第七章立體幾何第七節(jié)空間向量及其運算（理）抓基礎明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．4.掌握向量的長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間的距離公式，并會解決簡單的立體幾何問題.

怎

么

考從高考內(nèi)容上來看，空間向量的概念及其運算在命題中單獨命題較少，多置于解答題中作為一種方法進行考查，難度中等.一、空間向量及其有關概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線

共面向量平行于

的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使平行或重合同一平面a＝λb語言描述共面向量定理若兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝空間向量基本定理(1)定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝

(2)推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x、y、z使

＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1xa＋yb＋zcxa＋yba·b＝0a2a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝

向量差a－b＝向量積a·b＝共線a∥b?

(λ∈R)2．向量的坐標運算(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3垂直a⊥b?夾角公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0答案案：：B答案案：：A答案案：：D4．已已知知向向量量a＝(4，－－2，－－4)，b＝(6，－－3,2)，則則(a＋b)··(a－b)的值值為為________．答案案：：－13解析析：：a＋b＝(10，－－5，－－2)a－b＝(－2,1，－－6)∴(a＋b)··(a－b)＝－－13.5．已已知知a＝(1,2，－－2)，b＝(0,2,4)，則則a，b夾角角的的余余弦弦值為為________．1．用用空空間間向向量量解解決決立立體體幾幾何何中中的的平平行行或或共共線線問問題題一一般般用用向量量共共線線定定理理；；求求兩兩點點間間距距離離或或某某一一線線段段的的長長度度，，一一般用向量量的模來來解決；；解決垂垂直問題題一般可可轉(zhuǎn)化為為向量的數(shù)量量積為零零；求異異面直線線所成的的角，一一般可以以轉(zhuǎn)化為兩向向量的夾夾角，但但要注意意兩種角角的范圍圍不同，，最后應進行行轉(zhuǎn)化．．2．空間向向量的加加法、減減法經(jīng)常常逆用，，來進行行向量的的分解．．3．幾何體體中向量量問題的的解決，，選好基基底是關關鍵．[巧練模擬擬]————————(課堂突破破保分題題，分分分必保！！)答案：D[沖關錦囊囊]用已知向向量來表表示未知知向量．．一定要要結合圖圖形，以以圖形為為指導是是解題的的關鍵．．要正確確理解向向量加法法、減法法與數(shù)乘乘運算的的幾何意意義．靈靈活運用用三角形形法則及及四邊形形法則.其中真命命題的個個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案：B[沖關錦囊囊]應用共線線向量定定理、共共面向量量定理證證明點共共線、點點共面的的方法比比較：題目條件件不變，，若λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直，，求λ，μ應滿足的的關系．．解：∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．∵λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直，，∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即當λ，μ滿足關系系λ－μ＝0時，可使使λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直．．[巧練模擬擬]——————(課堂突破破保分題題，分分分必保?。?3．(2012·壽光模擬擬)如圖，在在30°的二面角角α－l－β的棱上有兩點A、B，點C、D分別在α、β內(nèi)，且且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，則CD的長度度為________．[沖關錦錦囊]1．應用用數(shù)量量積解解決問問題時時一般般有兩兩種方方法：：一是是取相相互之間夾夾角已已知，，模已已知的的基向向量為為基底底表示示題中中的向向量再再計算算，二二是建建立空空間直直角坐坐標系系利用用坐標標運算算來解解決，，后者者更為為簡捷捷．2．在求求立體體幾何何中線線段的的長度度時，，轉(zhuǎn)化化為求求a·a＝|a|2，或利用用空間間兩點點間的的距離離公式式．解題樣樣板構構造法法在空空間向向量運運算中中的應應用答案：：B[高手點點撥]上述解解法一一構造造了特特殊的的幾何何體——正四面面體，，并應應用了了正四四面體體