§2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考

§2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理1．對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a為底N的對數(shù)，記作__________，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，_____叫作真數(shù)．b＝logaNN(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)logaN常用對數(shù)底數(shù)為10______自然對數(shù)底數(shù)為____lnNlgNe2．對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算法則性質(zhì)①loga1＝___，②logaa＝1，③＝_____運算性質(zhì)如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則：(1)loga(Mn)＝_________________，(2)logaMn＝__________________，(3)Loga＝__________________換底公式logbN＝

(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)0NlogaM＋logaNnlogaM(N∈R)logaM－logaN.思考感悟1．試結(jié)合換底公式探究logab與logba，logambn與logab之間的關(guān)系？3．對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)定義函數(shù)____________

(a＞0，a≠1)叫作對數(shù)函數(shù)，a叫作對數(shù)函數(shù)的底數(shù)圖像a＞10＜a＜1y＝logax性質(zhì)(1)定義域：___________(2)值域：______(3)過點(1,0)，即當x＝1時，y＝0(4)當x＞1時，______；當0＜x＜1時，________(4)當x＞1時，_______；當0＜x＜1時，________(5)是(0，＋∞)上的_________(5)是(0，＋∞)上的__________(0，＋∞)Ry＞0y＜0y＜0y＞0增函數(shù)減函數(shù)思考感悟2．如何確定圖中函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d與1的大小關(guān)系？提示：作一直線y＝1，該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標即為它們相應的底數(shù)．∴0<c<d<1<a<b.

4．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝______

(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線______對稱．logaxy＝x課前熱身1．(2010年高考考四川川卷)2log510＋log50.25等于()A．0B．1C．2D．4答案：：C2．在同同一坐坐標系系內(nèi)，，函數(shù)數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖像像可能能是()答案：：C3．下列列不等等式成成立的的是()A．log32＜log23＜log25B．log32＜log25＜log23C．log23＜log32＜log25D．log23＜log25＜log32答案：：A4．(教材習習題改改編)函數(shù)y＝log(3－x)(x＋1)的定義義域為為________．答案：：(－1,2)∪(2,3)5．若函函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的反函數(shù)，，且f(2)＝1，則f(x)＝________.答案：log2x考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)源于指指數(shù)，對數(shù)數(shù)與指數(shù)互互為逆運算算，對數(shù)的的運算可根根據(jù)對數(shù)的的定義、對對數(shù)的運算算性質(zhì)、對對數(shù)恒等式式和對數(shù)的的換底公式式進行．在在解決對數(shù)數(shù)的運算和和與對數(shù)相相關(guān)的問題題時要注意意化簡過程程中的等價價性和對數(shù)數(shù)式與指數(shù)數(shù)式的互化化．例1【思路點撥】運用對數(shù)的的基本性質(zhì)質(zhì)及對數(shù)的的運算性質(zhì)質(zhì)，將對數(shù)數(shù)式進行合合并或分解解等化簡、、變形得到到結(jié)果．【解】(1)由已知，得得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，∴f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0.∴函數(shù)f(x)的值以6為周期重復復性出現(xiàn)，，∴f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－1.【誤區(qū)警示】對數(shù)的運算算性質(zhì)以及及有關(guān)公式式都是在式式子中所有有的對數(shù)符符號有意義義的前提下下才成立的的，不能出出現(xiàn)log212＝log2[(－3)(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等錯誤．考點二對數(shù)式的大小比較1．比較同底底的兩個對對數(shù)值的大大小，可利利用對數(shù)函函數(shù)的單調(diào)調(diào)性來完成成．(1)a>1，f(x)>0，g(x)>0，則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0；(2)0<a<1，f(x)>0，g(x)>0，則logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x)．2．比較兩個個同真數(shù)對對數(shù)值的大大小，可先先確定其底底數(shù)與1的大小關(guān)系系，然后再再比較．(1)若a>b>1，如圖1.當f(x)>1時，logbf(x)>logaf(x)；當0<f(x)<1時，logaf(x)>logbf(x)．(2)若1>a>b>0，如圖2.當f(x)>1時，logbf(x)>logaf(x)；當1>f(x)>0時，logaf(x)>logbf(x)．(3)若a>1>b>0.當f(x)>1時，則logaf(x)>0>logbf(x)；當0<f(x)<1時，則logaf(x)<0<logbf(x)．3．比較大小小常用的方方法(1)作差(商)法；(2)利用函數(shù)的的單調(diào)性法法；(3)特殊值法(特別是以1和0為中間值)．例2A．①與③B．①與④C．②與③D．②與④【答案】(1)A(2)D【名師點評】比較大小，，往往要先先判斷正、、負，再根根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性進進行比較，，必要時要要與0、1或其他中間間值進行比比較．互動探究1將本例(2)中的條件0＜a＜1改為a＞0且a≠1結(jié)論如何？？考點三對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應用利用對數(shù)函函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)，求與對對數(shù)函數(shù)有有關(guān)的復合合函數(shù)的值值域和單調(diào)調(diào)性問題，，必須弄清清三方面的的問題：一一是定義域域，所有問問題都必須須在定義域域內(nèi)討論；；二是底數(shù)數(shù)與1的大小關(guān)系系；三是復復合函數(shù)的的構(gòu)成，即即它是由哪哪些基本初初等函數(shù)復復合而成的的．例3【規(guī)律小結(jié)】(1)求與對數(shù)有有關(guān)的函數(shù)數(shù)定義域就就是求使真真數(shù)大于0，底數(shù)大于于0且不等于1的集合；(2)y＝logax的單調(diào)性取取決于底數(shù)數(shù)a，當?shù)讛?shù)a的大小不確確定時，需需對底數(shù)a分a>1與0<a<1兩種情況進進行討論；；(3)logaf(x)>b?logaf(x)>logaab，然后利用用單調(diào)性，，去掉對數(shù)數(shù)符號：若若a>1，則f(x)>ab；若0<a<1，則0<f(x)<ab.變式訓練2已知函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)，是否存在在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)，，若存在，，求a的取值范圍圍．解：∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)．．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)，，∴函數(shù)y＝logau在[0,1]上是關(guān)于u的增函數(shù)，，且對x∈[0,1]時，u＝2－ax恒為正數(shù)，，方法感悟方法技巧1．熟練掌握握對數(shù)的運運算法則、、對數(shù)恒等等式以及換換底公式，，善于正用用、逆用、、變形用，，這些公式式是解答對對數(shù)式的化化簡與求值值的關(guān)鍵．．(如例1)2．研究對數(shù)數(shù)型函數(shù)的的圖像時，，一般從最最基本的對對數(shù)函數(shù)的的圖像入手手，通過平平移、伸縮縮、對稱變變換得到．．特別地，，要注意底底數(shù)a＞1和0＜a＜1兩種不同情情況．有些些看似復雜雜的問題，，借助于函函數(shù)圖像來來解決，就就顯得簡單單了，這也也是數(shù)形結(jié)結(jié)合思想的的重要體現(xiàn)現(xiàn)．(如課前熱身身2)3．對于對數(shù)數(shù)函數(shù)的性性質(zhì)，要注注意底數(shù)是是否大于1.當a>1時，f(x)＝logag(x)的單調(diào)性與與g(x)>0時的單調(diào)性性一致；當當0<a<1時，f(x)＝logag(x)的單調(diào)性與與g(x)>0的單調(diào)性相相反．(如例3)4．無論討論論函數(shù)的性性質(zhì)，還是是利用函數(shù)數(shù)的性質(zhì)，，首先要分分清其底數(shù)數(shù)a∈(0,1)還是a∈(1，＋∞)，其次再看看定義域．．如果將函函數(shù)變換，，務必保證證等價性．．(如例2)失誤防范1．指數(shù)運算算的實質(zhì)是是指數(shù)式的的積、商、、冪的運算算，對于指指數(shù)式的和和、差應充充分運用恒恒等變形和和乘法公式式；對數(shù)運運算的實質(zhì)質(zhì)是把積、、商、冪的的對數(shù)轉(zhuǎn)化化為對數(shù)的的和、差、、積．2．指數(shù)函數(shù)數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)數(shù)，應從概概念、圖像像和性質(zhì)三三個方面理理解它們之之間的聯(lián)系系與區(qū)別．．3．要通過研研究函數(shù)的的性質(zhì)明確確函數(shù)圖像像的位置和和形狀，要要記憶函數(shù)數(shù)的性質(zhì)可可借助于函函數(shù)的圖像像．因此要要掌握指數(shù)數(shù)函數(shù)和對對數(shù)函數(shù)的的性質(zhì)首先先要熟記指指數(shù)函數(shù)和和對數(shù)函數(shù)數(shù)的圖像．．考情分析考向瞭望?把脈高考本節(jié)內(nèi)容在在高考中屬屬必考內(nèi)容容，考查重重點有以對對數(shù)的運算算性質(zhì)為依依據(jù)，考查查對數(shù)運算算、求函數(shù)數(shù)值，通過過比較大小小、求單調(diào)調(diào)區(qū)間、解解不等式等等考查對數(shù)數(shù)函數(shù)的單單調(diào)性以及及考查與對對數(shù)函數(shù)有有關(guān)的綜合合問題等．．考查熱點點是對數(shù)函函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)．題型以以選擇題、、填空題為為主，屬中中低檔題．．預測2012年高考仍以以對數(shù)函數(shù)數(shù)性質(zhì)為主主要考點，，重點考查查運用知識識解決問題題的能力．．真題透析例【名師點評】(1)本題易失誤誤的是：①三角變換公公式不熟，，在變形的的過程中出出錯；②對數(shù)的運算算性質(zhì)和指指數(shù)的運算算性質(zhì)記混混，導致簡簡單問題復復雜化，還還得不出正正確結(jié)論．．(2)對數(shù)的運算算常有兩種種解題思路路：一是將將對數(shù)的和和、差、積積、商、冪冪轉(zhuǎn)化為對對數(shù)真數(shù)的的積、商、、冪；二是是將式子化化為最簡單單的對數(shù)的的和、差、、積、商、、冪，合并并同類項后后再進行運運算．解題題過程中，，要抓住式式子的特點點，靈活使使用運算法法則．名師預測1．若a＝log3π，b＝log43，c＝log50.9，則()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：選A.a＝log3π＞log33＝1，b＝log43＜log44＝1且b＞0，c＝log50.