.第4課時空間向量及其運算(9B)1．空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個

．基底x＋y＋z＝12．兩個向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)∠AOB0〈a，b〉π(2)兩向量的數(shù)量積：兩個非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝

．|a||b|cos〈a，b〉(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：①a·e＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥ba·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交換律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．1．已知向量a∥平面β，向量a所在直線為a，則(

)A．a(chǎn)∥β

B．a(chǎn)βC．a(chǎn)交β于一點D．a(chǎn)∥β或aβ答案：D2．若向量{a，b，c}是空間的一個基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以與m、n構(gòu)成空間另一個基底的向量是(

)A．a(chǎn)B．bC．cD．2a解析：

∵a＋b，a－b分別與a，b,2a共面，∴它們不能構(gòu)成一組基底．答案：

C答案：

C4．已知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a＝________.答案：－13答案：用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立．已知E、F、G、H分別是空空間四邊邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點．．用向量量法證明明：E、F、G、H四點共面面．[變式訓(xùn)練練]2.已知A、B、C三點不共共線，對對平面外外一點O，在下列列條件下下，點P是否一定定與A、B、C共面？兩個向量量的數(shù)量量積是一一個實數(shù)數(shù)，不是是向量，，符號由由cosθθ的符號所所決定．．在進(jìn)行行運算時時，要滿滿足運算算律，向向量數(shù)量量運算主主要在于于應(yīng)用，，其作用用在于求求距離(長度)、夾角及及證明垂垂直等．．1．點共線線問題共線向量量定理：：對空間間任意兩兩個向量量a，b(b≠0)，a∥b的充要條條件是存存在實數(shù)數(shù)λ，使得a＝λb.2．點共面面問題點共面問問題可以以轉(zhuǎn)化為為向量共共面問題題：如果兩個個向量a，b不共線，，則向量量p與向量a，b共面的充充要條件件是，存存在實數(shù)數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.由此可見見，空間間任一定定點P位于平面面MAB內(nèi)的充要要條件是是：所以要證證明P，M，A，B四點共面面，關(guān)鍵鍵是尋找找有序?qū)崒崝?shù)對(x，y)滿足上述述的兩個個關(guān)系式式．3．平行問問題證明線線線平行只只需證明明表示兩兩條直線線的向量量滿足實實數(shù)倍數(shù)數(shù)關(guān)系．．如證明明AB∥CD只需證證明面面面平行，，只要證證明兩個個平面的的法向量量共線即即可．通過近三三年高考考試題的的統(tǒng)計分分析，有有以下的的命題規(guī)規(guī)律：1．考查熱熱點：向向量數(shù)量量的應(yīng)用用．2．考查形形式：選選擇、填填空、解解答題均均可能出出現(xiàn)．3．考查角角度：一是空間間向量線線性運算算；二是對利利用向量量處理平平行和垂垂直問題題的考查查，主要要解決立立體幾何何中有關(guān)關(guān)垂直和和平行判判斷的一一些命題題．4．命題趨趨勢：空空間向量量及其運運算，最最有可能能的還在在解答題題，不過過作為解解題的工工具進(jìn)行行考查．．(12分)(2010·安徽卷)如圖，在在多面體體ABCDEF中，四邊邊形ABCD是正方形形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求二面角角B－DE－C的大?。?guī)范解答答：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.∵EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H為BC的中點，，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.[閱后報告告]解答本題題的關(guān)鍵鍵建立空空間坐標(biāo)標(biāo)系，求求解時利利用面FBC⊥面ABCD，取BC的中點H作為原點點，從而而問題得得到解決決．1.(2010·北京理科科卷)如圖，正正方形ABCD和四邊形形ACEF所在的平平面互相相垂直，，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.(2)因為正方方形ABCD和四邊形形ACEF所在的平平面互相相垂直，，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如圖，以以C為原點，，建立空空間直角角坐標(biāo)系系C－xyz.2.(2010·全國新課課標(biāo)卷)如圖，已已知四棱棱錐P－ABCD的底面為為等腰梯梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為為H，PH是四棱錐錐的高，，E為AD中點．(1)證明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線線PA與平面PEH所成角的的正弦值值．解析：以H為原點，，HA