第五節(jié)曲線與方程

1.結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．2．掌握求曲線方程的基本方法，會求一些簡單的軌跡方程．

1．曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個方程叫做

；這條曲線叫做

2．求動點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟(1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)．(3)列式——列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式．曲線的方程方程的曲線．(4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡．(5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程．無解1．f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：利用曲線與方程定義的兩條件來確定其關(guān)系，∵f(x0，y0)＝0可知點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上時，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．答案：C答案：D答案：D4．過圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)P作x軸的垂線PN，垂足為N，則線段PN中點(diǎn)M的軌跡方程是________．5．平面面區(qū)域域P：x2＋y2＋1≤2(|x|＋|y|)的面積積為________．解析：：本題考考查線線性規(guī)規(guī)劃知知識的的遷移移應(yīng)用用．由由已知知得不不等式式表示示的平平面區(qū)區(qū)域成成中心心對稱稱．當(dāng)當(dāng)x≥0，y≥0時，原原不等等式等等價于于(x－1)2＋(y－1)2≤1表示在在第一一象限限內(nèi)以以(1,1)為圓心心以1為半徑徑的圓圓面，，故如如下圖圖可得得不等等式表表示的的區(qū)域域，故故其面面積為為4·π·12＝4π.答案：：4π熱點(diǎn)之之一直接法法求軌軌跡方方程如果動動點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動的的條件件就是是一些些幾何何量的的等量量關(guān)系系，這這些條條件簡簡單明明確，，易于于表述述成含含x、y的等式式，得得到軌軌跡方方程，，這種種方法法稱之之為直直接法法．用用直接接法求求動點(diǎn)點(diǎn)軌跡跡的方方程一一般有有建系系設(shè)點(diǎn)點(diǎn)、列列式、、代換換、化化簡、、證明明五個個步驟驟，但但最后后的證證明可可以省省略．．即時訓(xùn)訓(xùn)練線段AB與CD互相垂垂直平平分于于點(diǎn)O，|AB|＝2a，|CD|＝2b，動點(diǎn)點(diǎn)P滿足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求動動點(diǎn)P的軌跡跡方程程．解：以AB的中點(diǎn)點(diǎn)O為原點(diǎn)點(diǎn)，直直線AB為x軸，直直線CD為y軸，建建立直直角坐坐標(biāo)系系．則A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)．設(shè)P(x，y)，由題題設(shè)知知，點(diǎn)P滿足的的條件件為|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.熱點(diǎn)之之二定義法法求軌軌跡方方程1．運(yùn)用解解析幾幾何中中一些些常用用定義義(例如圓圓錐曲曲線的的定義義)，可從從曲線線定義義出發(fā)發(fā)直接接寫出出軌跡跡方程程，或或從曲曲線定定義出出發(fā)建建立關(guān)關(guān)系式式，從從而求求出軌軌跡方方程．．2．用定義法求求軌跡方程程的關(guān)鍵是是緊扣解析析幾何中有有關(guān)曲線的的定義，靈靈活應(yīng)用定定義．同時時用定義求求軌跡方程程也是近幾幾年來高考考的熱點(diǎn)之之一．[例2]如下圖，圓圓O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)為兩個定點(diǎn)點(diǎn)．直線l是圓O的一條切線線，若經(jīng)過過A、B兩點(diǎn)的拋物物線以直線線l為準(zhǔn)線，則則拋物線焦焦點(diǎn)所在的的軌跡是()A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D．圓[思路探究]本題考查利利用圓錐曲曲線的定義義求軌跡．．[課堂記錄]設(shè)拋物線的的焦點(diǎn)為F，因?yàn)锳、B在拋物線上上，所以由拋物物線的定義義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN，于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.過O作OP⊥l，由于l是圓O的一條切線線，所以四四邊形AMNB是直角梯形形，OP是中位線，，故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|OP|＝8>4＝|AB|.根據(jù)橢圓的的定義知，，焦點(diǎn)F的軌跡是一一個橢圓．．故選B.答案：B熱點(diǎn)之三代入法求軌軌跡方程1．動點(diǎn)所滿滿足的條件件不易表述述或求出，，但形成軌軌跡的動點(diǎn)點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動動點(diǎn)Q(x′，y′)的運(yùn)動而有有規(guī)律的運(yùn)運(yùn)動，且動動點(diǎn)Q的軌跡方程程為給定或或容易求得得，則可先先將x′、y′表示為x、y的式子，再再代入Q的軌跡方程程，然后整整理得P的軌跡方程程，代入法法也稱相關(guān)關(guān)點(diǎn)法．2．用代入法求求軌跡方程程的關(guān)鍵是是尋求關(guān)系系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代代入已知知曲線．．而求對對稱曲線線(軸對稱、、中心對對稱等)方程實(shí)質(zhì)質(zhì)上也是是用代入入法(相關(guān)點(diǎn)法法)解題．[例3]如右圖，，從雙曲曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)Q引直線x＋y＝2的垂線，，垂足為為N，求線段段QN的中點(diǎn)P的軌跡方方程．[思路探究究]設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，，利用代代入法進(jìn)進(jìn)行求解解．[課堂記錄錄]設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為為(x1，y1)，則N點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)為(2x－x1,2y－y1)．∵N在直線x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2.①又∵PQ垂直于直直線x＋y＝2，求軌跡方方程是很很重要的的內(nèi)容，，也是高高考常考考常新的的內(nèi)容，，體現(xiàn)出出對曲線線和方程程關(guān)系的的深刻理理解，能能根據(jù)動動點(diǎn)滿足足的幾何何條件選選擇合適適的方法法建立曲曲線方程程也是高高考的基基本要求求，高考考主要考考查：(1)利用直接接法、定定義法或或待定系系數(shù)法求求軌跡方方程；(2)結(jié)合平面面向量知知識確定定動點(diǎn)軌軌跡，并并研究軌軌跡的有有關(guān)性質(zhì)質(zhì)．(2010·北京高考考)如右圖放放置的邊邊長為1的正方形形PABC沿x軸滾動．．設(shè)頂點(diǎn)點(diǎn)P(x，y