1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念及基本步驟數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法．它的基本步驟是：(1)驗證：＝n時，命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)

＝(≥n)時命題成立

的前提下，推出當(dāng)

＝＋1

時，命題成立．根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切正整數(shù)都成立．2．歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)系數(shù)學(xué)上，在歸納出結(jié)論后，還需給出嚴(yán)格證明．在學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)歸納法時，需要特別注意：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)

有關(guān)

的命題；(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可．1．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的第一步時，是驗證使命題成立的最小正整數(shù)，注意

不一定是

1.2．當(dāng)證明從

到

＋1時，所證明的式子不一定只增加一項；其次，在證明命題對

＝＋1成立時，必須運用命題對＝成立的歸納假設(shè)．步驟二中，在由

到

＋1的遞推過程中，突出兩個“湊”：一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論．關(guān)鍵是明確

＝＋1時證明的目標(biāo)，充分考慮由＝到

＝＋1時命題形式之間的區(qū)別與聯(lián)系，若實在湊不出結(jié)論，特別是不等式的證明，還可以應(yīng)用比較法、分析法、綜合法、放縮法等來證明當(dāng)＝＋1時命題也成立，這也是證題的常用方法．3．用數(shù)學(xué)歸納法證命題的兩個步驟相輔相成，缺一不可．盡管部分與正整數(shù)有關(guān)的命題用其他方法也可以解決，但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明，則必須依題目的要求嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行，否則不正確．4．要注意“觀察——歸納——猜想——證明”的思維模式，和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，加強合情推理與演繹推理相結(jié)合的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．1

/

115．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與歸納推理不同．(1)歸納推理是根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個都有這種屬性．結(jié)果不一定正確，需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明．(2)數(shù)學(xué)歸納法是一種證明數(shù)學(xué)命題的方法，結(jié)果一定正確．6．在學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)歸納法時，需要特別注意：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)有關(guān)的命題，要求這個命題對所有的正整數(shù)

都成立；(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎(chǔ)必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞的保證，即只要命題對某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對后繼正整數(shù)都成立，兩步合在一起為完全歸納步驟，稱為數(shù)學(xué)歸納法，這兩步各司其職，缺一不可．特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)?，而是證明命題是否具有傳遞性．如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題． 證明：＋＋＋…＋＋＝－其中

∈．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

－＋－＋…＋－－2

/

11

＝＋＋＋＋…＋

.

證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于

的自然數(shù)

，不等式＋＋＋…＋

＋

－

＞

成立．

*

·

恰當(dāng)?shù)目s小來實現(xiàn)，也可以用上述歸納假設(shè)后，證明不等式

p;

p

p

.

大慶實驗中學(xué)高二期中

用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋<2－ ≥2)．

<2

<<2<2

證明整除問題用數(shù)學(xué)歸納法證明下列問題：求證：×＋是

的倍數(shù)；證明：＋－能被

整除． ·7

k·7.

mm

mmmm

*

南京一模已知數(shù)列{}滿足

＝，＝，當(dāng)

∈時，＝＋.求證：數(shù)列{}的第

m＋

項m∈能被整除．

m

m

m

m

m

m

.

m

{}

m

幾何問題平面內(nèi)有

個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點．求證：這個圓把平面分成

－＋個部分．

*

*

平面內(nèi)有(∈，≥條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數(shù)

()＝

－

.

l

l

l

.

歸納—猜想—證明

湖南常德

月，設(shè)

>0，＝＋，令

＝，＝，∈.寫出

，，的值，并猜想數(shù)列{}的通項公式；用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

.

·

·

.

已知數(shù)列{}滿足

已知數(shù)列{}滿足

＝，

＝

，∈

.＋證明：

－≤

.

:

猜想數(shù)列{}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

>>{}

>

>.

>0

>0

>

.

<2

>

<2

>

.

.

判斷

＋＋…＋＝＋＋

對大于

的自然數(shù)

是否都成立？若成立請給出證明

×

×

×

＋＋ ×

×

×

＋＋用數(shù)學(xué)歸納法證明 ＋ ＋ ＋…＋ ＝∈

．

.

＋用數(shù)學(xué)歸納法證明

＋＋＋…＋>

∈．

>

>

.