4-9切線的性質和判定人教九上一.學習目標1．判斷一條直線是否是圓的切線；2．會過圓上一點畫圓的切線；3．能運用圓的切線的判定和性質解決問題．二.知識回顧1．直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離．用圖表表示如下：直線與圓的位置關系相交相切相離圖形rdABO·rdABO·AlrdO·AlrdO·dlO·rdlO·r公共點的個數(shù)210公共點的名稱交點切點無圓心到直線距離d與半徑d＜rd＝rd＞r三.新知講解1．切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．判斷一條直線是圓的切線，你知道有多少種方法？（1）與圓有唯一公共點的直線是圓的切線．（2）當d=r時直線是圓的切線．（3）經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2．切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑．推論1：經過圓心且垂直于切線的直線經過切點．推論2：經過切點且垂直于切線的直徑經過圓心．四.典例探究1．證明某直線是圓的切線【例1】（2008年黃岡市）如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．求證：ＤＥ是⊙Ｏ的切線．DDECAOB總結：切線判定的情況有：（1）如果可以證明直線與圓有唯一德爾公共點，則該直線與圓相切。（2）如果圖形中沒有給出直線和圓的公共點，那么需先過圓心作該直線的垂線，然后證明垂足到圓心的距離等于這個圓的半徑.（3）如果圖形中給出了直線和圓的公共點，那么可先作過這個點的半徑，再證明此半徑與這條直線垂直．綜上所述，證明切線的一般方法可簡單表述為：=1\*GB3①確定唯一公共點，證切線；=2\*GB3②無交點，作垂直，證半徑；=3\*GB3③有交點，連半徑，證垂直。練1（2009年黔東南州）如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，點O是底邊BC的中點，⊙O與腰AB相切與點D，求證：AC與⊙Ｏ相切．2．已知圓的切線求線段長【例2】（2015?沈陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以點A為圓心，以3cm為半徑作⊙A，當AB=cm時，BC與⊙A相切．總結：切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．輔助線作法：連接圓心與切點可得半徑與切線垂直，即“連半徑，得垂直”。由切線的性質可構造一個直角，再結合勾股定理或全等三角形等可求得線段長。練2（2015?通州區(qū)一模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC，交AC于點E，交PC于點F，連接AF．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為4，AF=3，求線段AC的長．3．切線的性質和判定的綜合應用【例3】（2015?杭州模擬）如圖，直線l1∥l2，⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B，點M和點N分別是l1和l2上的動點，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半徑為1，∠AMN=60°，則下列結論不正確的是（）A．l1和l2的距離為2B．當MN與⊙O相切時，AM=C．MN=D．當∠MON=90°時，MN與⊙O相切練3（2015?湖北模擬）如圖，P為⊙O的直徑BA延長線上的一點，PC與⊙O相切，切點為C，點D是⊙O上一點，連接PD．已知PC=PD=BC．下列結論：（1）PD與⊙O相切；（2）四邊形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正確的個數(shù)為（）A．1個B．2個C．3個D．4個五.課后小測一.選擇題（共9小題）1．（2007?上海校級模擬）下列命題中，假命題是（）A．經過半徑的端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線B．經過直徑的端點且垂直于這條直徑的直線是圓的切線C．經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點D．經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心2．（2015?黔西南州）如圖，點P在⊙O外，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∠P=50°，則∠AOB等于（）A．150°B．130°C．155°D．135°3．（2015?內江）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，過D點的切線PD與直線AB交于點P，則∠ADP的度數(shù)為（）A．40°B．35°C．30°D．45°4．（2015?棗莊）如圖，一個邊長為4cm的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等．⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點E，則CE的長為（）A．4cmB．3cmC．2cmD．5．（2015?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點A，則∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°6．（2015?臺灣）如圖，AB切圓O1于B點，AC切圓O2于C點，BC分別交圓O1、圓O2于D、E兩點．若∠BO1D=40°，∠CO2E=60°，則∠A的度數(shù)為何？（）A．100B．120C．130D．1407．（2015?灤平縣二模）如圖，直線AB、CD相交于點O，∠AOD=30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在射線OA上，且與點O的距離為6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么（）秒鐘后⊙P與直線CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或88．（2012秋?漢陽區(qū)期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC．①若∠A=90°，AB+CD=BC，則以AD為直徑的圓與BC相切；②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓也與AD相切；③若以AD為直徑的圓與BC相切，則AB+CD=BC；④若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．以上判斷正確的個數(shù)有（）A．1B．2C．3D．49．（2015?河北模擬）如圖，P是⊙O外一點，OP交⊙O于點A，OA=AP．甲、乙兩人想作一條通過點P與⊙O相切的直線，其作法如下．甲：以點A為圓心，AP長為半徑畫弧，交⊙O于點B，則直線BP即為所求．乙：過點A作直線MN⊥OP：以點O為圓心，OP為半徑畫弧，交射線AM于點B，連接OB，交⊙O于點C，直線CP即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）A．甲正確，乙錯誤B．乙正確，甲錯誤C．兩人都正確D．兩人都錯誤二.填空題（共4小題）10．（2014秋?東臺市月考）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB與點P，且PC=BC，求證：BC是⊙O的切線．11．（2013?沈陽模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于點E，要使DE是⊙O的切線，需添加的條件是．（不添加其他字母和線條）12．（2012?湘潭）如圖，△ABC的一邊AB是⊙O的直徑，請你添加一個條件，使BC是⊙O的切線，你所添加的條件為．13．（2015?蘇州校級二模）如圖，直角坐標系中，點A（3，0）、B（0，4）分別位于x軸和y軸上，點C在x軸的負半軸上，且∠ACB=60°，在y軸正半軸上有一點M，以M為圓心，MO為半徑作⊙M與BA相切，若保持圓的大小不變，△ABC位置不變，將⊙M向右平移個單位，⊙M與BC相切．三.解答題（共3小題）14．（2015?黃石）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點．（1）求BC的長；（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．15．已知：△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．（1）如圖①，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（只需寫出三種情況）：①；②；③．（2）如圖②，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線．（3）如圖③，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠ABC，EF還是⊙O的切線嗎？若是，請說明理由；若不是，請解釋原因．16．（2015?梅州）如圖，直線l經過點A（4，0），B（0，3）．（1）求直線l的函數(shù)表達式；（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標．

典例探究答案：例1．【分析】由點D在⊙O上，連接OD,因此OD是⊙O的半徑，要證明DE是⊙O的切線，只需證明OD⊥DE.【證明】連接OD.可知OD＝OB，∴∠Ｂ＝∠BDO．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠BDO＝∠Ｃ.∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°．∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD．∴DE是⊙Ｏ的切線．練1．【分析】此題沒說明AC與⊙O是否有交點，所以過圓心作直線的垂線段OE，然后再說明OE的長度等于半徑長即可.【證明】連接OD，過點O作OE⊥AC于點E．∵AB切⊙Ｏ于點Ｄ，∴OD⊥AB，∴∠ODB＝∠OEC＝９０°又∵點O是BC的中點，∴OB＝OC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OE=OD，即OE是⊙O的半徑，∴AC與⊙O相切．【點評】在判別一條直線是圓的切線時，可能遇到兩種情形，一種是已知直線過圓上一點，另一種不知直線與圓是否有交點.針對不同的情形，要作恰當?shù)妮o助線進行證明．例2．【考點】切線的判定．【分析】當BC與⊙A相切，點A到BC的距離等于半徑即可．【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC與⊙A相切，∴AD就是圓A的半徑，∴AD=3cm，則AB=2AD=6cm．故答案是：6．【點評】本題考查了切線的判定．此題利用了切線的定義和含30度角的直角三角形的性質得到AB的長度的．練2．【考點】切線的判定與性質；勾股定理；【分析】（1）連接OC，先證出∠3=∠2，由SAS證明△OAF≌△OCF，得對應角相等∠OAF=∠OCF，再根據切線的性質得出∠OCF=90°，證出∠OAF=90°，即可得出結論；（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面積求出AE，根據垂徑定理得出AC=2AE．【解答】（1）證明：連接OC，如圖所示：∵AB是⊙O直徑，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切線；（2）∵⊙O的半徑為4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面積=AF?OA=OF?AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．【點評】本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質、勾股定理、垂徑定理以及三角形面積的計算；熟練掌握切線的判定，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．例3．【考點】切線的判定與性質．【分析】連結OA、OB，根據切線的性質和l1∥l2得到AB為⊙O的直徑，則l1和l2的距離為2；當MN與⊙O相切，連結OM，ON，當MN在AB左側時，根據切線長定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定義可計算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可計算出BN=，當MN在AB右側時，AM=，所以AM的長為或；當∠MON=90°時，作OE⊥MN于E，延長NO交l1于F，易證得Rt△OAF≌Rt△OBN，則OF=ON，于是可判斷MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根據角平分線的性質得OE=OA，然后根據切線的判定定理得到MN為⊙O的切線．【解答】解：連結OA、OB，如圖1，∵⊙O與l1和l2分別相切于點A和點B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴點A、O、B共線，∴AB為⊙O的直徑，∴l(xiāng)1和l2的距離為2；作NH⊥AM于H，如圖1，則MN=AB=2，∵∠AMN=60°，∴sin60°=，∴MN==；當MN與⊙O相切，如圖2，連結OM，ON，當MN在AB左側時，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN==，當MN在AB右側時，AM=，∴AM的長為或；當∠MON=90°時，作OE⊥MN于E，延長NO交l1于F，如圖2，∵OA=OB，∴Rt△OAF≌Rt△OBN，∴OF=ON，∴MO垂直平分NF，∴OM平分∠NMF，∴OE=OA，∴MN為⊙O的切線．故選B．【點評】本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑．練3．【考點】切線的判定與性質；菱形的判定與性質．【分析】（1）利用切線的性質得出∠PCO=90°，進而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，進而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），進而得出CO=PO=AB；（4）利用四邊形PCBD是菱形，即可得到∠ABC=∠ABD，弧AC=弧AD．【解答】解：（1）連接CO，DO，∵PC與⊙O相切，切點為C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD與⊙O相切，故（1）正確；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四邊形PCBD是菱形，故（2）正確；（3）連接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直徑，CD不是直徑，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）錯誤；（4）由（2）證得四邊形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正確；故選C．【點評】此題主要考查了切線的判定與性質和全等三角形的判定與性質以及菱形的判定與性質等知識，熟練利用全等三角形的判定與性質是解題關鍵．課后小測答案：一.選擇題（共9小題）1．【考點】切線的判定與性質；命題與定理．【專題】推理填空題．【分析】根據切線的定義和性質進行解答（要正確理解切線的定義：和圓有唯一公共點的直線是圓的切線．掌握切線的判定：①經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線，是圓的切線；②到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線）．【解答】解：A、經過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；可能經過圓心，故本選項錯誤；B、圓的切線的判定定理：經過直徑的端點且垂直于這條直徑的直線是圓的切線；故本選項正確，故不符合題意；C、圓的切線垂直于經過切點的半徑；故本選項正確，故不符合題意；D、經過切點且垂直于切線的直線為圓的直徑，所以它經過圓心；故本選項正確，故不符合題意；故選A．【點評】本題考查了切線的判定與性質、命題與定理．注意，切線與圓有且只有一個公共點，所以經過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2．【考點】切線的性質．【分析】由PA與PB為圓的兩條切線，利用切線性質得到PA與OA垂直，PB與OB垂直，在四邊形APBO中，利用四邊形的內角和定理即可求出∠AOB的度數(shù)．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=50°，∴∠AOB=130°．故選B．【點評】此題考查了切線的性質，以及四邊形的內角和定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．3．【考點】切線的性質．【分析】連接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因為PD為切線，利用切線與圓的關系即可得出結果．【解答】解：連接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切線，∴∠ADP=∠ABD=30°，故選：C．【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質，直徑對圓周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角求解．4．【考點】切線的性質；等邊三角形的性質．【分析】連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長度，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長．【解答】解：連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，∵△ABC為等邊三角形，邊長為4cm，∴△ABC的高為2cm，∴OC=cm，又∵∠ACB=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=cm，即CE=2FC=3cm．故選B．【點評】本題主要考查了切線的性質，等邊三角形的性質和解直角三角形的有關知識，題目不是太難，屬于基礎性題目．5．【考點】切線的性質；正多邊形和圓．【分析】連接OB，AD，BD，由多邊形是正六邊形可求出∠AOB的度數(shù)，再根據圓周角定理即可求出∠ADB的度數(shù)，利用弦切角定理∠PAB．【解答】解：連接OB，AD，BD，∵多邊形ABCDEF是正多邊形，∴AD為外接圓的直徑，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直線PA與⊙O相切于點A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故選A．【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，切線的性質，作出適當?shù)妮o助線，利用弦切角定理是解答此題的關鍵．6．【考點】切線的性質．【分析】由AB切圓O1于B點，AC切圓O2于C點，得到∠ABO1=∠ACO2=90°，由等腰三角形的性質得到∴∠O1BD=70°，∠O2CE=60°，根據三角形的內角和求得．【解答】解：∵AB切圓O1于B點，AC切圓O2于C點，∴∠ABO1=∠ACO2=90°，∵O1D=O1B，O2E=O2C，∴∠O1BD=∠O1DB==70°，∠O2CE=∠O2EC=（180°﹣60°）=60°，∴∠ABC=20°，∠ACB=30°，∴∠A=130°，故選C．【點評】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，熟記定理是解題的關鍵．7．【考點】切線的判定與性質．【分析】由題意判定CD是圓的切線，從其性質在△P1EO中求得OP1，從而求得．【解答】解：①由題意CD與圓P1相切于點E，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圓P到達圓P1需要時間為：4÷1=4（秒），②當圓心P在直線CD的右側時，PP2=6+2=8cm，∴圓P到達圓P2需要時間為：8÷1=8（秒），綜上可知：⊙P與直線CD相切時，時間為4或8秒鐘，故選：D．【點評】本題考查了切線的判定和性質，從切線入手從而解得．8．【考點】切線的判定與性質；梯形．【分析】①作AD的中點E，作EG⊥BC于點G，過E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線，然后證明△DCE≌△GCE，根據切線的判定定理即可判斷；②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，設以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點，設圓與BC相切與點G，則連接EG，可以利用全等三角形的性質證得AB+CD=BC，然后取BC的中點F，中位線EF就是以BC為直徑的圓的圓心到AD的垂線段，根據切線的判定定理即可證得；③需要條件∠A=90°．④由面積法，可得以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．【解答】解：①作AD的中點E，作EG⊥BC于點G，過E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線，∴EF=（AB+CD）=BC=CF，∴∠CEF=∠ECF，∵EF∥CD，∴∠DCE=∠CEF，∵在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（AAS），∴EG=DE=AD，則以AD為直徑的圓與BC相切．故命題正確；②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，設以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點，設圓與BC相切與點G，則連接EG，則EG⊥BC，且EG=ED．∵在Rt△DCE和Rt△GCE中，，∴Rt△DCE≌Rt△GCE（HL），∴CG=CD，同理，BG=AB，∴AB+CD=BC，取BC的中點，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，∴EF=（AB+CD）=BC，又∵若∠A=90°，則EF⊥AD，∴以BC為直徑的圓也與AD相切．故②正確；③需要∠A=90°，故錯誤．④由面積法，可得以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．正確．故正確的是：①②④．故選C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，切線的判定與性質，梯形的中位線的性質，正確作出輔助線是關鍵．9．【考點】切線的判定；作圖—復雜作圖．【專題】證明題．【分析】對于甲的作法，連結OB，如圖1，先判斷OP為⊙A的直徑，再根據圓周角定理得到∠OBP=90°，于是根據切線的判定定理得到PB為⊙O的切線；對于乙的作法：如圖2，通過證明△OAB≌△OCP得到∠OAB=∠OCP=90°，于是根據切線的判定定理得到PC為⊙O的切線．【解答】解：對于甲的作法：連結OB，如圖1，∵OA=AP，∴OP為⊙A的直徑，∴∠OBP=90°，∴OB⊥PB，∴PB為⊙O的切線，所以甲的說法正確；對于乙的作法：如圖2，∵MN⊥OP，∴∠OAB=90°，∵OA=AP，OB=OP，∴OB=OP，在△OAB和OCP中，∴△OAB≌△OCP，∴∠OAB=∠OCP=90°，∴OC⊥PC，∴PC為⊙O的切線，所以乙的說法正確．故選C．【點評】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了作圖﹣復雜作圖．二.填空題（共4小題）10．【考點】切線的判定．【專題】證明題．【分析】由PC=BC得到∠CPB=∠CBP，利用對頂角相等得∠APO=∠CPB，則∠CBP=∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO=90°，加上∠A=∠ABO，所以∠CBP+∠ABO=90°，于是根據切線的判定定理可得BC是⊙O的切線．【解答】證明：∵PC=BC，∴∠CPB=∠CBP，而∠APO=∠CPB，∴∠CBP=∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，而OA=OB，∴∠A=∠ABO，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．11．【考點】切線的判定．【專題】開放型．【分析】根據切線的判定方法知，能使BD成為切線的條件就是能使OD垂直于DE的條件，從所有的條件中找到一個即可．【解答】解：連接OD，當DE與圓相切時，ED⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∵AO=BO，∴D是BC的中點．故答案為：D是BC的中點．【點評】本題是一道典型的條件開放題，解決本類題目可以是將最終的結論當做條件，而答案就是使得條件成立的結論．12．【考點】切線的判定．【專題】開放型．【分析】根據切線的判定方法知，能使BC成為切線的條件就是能使AB垂直于BC的條件，進而得出答案即可．【解答】解：當△ABC為直角三角形時，即∠ABC=90°時，BC與圓相切，∵AB是⊙O的直徑，∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切線，（經過半徑外端，與半徑垂直的直線是圓的切線）．故答案為：∠ABC=90°．【點評】此題主要考查了切線的判定，本題是一道典型的條件開放題，解決本類題目可以是將最終的結論當做條件，而答案就是使得條件成立的結論．13．【考點】切線的判定；坐標與圖形性質；坐標與圖形變化-平移．【專題】計算題．【分析】先利用勾股定理計算出AB=5，作MD⊥AB于D，設⊙M的半徑為R，則OM=r，BM=4﹣r，根據切線的性質得MD=r，通過證明△BMD∽△BAO得到=，可求出解得r=，即OM=，接著在Rt△BOC中，利用∠BCO的正切可求出OC=，將⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′與BC相切，如圖，作M′E⊥x軸于E，M′F⊥BC于F，連結CM′，易得四邊形OMM′E為矩形，則MM′=OE，M′E=OM=，根據切線長定理得到∠ECM′=30°，在Rt△ECM′中，利用∠ECM′得正切可計算出CE=，則OE=CE﹣OC=，所以MM′=，即保持圓的大小不變，△ABC位置不變，將⊙M向右平移個單位，⊙M與BC相切．【解答】解：在Rt△OAB中，∵OA=3，OB=4，∴AB==5，作MD⊥AB于D，設⊙M的半徑為R，則OM=r，BM=4﹣r∵以M為圓心，MO為半徑作⊙M與BA相切，∴MD=r，∵∠MBD=∠ABO，∴△BMD∽△BAO，∴=，即=，解得r=，即OM=，在Rt△BOC中，∵tan∠BCO=，∴OC==，將⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′與BC相切，如圖，作M′E⊥x軸于E，M′F⊥BC于F，連結CM′，則四邊形OMM′E為矩形，MM′=OE，M′E=OM=，∵CA和CB都與⊙M′相切，∴M′C平分∠ECF，∴∠ECM′=30°，在Rt△ECM′中，∵tan∠ECM′=，∴CE==，∴OE=CE﹣OC=﹣=，∴MM′=，即保持圓的大小不變，△ABC位置不變，將⊙M向右平移個單位，⊙M與BC相切．故答案為．【點評】本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質和解直角三角形．三.解答題（共3小題）14．【考點】切線的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．【分析】（1）根據圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進而求得BC即可；（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．【解答】證明：（1）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中點，∴BC=2BD=4；（2）證明：連接OD．∵D是BC的中點，O是AB的中點，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切線．【點評】此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角