點(diǎn)O′的加速度相同，即代入(6)有即將(1)、(3)代入，有即當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時，動點(diǎn)的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。一般式可寫為因?yàn)楫?dāng)牽連運(yùn)動為轉(zhuǎn)動時，動點(diǎn)的絕對加速度等于它的牽連加速度，相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。即其一般式為

一般情況下

科氏加速度的計算可以用矢積表示例9-11如圖所示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長OA＝100mm，當(dāng)∠COA=45?時，其角速度ω＝1rad/s，加速度ε＝1rad/s2,轉(zhuǎn)向如圖。求此瞬時，導(dǎo)桿BC的加速度及滑塊A在滑道DB中滑塊的加速度?！窘狻咳』瑝KA為動點(diǎn)，動系固結(jié)于導(dǎo)桿BC上，定系固結(jié)于地面。動點(diǎn)A絕對運(yùn)動是圓周運(yùn)動(圓心O，半徑OA)。故絕對a有兩個分量，即動點(diǎn)的相對運(yùn)動為沿槽DB軸的直線運(yùn)動，故為水平，其大小和指向待求。指向暫設(shè)向左。牽連運(yùn)動豎直方向、大小和指向待求，指向暫設(shè)向上。有在x、y軸上投影，則有將數(shù)據(jù)代入求解得A即解：取桿上的A點(diǎn)為動點(diǎn)，

動系與凸輪固連。例9-12

已知：凸輪半徑R,j=60o，

。求：此時頂桿AB的加速度。絕對速度va=?,方向AB；絕對加速度aa=?,方向AB，待求。相對速度vr

=?,方向CA;

相對加速度art=?方向CA ,方向沿CA指向C牽連速度ve=v0,方向→;牽連加速度ae=a0,方向→【分析】由速度合成定理做出速度平行四邊形,如圖示。因牽連運(yùn)動為平動，故有作加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線上，得n整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與靜平衡方程的投影關(guān)系不同n例9-13

如圖所示，已知桿以等角速度轉(zhuǎn)動，；求時CD桿的速度和加速度?！窘狻咳D桿上的點(diǎn)C為動點(diǎn)，AB桿為動系。對動點(diǎn)作速度分析和加速度分析，如圖所示。CDAB則故又有故：即：CDAB圖示一往復(fù)式送料機(jī)，曲柄OA長l，它帶動導(dǎo)桿BC和送料槽D作往復(fù)運(yùn)動，借以運(yùn)送物料。設(shè)某瞬時曲柄與鉛垂線成θ角。曲柄的角速度為ω0，角加速度為α0，方向如圖所示，試求此瞬時送料槽D的速度和加速度。DBCAOθω0α0例題9-14運(yùn)動演示DBCAOθω0α0解：1.選擇動點(diǎn)，動系與定系。動系－O′x′y′，固連于導(dǎo)桿BC。2.運(yùn)動分析。絕對運(yùn)動－以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動。相對運(yùn)動－沿導(dǎo)桿滑槽的鉛垂直線運(yùn)動。牽連運(yùn)動－導(dǎo)桿BC沿水平直線的平動。動點(diǎn)－滑塊A

。O'x'y'定系－固連于機(jī)座。例題6-11DBCAOθω0α0O'x'y'3.速度分析。絕對速度va：va=lω0，方向與OA垂直。相對速度vr：大小未知，方向沿導(dǎo)桿滑槽向上。牽連速度ve：所求的送料槽的速度，方向水平向右。vevaθvr應(yīng)用速度合成定理求得：DBCAOθω0α0O'x'y'4.加速度分析。絕對加速度法向分量aan：aan

=lω02

，沿著AO。相對加速度ar：大小未知，方向沿O′y′

軸牽連加速度ae：大小未知，為所要求的量，

方向水平，假設(shè)向右。絕對加速度切向分量aat：aat=lα0，方向與OA垂直，指向左下方。aeaataanθarθ應(yīng)用加速度合成定理投影到O′x′軸，得到于是，求得即為導(dǎo)桿和送料槽D的加速度aD，其中負(fù)號表示