第七節(jié)冪函數1．冪函數的定義形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數．2．冪函數的圖象冪函數y＝xα，當α＝1,2,3，，－1時，在同一坐標系內的圖象如圖所示：

冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象如果與坐標軸相交，則交點一定是原點．3．冪函數的性質(1)在(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸，在(1，＋∞)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸．(2)當α＞0時，冪函數y＝xα在(0，＋∞)上是增函數．當α＜0時，冪函數y＝xα在(0，＋∞)上是減函數．(3)冪函數中既有奇函數，又有偶函數，也有非奇非偶函數．1．下列函數：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝

，其中冪函數的個數為(

)A．1

B．2C．3D．4【解析】∵①中y＝x－3；④中y＝適合冪函數定義；而②中y＝3x－2，③中y＝x4＋x2不符合冪函數的定義．【答案】

B2．設α∈，則使函數y＝xα的定義域為R且為奇函數的所有α值為(

)A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【解析】∵y＝x－1的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴α＝－1不合題意．排除B、C、D，故選A.【答案】

A【解析】設f(x)＝xα，則3＝，所以α＝－3，即f(x)＝x－3.【答案】

B【解析】

f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.【答案】

15．函數y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如右圖，則實數a、b、c的大小關系為

.【解析】由圖可知三圖象的交點為(1,1)，過x＞1的某一點(x0,0)，作直線x=x0，與y=xa，y=xb，y=xc交于三點(x0，x0a)，(x0，x0b)，(x0，x0c)，其中縱坐標大的對應其冪指數值也大，∴a＞b＞c.【答案】

a＞b＞c已知函函數f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m為何值值時，，f(x)：(1)是冪函函數；；(2)是冪函函數，，且是是(0，＋∞∞)上的增增函數數；(3)是正比比例函函數；；【思路點點撥】(1)(3)分別利利用相相應函函數的的定義義確定定m的值，，(2)中利用用冪函函數的的性質質與冪冪指數數之間間關系系，確確定m.【解析】(1)∵f(x)是冪函函數，，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若是冪冪函數數且又又是(0，＋∞∞)上的增函數數，則－5m－3＞0，即m＜－，，∴m＝2(舍去)，故m＝－1.(3)若f(x)是正比例函函數，則－－5m－3＝1，解得m＝－，，此時m2－m－1≠0，故m＝－.比較兩個冪冪的大小關關鍵是搞清清楚是底數數相同，還還是指數相相同，若底底數相同，，利用指數數函數的性性質；若指指數相同，，利用冪函函數的性質質；若底數數、指數皆皆不相同，，考慮用中中間值法．．【解析】(1)函數y＝x在(0，＋∞)上為減函數數，又3＜3.1，∴3＞3.1.已知冪函數數f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N)(1)試確定該函函數的定義義域，并指指明該函數數在其定義義域上的單單調性；(2)若該函數還還經過點(2，)，試確定m的值，并求求滿足條件件f(2－a)＞f(a－1)的實數a的取值范圍圍．【解析】(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N，而m與m＋1中必有一個個為偶數，，∴m2＋m為偶數．∴函數f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N)的定義域為為[0，＋∞)，并且函數數f(x)在其定義域域上為增函函數．解決此題的的突破口在在于挖掘出出隱含條件件m2＋m為偶數．第第(2)問求實數a的取值范圍圍時，一定定要保證式式子f(2－a)和f(a－1)有意義．曾經被削弱弱地位的冪冪函數在新新課標教材材中，又有有所加強，，冪函數與與指數函數數有著密不不可分的聯聯系，學習習冪函數對對揭示三次次函數和分分式函數等等的規(guī)律也也有著重要要的作用．．高考中，，對冪函數數的考查多多以選擇、、填空題的的形式出現現，其難度度較低．1．已知冪函函數f(x)＝xα的部分對應應值如下表表：2．下列函數數中，既是是偶函數又又在(0，＋∞)上單調遞增增的是()A．y＝x3B．y＝cosxC．y＝D．y