第五節(jié)解斜三角形及應(yīng)用舉例1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理解決的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊．②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角.①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角. 在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的什么條件？【提示】充要條件．(1)勾股定理是余弦定理的特珠情況．在余弦定理表達(dá)式中分別令A(yù)、B、C為90°，則上述關(guān)系式分別化為：a2＝b2＋c2，b2＝c2＋a2，c2＝a2＋b2.(2)在△ABC中，有如下結(jié)論：①a2＜b2＋c2?0°＜A＜90°；②a2＝b2＋c2?A＝90°；③a2＞b2＋c2?90°＜A＜180°.2．在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下A為銳角圖形關(guān)系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥b解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解【答案】

B2．(2008年北京卷)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于 ()A．135° B．90°C．45° D．30°【答案】C【解析】】由余弦定定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝1＋c2－c，c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)．【答案】】B【答案】】直角三角角形【答案】】無解【思路點(diǎn)點(diǎn)撥】已知三角角形的兩兩邊及其其中一邊邊的對(duì)角角，可利利用正弦弦定理解解三角形形，但要要注意解解的判斷斷余弦定理理揭示了了三角形形中兩邊邊及其夾夾角與對(duì)對(duì)應(yīng)邊的的關(guān)系，，是勾股股定理的的推廣，，它能解解決以下下兩類問問題：(1)已已知三邊邊，求其其他三角角，其解解是唯一一的．(2)已已知兩邊邊及它們們的夾角角，求第第三邊及及其他兩兩角，此此時(shí)也只只有一解解．(2009年上上海卷)已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊邊分別是是a、b、c，設(shè)向量量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．．(1)若若m∥n，求證：：△ABC為等腰三三角形；；(2)若若m⊥p，邊長c＝2，角角C＝ ，求求△ABC的面積．．判斷三角角形形狀狀主要有有如下兩兩條途徑徑：(1)利利用正、、余弦定定理把已已知條件件轉(zhuǎn)化為為邊邊關(guān)關(guān)系，通通過因式式分解、、配方等等得出邊邊的相應(yīng)應(yīng)關(guān)系，，從而判判斷三角角形的形形狀；(2)利利用正、、余弦定定理把已已知條件件轉(zhuǎn)化為為內(nèi)角的的三角函函數(shù)間關(guān)關(guān)系，通通過三角角函數(shù)恒恒等變形形，得出出內(nèi)角的的關(guān)系，，從而判判斷出三三角形的的形狀，，此時(shí)要要注意應(yīng)應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)個(gè)結(jié)論．．在兩種種解法的的等式變變形中，，一般兩兩邊不要要約去公公因式，，應(yīng)移項(xiàng)項(xiàng)提取公公因式，，以免漏漏解．故B、D的距離約約為0.33km.三角形知知識(shí)解決決實(shí)際問問題的基基本步驟驟是：(1)根根據(jù)題意意，抽象象或者構(gòu)構(gòu)造出三三角形；；(2)確確定實(shí)際際問題所所涉及的的數(shù)據(jù)以以及要求求解的結(jié)結(jié)論與所所構(gòu)造的的三角形形的邊和和角的對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系系；(3)選選用正弦弦定理或或余弦定定理或者者二者相相結(jié)合求求解；(4)給給出結(jié)論論．本題題中不僅僅僅是臺(tái)臺(tái)風(fēng)的中中心隨時(shí)時(shí)間的推推移而移移動(dòng)，而而且臺(tái)風(fēng)風(fēng)的半徑徑也隨著著時(shí)間的的推移而而不斷擴(kuò)擴(kuò)大，所所以臺(tái)風(fēng)風(fēng)的侵入入范圍也也隨著時(shí)時(shí)間的變變化而不不斷變化化．3．在海岸岸A處，發(fā)發(fā)現(xiàn)北北偏東東45°方方向，，距A處(－－1)nmile的的B處有一一艘走走私船船，在在A處北偏偏西75°°的方方向，，距離離A處2nmile的C處的緝緝私船船奉命命以10nmile/h的速速度追追截走走私船船．此此時(shí)，，走私私船正正以10nmile/h的速速度從從B處向北北偏東東30°方方向逃逃竄，，問緝緝私船船沿什什么方方向能能最快快追上上走私私船？？即緝私私船沿沿東偏偏北30°°方向向能最最快追追上走走私船船．本節(jié)內(nèi)內(nèi)容是是利用用正弦弦定理理、余余弦定定理進(jìn)進(jìn)行邊邊角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化，，進(jìn)而而進(jìn)行行恒等等變換換解決決問題題，在在考查查正弦弦定理理、余余弦定定理和和面積積公式式