1

我們從導(dǎo)數(shù)與積分的角度研究解析函數(shù)均獲得成功．于是，我們自然會(huì)想從數(shù)學(xué)分析中選取別的研究角度如冪級(jí)數(shù)來討論解析函數(shù)．實(shí)踐證明，這種選擇是成功的．2第四章

復(fù)級(jí)數(shù)

首先介紹復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的概念和判別法，以及冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)。然后討論解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和羅倫級(jí)數(shù)展開定理及其展開式的求法，它們是研究解析函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算其積分的重要工具。3§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的收斂性及其判別法二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑四Δ、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)4復(fù)數(shù)序列就是：

這里是復(fù)常數(shù)，，該序列簡單記為。根據(jù)的有界性來定義的有界性。研究級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)，先從復(fù)數(shù)序列開始。一、復(fù)數(shù)序列的收斂性及其判別法：5定義1設(shè)一復(fù)常數(shù)，如果對(duì)任意，存在使得當(dāng)時(shí)，有則稱

極限是，或者收斂且收斂到

，記作

復(fù)數(shù)列的極限定理16定理2

復(fù)數(shù)序列收斂到的充分必要條件是：并且復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系7那末對(duì)于任意給定的能找到一個(gè)正整數(shù)使得當(dāng)證明：如果從而有即同理可證：8反之,如果，那么當(dāng)從而有該結(jié)論說明:

可將復(fù)數(shù)列的收斂性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂性.所以9解

(1)令，則，顯然，故當(dāng)，。例1

判別下列數(shù)列的收斂性和極限

（1）（2）（3）

(2)顯然當(dāng)時(shí)，，因此

(3)由于，并且發(fā)散，所以該數(shù)列發(fā)散。10

所謂通項(xiàng)為復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是

前n項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法11如果該部分和數(shù)列收斂到S，則稱上述復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且稱為該級(jí)數(shù)的和，記為

如果該部分和數(shù)列發(fā)散，則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散。級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念說明：與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:

1213復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系(定理3)

證明因?yàn)槎ɡ?14說明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題15解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)16級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理4

如果級(jí)數(shù)收斂，那么當(dāng)時(shí)，

17注意：條件，該條件只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，而不是充分的，比如級(jí)數(shù)

盡管通項(xiàng)，但是它是發(fā)散的。重要推論:不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?18

級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂：如果級(jí)數(shù)或收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)(定理5)

定理5

如果絕對(duì)收斂，那么收斂。19證明由于而根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性,知從而20說明所以綜上可得:2122例1

當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，并且例2

判別下列級(jí)數(shù)的收斂性

(2)(3)解(1)由不趨于零，故由推論得該級(jí)數(shù)發(fā)散。

(2),其絕對(duì)值級(jí)數(shù)的公比為，故該級(jí)數(shù)不僅收斂而且是絕對(duì)收斂。

(3)其實(shí)部級(jí)數(shù)為，虛部級(jí)數(shù)為23它們通項(xiàng)的絕對(duì)值當(dāng)n→∞時(shí)是單調(diào)下降，并且趨于零，故由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法知它們是收斂的，從而原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的。24例3故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解251.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的概念稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

稱為該級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的部分和.級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和三、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑26如果在上每一點(diǎn)，級(jí)數(shù)收斂(于)，則稱級(jí)數(shù)在上收斂(于），記為

稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)。27當(dāng)時(shí)，得到的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是一冪級(jí)數(shù)，即冪級(jí)數(shù)為其中z是復(fù)變數(shù)，系數(shù)是復(fù)常數(shù).28當(dāng)時(shí)，例冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)域?yàn)閧z:|z|<1}。

在一般情況下，級(jí)數(shù)是否存在一個(gè)圓

在該圓外部發(fā)散，而在內(nèi)部絕對(duì)收斂呢？29Abel第一定理定理6

如果冪級(jí)數(shù)在處收斂，那么對(duì)于滿足：的任何點(diǎn)z，此冪級(jí)數(shù)在該點(diǎn)不僅收斂，而且絕對(duì)收斂。推論

若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)z1發(fā)散，則它在滿足處發(fā)散．30證明因而存在正數(shù)M,

使對(duì)所有的n,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分請(qǐng)課后完成31收斂半徑與冪級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，作一實(shí)系數(shù)的冪級(jí)數(shù)：其中x為實(shí)數(shù)。定理7

設(shè)級(jí)數(shù)的收斂半徑為R,按照不同情況，有：（i）如果，那么當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；32（ii）如果，那么級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的每一點(diǎn)絕對(duì)收斂；（iii）如果，那么級(jí)數(shù)在復(fù)平面上除去外每點(diǎn)均發(fā)散。33

在定理7的情況（i）中，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能發(fā)散，也可能收斂。定理7中的數(shù)稱為級(jí)數(shù)的收斂半徑。稱為它的收斂圓盤。求級(jí)數(shù)的收斂半徑歸結(jié)為求級(jí)數(shù)的收斂半徑。34

定理8

如果下列條件之一成立，那么當(dāng)0<l<+∞時(shí)，級(jí)數(shù)的收斂半徑當(dāng)l=0，R=+∞；當(dāng)l=+∞時(shí)，R=0。注(1)(2)

(3)35解答練習(xí)試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.36收斂圓與收斂半徑由Abel定理:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂.例如,級(jí)數(shù)對(duì)任意給定的

x,則從某個(gè)n開始,有于是該級(jí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)

x均收斂.該級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂.對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)

對(duì)所有的正實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)都收斂.37此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.例如,級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零,如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).38..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域...39

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是因此，事實(shí)上，在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.問題：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?40例題求收斂域常應(yīng)用到的方法——變量替換法。例1

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂圓及其收斂區(qū)域。（1）（2）解（1）令，則由于41得其收斂域?yàn)?lt;1,即它的收斂圓域是而且在收斂的圓周上處處發(fā)散的。容易發(fā)生的錯(cuò)誤：令cn=(2+i)n，而得42（2）令，則得由定理8可求出：上式右端級(jí)數(shù)的收斂半徑，并且在的內(nèi)部是絕對(duì)收斂的，因此原級(jí)數(shù)在時(shí)是絕對(duì)收斂的，而在時(shí)是發(fā)散的。另外，由于是收斂的，因此當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。43四.冪和函數(shù)在收斂圓盤內(nèi)解析

由以上討論知道，對(duì)于級(jí)數(shù)，總有一個(gè)收斂圓(或者僅僅為圓心點(diǎn))存在，使得級(jí)數(shù)在此圓內(nèi)收斂，那么其和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是否解析呢？44定理9

設(shè)冪級(jí)數(shù)有收斂圓盤

,那么冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在內(nèi)解析，并且可以微分任意多次，即上面右端級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R。證明：略。45

定理10

設(shè)冪級(jí)數(shù)有收斂圓盤

,那么在內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)可以逐項(xiàng)積分任意多次，并且每次積分所得到的新級(jí)數(shù)的收斂半徑為即證明：略。46

為了證明有關(guān)定理，首先介紹下面兩個(gè)引理一、有關(guān)逐項(xiàng)積分的兩個(gè)引理引理1（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分）設(shè)函數(shù)和沿曲線可積，且在上處處有如果存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)使得在上有那么

§2泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)47證明：由于收斂，因此當(dāng)時(shí)，必有于是設(shè)曲線的長度為，當(dāng)時(shí)，有這就證明了該引理。48引理2

若在正向圓周上連續(xù)，則（1）對(duì)該圓內(nèi)任一點(diǎn)z有

(2）對(duì)該圓外任一點(diǎn)z有49證明：（1）令，由于，因此由等比級(jí)數(shù)的求和公式得：對(duì)任意滿足的點(diǎn)成立。由引理1，只須對(duì)最后所得的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)找出滿足引理?xiàng)l件的正項(xiàng)級(jí)數(shù)A0+A1+…

+An+…，然后逐項(xiàng)積分就可得到所證結(jié)果。50

事實(shí)上，由函數(shù)f(ξ)的連續(xù)性，可設(shè)|f(ξ)|在圓周|ξ-z0|=r上的上界為正數(shù)M，則對(duì)于固定的點(diǎn)z，在該圓周上處處有而是收斂的，故所證等式成立。51（2）當(dāng)z

在圓周外時(shí)，顯然對(duì)圓周上的點(diǎn)成立。這時(shí)有同樣由引理1可得所證等式。52二.解析函數(shù)的Taylor展開定理定理1

設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤內(nèi)解析，那么在U內(nèi)有證明：設(shè)。以為中心在內(nèi)作一圓，使得

z屬于其內(nèi)部，此時(shí)由柯西積分公式有又因在C上解析，也一定連續(xù)，所以由引理2的結(jié)論（1）得53由于z是U內(nèi)的任意一點(diǎn)，證畢。注定理1中的冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0的Taylor級(jí)數(shù)展開式，可以寫為其中cn為展開式的Taylor系數(shù)，可表示為54定理2

函數(shù)在解析的充分必要條件是它在的某個(gè)鄰域有冪級(jí)數(shù)展開式。系1

冪級(jí)數(shù)就是它的和函數(shù)在收斂圓盤中的Taylor展開式，即系2(冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性)在定理1中，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(z)在收斂圓盤U內(nèi)不可能有另一冪級(jí)數(shù)展開式。55三.初等函數(shù)的泰勒展開式1

直接展開法：先求出，然后應(yīng)用泰勒定理寫出泰勒級(jí)數(shù)及其收斂半徑。指數(shù)函數(shù)在處的泰勒（Taylor）展開式下列函數(shù)在處的泰勒展開式56

為實(shí)常數(shù)當(dāng)時(shí)，上式只有有限項(xiàng)，并且是在整個(gè)復(fù)平面上成立。

57間接展開法：它是根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)展開式的唯一性給出的。在這里指從上面6個(gè)初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式出發(fā)，利用冪級(jí)數(shù)的變量替換，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分和四則運(yùn)算等求出其出泰勒級(jí)數(shù)及其收斂半徑。如：應(yīng)用，令，得58例題例1

求下列函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑。（1）（2）（3）（4）解（1）在處為唯一的奇點(diǎn)，并且當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑為|z1-z0|=|0-i|=1，從而在|z-i|<1時(shí)有令應(yīng)用展開式(6)可得：59（2）同理可得其在處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑為1。由于,應(yīng)用展開式（3）得所以當(dāng)時(shí)60（3）由于在整個(gè)復(fù)平面上解析，故其收斂半徑為，從而應(yīng)用展開式（2)(4)得用直接法也簡單，注意到61（4），其Taylor級(jí)數(shù)收斂半徑為1，從而在處的泰勒級(jí)數(shù)展開式兩端同乘以即可得到在處的泰勒級(jí)數(shù)展開式：注意：顯然不必要將寫成的多項(xiàng)式再來求在處的泰勒級(jí)數(shù)展開式。62解因?yàn)槭强稍?/p>

內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，有

例2

試將在點(diǎn)展成泰勒級(jí)數(shù)。

的唯一有限奇點(diǎn)，所以63小結(jié)泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)的形式？冪級(jí)數(shù)為其中z是復(fù)變數(shù)，系數(shù)是復(fù)常數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)在收斂半徑為R的收斂圓內(nèi)表示了一個(gè)解析函數(shù)；

如果函數(shù)在半徑為R的圓內(nèi)解析，則它可在該圓內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)。64§3羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)

本節(jié)主要討論函數(shù)在環(huán)域r<|z-z0|<R內(nèi)的級(jí)數(shù)展開問題，并且討論它在積分計(jì)算中的應(yīng)用，這里r可以為0，而R可以為+∞，并且稱環(huán)域r<|z-z0|<+∞為點(diǎn)∞的鄰域。65問題的引入上節(jié)研究了如下的冪級(jí)數(shù)：對(duì)于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)從數(shù)學(xué)研究的角度，應(yīng)該可以取具有負(fù)冪的：66負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分我們開始研究這一問題同時(shí)收斂Laurent級(jí)數(shù)收斂67收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分R68結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...69一、解析函數(shù)的羅朗展開定理

先考慮級(jí)數(shù)其中是復(fù)常數(shù)。級(jí)數(shù)可以看作是變量的冪級(jí)數(shù),設(shè)該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，

(1）如果，那么當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）如果，那么級(jí)數(shù)在絕對(duì)收斂；（3）如果，那么級(jí)數(shù)在復(fù)平面上每點(diǎn)均發(fā)散。70

更一般地考慮級(jí)數(shù)其中是復(fù)常數(shù)。當(dāng)級(jí)數(shù)

都收斂時(shí)，我們稱級(jí)數(shù)（3.2）收斂,并且它的和函數(shù)為(3.3）中兩個(gè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)相加。71

設(shè)（3.3）中第一個(gè)級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂，第二個(gè)級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂。若，那么（3.2）在圓環(huán)內(nèi)絕對(duì)收斂，且它的和函數(shù)是解析的。

級(jí)數(shù)（3.2）稱為羅朗級(jí)數(shù).72定理1

設(shè)函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，那么在D內(nèi)有其中是圓，是一個(gè)滿足的任何數(shù)。73證明：在圓環(huán)D內(nèi)任意取定一點(diǎn)z，然后在D內(nèi)作圓環(huán)使得,這里，用C1及C2

分別來表示圓及。RrD>r1R174由于f(z)在閉圓環(huán)上解析，由Cauchy積分公式得75由Taylor定理證明中的引理2（1）

若在正向圓周上連續(xù)，則對(duì)該圓內(nèi)一點(diǎn)z有DRr<R176由Taylor定理證明中的引理2（2）

若在正向圓周上連續(xù)，則對(duì)該圓外一點(diǎn)z有RrD77由于在圓環(huán)內(nèi)解析由復(fù)連通區(qū)域的Cauchy積分定理可知：中的積分路徑和可以改為圓，于是得到證畢。><RrDr1<R178級(jí)數(shù)(3.4)中，稱為該級(jí)數(shù)的解析部分，而稱為該級(jí)數(shù)的主要部分。級(jí)數(shù)(3.4)稱為在圓環(huán)D內(nèi)的羅朗展開式。注意：由于在圓所圍區(qū)域可能有f(z)的奇點(diǎn)，因此，不能用Cauchy公式把系數(shù)記為：

79

二、羅朗級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理2

若函數(shù)在圓環(huán)D:內(nèi)解析，則該函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)展開式在D內(nèi)處處絕對(duì)收斂、可以逐項(xiàng)微分和積分，其積分路徑為D內(nèi)的任何簡單閉路，并且其展開式的系數(shù)是唯一的，即它的各項(xiàng)系數(shù)一定可以表示為式的形式。

證明：略（見書112頁）。80三、函數(shù)的Laurent展開式理論上應(yīng)該有兩種方法:直接法與間接法

(1)直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫出這種方法只有在找不到更好方法時(shí)才用。81根據(jù)解析函數(shù)Laurent級(jí)數(shù)展開式的唯一性,

從已知的初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)出發(fā)，利用變量替換，泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分或者積分運(yùn)算等來求得所給函數(shù)f(z)在環(huán)域D的羅朗展開式.(2)

間接展開法這一方法成為Laurent級(jí)數(shù)展開的常用方法。

82例及在內(nèi)的羅朗展開式。例

在內(nèi)的羅朗展開式解：此時(shí)用sinz

的Taylor展式83例都不解析,而在圓環(huán)域及內(nèi)都解析.84也可以展開成級(jí)數(shù)：85給定函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式回答：不矛盾

.Laurent展開式是唯一的.問題：這與laurent展開式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性

:指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的(包括Taylor展開式作為其特例).86四、典型例題例1解由已知函數(shù)的展開式可以直接得到87例2

內(nèi)解析,把

f(z)