人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第3節(jié)多邊形及內(nèi)角和第2課時(shí)多邊形的內(nèi)角和第十一章三角形1.什么是多邊形？2.什么是多邊形的對(duì)角線(xiàn)？多邊形的對(duì)角線(xiàn)具有什么性質(zhì)？3.什么是正多邊形？4.由三角形內(nèi)角和定理可以得到哪些推論？5.三角形外角具有什么性質(zhì)？復(fù)習(xí)舊知1.了解并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.2.理解多邊形內(nèi)角和與外角和公式的推導(dǎo)過(guò)程.3.靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題1：你能說(shuō)出三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？三角形的內(nèi)角和是180°.問(wèn)題2：你知道長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是多少度嗎？長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和都是360°.問(wèn)題3：你能猜測(cè)任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°.導(dǎo)入新知探究：請(qǐng)大家任意畫(huà)一個(gè)四邊形，用量角器量出四個(gè)內(nèi)角的大小，并計(jì)算出四個(gè)內(nèi)角的和是多少？經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)四邊形的四個(gè)內(nèi)角和為360°.試用三角形內(nèi)角和定理來(lái)證明任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和為360°.利用對(duì)角線(xiàn)將四邊形分成三角形來(lái)求解.新知一多邊形的內(nèi)角和合作探究解：∵對(duì)角線(xiàn)AC將四邊形分為△ACD和△ACB，∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.∴四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°.如圖，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC，求四邊形ABCD的內(nèi)角和.ACBD類(lèi)比四邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法，請(qǐng)嘗試完成下列填空.從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作出（）條對(duì)角線(xiàn)，它們將五邊形分成了（）個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×（）.從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作出（）條對(duì)角線(xiàn)，它們將六邊形分成了（）個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×（）.233344多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.通過(guò)以上的探究，我們發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間有密切的關(guān)系.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作出（n-3）條對(duì)角線(xiàn)，它們將n邊形分成了（n-2）個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.例1

如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另外一組對(duì)角有什么關(guān)系？BACD解：若在四邊形ABCD中，∠A和∠C互補(bǔ)，則∠A+∠C=180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180°.則∠B與∠D互為補(bǔ)角.如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另外一組對(duì)角也互補(bǔ).典例精析例2

如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和，六邊形的外角和等于多少？

提示：1.六邊形的每一個(gè)外角和相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？2.六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？3.上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？ABCDEF1235461.六邊形的每一個(gè)外角和相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？

2.六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？任意一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角等于180°.每一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角等于180°，所以六個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角等于180°×6.3.上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？如果是n邊形，會(huì)得出什么結(jié)論呢？六個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角等于180°×6=1080°，六邊形的內(nèi)角和為180°×4=720°，六邊形的外角和為180°×6-180°×4=360°.在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，n邊形的外角和等于多少？性質(zhì)：多邊形的外角和等于360°.n個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角等于180°×n，n邊形的內(nèi)角和為180°×（n-2），n邊形的外角和為180°×n-180°×（n-2）=360°.新知二多邊形的外角和ABCDEF123546合作探究從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向，在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和.由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和就等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360°.ABCDEF123546性質(zhì)：多邊形的外角和等于360°.例3求出下列圖形中x的值.解：（1）四邊形的內(nèi)角和為360°，則x°+x°+140°+90°=360°，解得x=65.（2）四邊形的內(nèi)角和為360°，則∠1+75°+120°+80°=360°，解得∠1=85°，因?yàn)椤?+x°=180°，所以x=95.120°80°75°x°┐140°x°x°1（1）（2）典例精析例4一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，因?yàn)楦鲀?nèi)角都等于120°，所以?xún)?nèi)角和為120°×n.由內(nèi)角和公式得：（n-2）×

180°.則120°×n=（n-2）×180°，解得n=6.所以它是六邊形.你能從多邊形外角和的角度想出另外的解法嗎？方法二解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，因?yàn)楦鲀?nèi)角都等于120°，所以各外角都等于180

°-120

°=60

°.由外角和性質(zhì)得：n×60°=360°，解得n=6.所以它是六邊形.例4一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120°，它是幾邊形？多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和計(jì)算公式外角和正多邊形（n-2）×180°（n為≥3的整數(shù)）多邊形的外角和等于360°(與邊數(shù)無(wú)關(guān))內(nèi)角=,外角=歸納新知1．【2020·淮安】六邊形的內(nèi)角和為(

)A．360°B．540°C．720°D．1080°C課后練習(xí)2．【2020·濟(jì)寧】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

) A．9B．8C．7D．6B3．【2020·岳陽(yáng)】如圖，DA⊥AB，CD⊥DA，若∠B＝56°，則∠C的度數(shù)是(

)A．154°B．144°C．134°D．124°D4．【中考·廣安】若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，則這個(gè)正n邊形的所有對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是(

) A．7B．10C．35D．70C5．把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線(xiàn)截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)十八邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是(

) A．16B．17C．18D．19

A6．【2019·銅仁】如圖為長(zhǎng)方形ABCD，一條直線(xiàn)將該長(zhǎng)方形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為a和b，則a＋b不可能是(

)

A．360°B．540°C．630°D．720°C

7．一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為(

)A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9D8．(1)一個(gè)n邊形，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余(n－1)個(gè)內(nèi)角的和為2770°，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．解：設(shè)這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為x，則(n－2)×180°－x＝2770°，即180°·n＝3130°＋x.∵n為正整數(shù)，0°＜x＜180°，∴n＝18.∴這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°×(18－2)－2770°＝110°.(2)小李同學(xué)在計(jì)算一個(gè)n邊形的內(nèi)角和時(shí)不小心多加了一個(gè)內(nèi)角，得到的內(nèi)角之和是1380°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)n的值是多少？多加的這個(gè)內(nèi)角度數(shù)是多少？解：設(shè)多加的這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為α，則(n－2)·180°＝1380°－α.∵1380°＝7×180°＋120°，多邊形的內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，∴n＝9，α＝120°.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)n的值是9，多加的這個(gè)內(nèi)角度數(shù)是120°.9．在四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.(1)如圖①，若∠B＝∠C，試求出∠C的度數(shù)；(2)如圖②，若∠ABC的平分線(xiàn)BE交DC于點(diǎn)E，且BE