第四十講橢圓回歸課本1.橢圓的定義(1)定義:平面內(nèi)兩定點(diǎn)為F1?F2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足條件點(diǎn)P到點(diǎn)F1?F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)時(shí),P點(diǎn)的軌跡為橢圓;F1?F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).(2)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(3)注意:定義中,“定值大于|F1F2|”(即2a>2c)是必要條件.當(dāng)2a=2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡是兩焦點(diǎn)的連線段;而當(dāng)2a<2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)考點(diǎn)陪練1.已知兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=2,則點(diǎn)M的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.線段 D.直線答案:C答案:D答案:A答案:C類型一橢橢圓的的定義解題準(zhǔn)(2)橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和為常數(shù)(大于|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.用集合表示:橢圓上的點(diǎn)M滿足集合均為常數(shù)且2a>2c.(3)涉及橢圓圓定義的的問題時(shí)時(shí),一定要注注意“2a>2c”這一個(gè)前前提條件件.因?yàn)楫?dāng)平平面內(nèi)的的動(dòng)點(diǎn)與與定點(diǎn)F1?F2的距離之之和等于于|F1F2|時(shí),其動(dòng)點(diǎn)軌軌跡就是是線段F1F2;當(dāng)平面內(nèi)內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)與定點(diǎn)點(diǎn)F1?F2的距離之之和小于于|F1F2|時(shí),其軌跡不不存在.【[解]兩定圓的圓心和半徑分別是O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為R,則由題設(shè)條件,可知|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,∴|MO1|+|MO2|=10,由橢圓的定義知:M在以O(shè)1?O2為焦點(diǎn)的橢圓上,且a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16,故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為[反思感感悟]先根據(jù)據(jù)定義義判斷斷軌跡跡的類類型,再用待待定系系數(shù)法法求軌軌跡方方程的的方法法叫定定義法法.用定義義法求求軌跡跡方程程時(shí),應(yīng)首先先充分分挖掘掘圖形形的幾幾何性性質(zhì),找出動(dòng)動(dòng)點(diǎn)滿滿足的的幾何何條件件,看其是是否符類型二二求求橢圓圓的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方方程解題準(zhǔn)準(zhǔn)備:(1)定義法法;(2)待定系系數(shù)法法.若已知知焦點(diǎn)點(diǎn)的位位置可可唯一一確定定標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方程程;若焦點(diǎn)點(diǎn)位置置不確確定,可采用用分類類討論論來確確定方來求解,以避免討論和繁瑣的計(jì)算.類型三三橢橢圓的的幾何何性質(zhì)質(zhì)解題準(zhǔn)備:1.對橢圓幾何何性質(zhì)的考考查一直是是高考命題題的一個(gè)熱熱點(diǎn),尤其是對橢橢圓離心率率的求解問問題,更是考查的的重點(diǎn).2.對于焦點(diǎn)在在x軸上,中心在原點(diǎn)點(diǎn)的橢圓有以下性質(zhì)質(zhì):①范圍:-a≤x≤a,-b≤y≤≤b.橢圓位于直直線x=±a和y=±b所圍成的矩[反思感悟]求解與幾何何性質(zhì)有關(guān)關(guān)的問題時(shí)時(shí)要結(jié)合圖圖形進(jìn)行分分析,即使不畫出出圖形,思考時(shí)也要要聯(lián)想到圖圖形.當(dāng)涉及到頂頂點(diǎn)?焦點(diǎn)?長軸?短軸等橢圓圓的基本量量時(shí),要理清它們們之間的關(guān)關(guān)系,建立基本量量之間的聯(lián)聯(lián)系.類型四直直線與橢圓圓的位置關(guān)關(guān)系解題準(zhǔn)備:1.直線方程與與橢圓方程程聯(lián)立,消元后得到到一元二次次方程,然后通過判判別式Δ來判斷直線線和橢圓相相交?相切或相離離.2.消元后得到到的一元二二次方程的的根是直線線和橢圓交交點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)或縱坐坐標(biāo),通常是寫成成兩根之和和與兩根之之積的形式式,這是進(jìn)一步步解題的基基礎(chǔ).【典例4】已知橢圓C的中心在坐坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A?B兩點(diǎn)(A?B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).[分析](1)由[反思感悟](1)直線方程與與橢圓方程程聯(lián)立,消元后得到到一元二次次方程, (2)消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式,這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).

錯(cuò)源一定定義理解不不清致錯(cuò)【典例1】已知A(4,[錯(cuò)解]欲使|MA|+|MB|最大或最小,考慮動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上的位置,再結(jié)合圖形,由于A是橢圓的右焦點(diǎn),當(dāng)M是左頂點(diǎn)時(shí),|MA|最大,當(dāng)M是右頂點(diǎn)時(shí),|MA|最小.于是|MA|+|MB|的最大值為最小值為[剖析]當(dāng)|MA|最大時(shí),|MA|+|MB|就一定最大大嗎?顯然,不一定.[正解]易知A(4,0)為橢圓的右右焦點(diǎn),設(shè)左焦點(diǎn)為為F1,由a2=25知|MF1|+|MA|=10,因此此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|.問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為““求求橢橢圓圓上上一一點(diǎn)點(diǎn)到到B,F1兩點(diǎn)點(diǎn)錯(cuò)源源二二忽忽視視焦焦[答案案]12或20錯(cuò)源源三三忽忽視視變變量量的的范范圍圍致致錯(cuò)錯(cuò)[剖析析]ΔΔ≥≥0只能能保保證證方方程程x2-6x+2k=0有解解,而不不能能保保證證原原方方程程組組有有解解.因?yàn)闉樵椒匠坛探M組中中