運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)量、動(dòng)量定理功與能動(dòng)量矩(角動(dòng)量）定理有心力問(wèn)題碰撞曲線的功合力所做的功等于分力所做功的代數(shù)和。內(nèi)積(標(biāo)量積)功（1）平面直角坐標(biāo)系xyOxr0r1yFrs0s1Fs不同坐標(biāo)系里的功（2）平面“自然”坐標(biāo)系功的性質(zhì)(1)功是過(guò)程量，一般與路徑有關(guān)。(2)功是標(biāo)量，但有正負(fù)。

(3)

合力的功為各分力的功的代數(shù)和。引力的功

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在萬(wàn)有引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以M所在處為原點(diǎn),

M指向m的方向?yàn)槭笍絩的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。m在M的萬(wàn)有引力的作用下從a

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，萬(wàn)有引力的功:

與路徑無(wú)關(guān)Example:質(zhì)量為M、m的兩球原來(lái)相距為a，在萬(wàn)有引力作用下逐漸靠近至相距為b，求在此過(guò)程中引力所作的功。abSolutionI:

InFrameMMmabCr1r2SolutionII:

Re.centerofmassM:m:M:m:各個(gè)力的功與參考系有關(guān)，但一對(duì)力的功與參考系的選擇無(wú)關(guān)。質(zhì)心系里，內(nèi)力的功與質(zhì)量成反比。對(duì)小質(zhì)量物體作功占主要地位。引力的功只與物體系統(tǒng)的初始和最終相對(duì)位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。

保守力做功勢(shì)能GravitationalpotentialenergyElasticpotentialenergy關(guān)于勢(shì)能：勢(shì)能總是與保守力相聯(lián)系。存在若干種保守力時(shí)，就可引進(jìn)若干種勢(shì)能。勢(shì)能的絕對(duì)數(shù)值與零勢(shì)能位形的選取有關(guān)，但勢(shì)能的差與之無(wú)關(guān)。不同保守力對(duì)應(yīng)的勢(shì)能，其零勢(shì)能位形的選取可以不同。(3)勢(shì)能既然與各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的保守力相聯(lián)系，因而為體系所共有。(4)與勢(shì)能相聯(lián)系的是保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所作的總功，與參考系無(wú)關(guān)。

(2)勢(shì)能保守力梯度：例（P221）：質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在環(huán)繞地球的圓軌道上,軌道半徑為,求衛(wèi)星的勢(shì)能\動(dòng)能和機(jī)械能.(不計(jì)空氣阻力)（1）勢(shì)能（2）動(dòng)能RO

動(dòng)量、動(dòng)量定理動(dòng)量:沖量I:由牛頓第二定律：動(dòng)量定理的微分形式動(dòng)量定理的積分形式例

如圖所示，一質(zhì)量為m的小球在兩個(gè)壁面以速度vo來(lái)回彈跳，碰撞是完全彈性的，忽略重力貢獻(xiàn)。（1）求每個(gè)壁所受的平均作用力F，（2）如果一個(gè)壁表面以v<<vo的速率慢慢地移向另一個(gè)表面，則回跳頻率由于碰撞間距離的減少以及球從運(yùn)動(dòng)的表面碰回時(shí)，小球的速率增大而增加，求出用表面的距離x來(lái)表示的力F。（3）證明：把表面從距離l推近到距離x時(shí)所做的功等于球的動(dòng)能的增加。mv0vlx（1）因?yàn)槭峭耆珡椥耘鲎玻∏蚍磸椀乃俣冗€是vo，所以小球每一次與壁面碰撞動(dòng)量的變化是2mvo,即單次碰撞墻壁受到的沖量為2mvo，單位時(shí)間內(nèi)的碰撞次數(shù)（碰撞頻率）為f=vo/2l,單位時(shí)間墻壁受到的總沖量即是墻壁受到的平均作用力，所以

(2)設(shè)兩個(gè)壁面之間距離為x時(shí)小球的速度為u,與上一問(wèn)類似，碰撞頻率為f=u/2x，每一次碰撞墻壁受到的沖量為2mu，所以求兩壁之間距離為x時(shí)的速度u。小球與壁面相繼兩次碰撞的時(shí)間間隔為

每一次碰撞速度的增量為2ｖ小球速度的速度增加率積分得利用以上結(jié)論還容易證明，把表面從距離l推近到距離x時(shí)所做的功等于球的動(dòng)能的增加例．在水平桌面上有一卷質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的鏈條，其一端用手以恒速v豎直向上提起（如圖所示），當(dāng)提起的長(zhǎng)度為x時(shí)，(1)求手的提力為多少？做功多少？(2)鏈條獲得的機(jī)械能為多少？(3)比較以上功與機(jī)械能變化是否相等，你能解釋嗎？vx解:取提起的這一段鏈條為研究對(duì)象，它受到的合力為手的提力與這一段自身的重力之和，即

鏈條在dt時(shí)間內(nèi)，一段長(zhǎng)度為dx=vdt的鏈條由靜止加速到v，其動(dòng)量的增量為

該力做功為（2）鏈條獲得的機(jī)械能為動(dòng)能和勢(shì)能之和（3）功與機(jī)械能變化的差是用功能原理來(lái)求力得不到正確結(jié)果!

碰撞Collisions（1-D）對(duì)心碰撞（正碰）（兩球的相對(duì)速度沿球心聯(lián)線）

m1u1m2u2(u1>u2)

動(dòng)量守恒原理碰撞前碰撞后

碰撞過(guò)程壓縮階段恢復(fù)階段

恢復(fù)系數(shù)

0<=e<=1完全彈性碰撞完全非彈性碰撞約化質(zhì)量

動(dòng)能

相等

不相等

動(dòng)量守恒原理+恢復(fù)系數(shù)的定義研究對(duì)心碰撞問(wèn)題的兩個(gè)基本方程式質(zhì)心的速度m1=m2的完全彈性碰撞交換速度練習(xí)：試在質(zhì)心系中求解對(duì)心碰撞兩體問(wèn)題的動(dòng)能AboutkineticenergyBeforecollision：Aftercollision：Relativevelocity,aftercollisionTherefore：e=1,T=0;e<1,T<0資用能：availableenergy,

對(duì)撞機(jī)角動(dòng)量

與角動(dòng)量守恒

勻速直線運(yùn)動(dòng)的

一個(gè)守恒量掠面速度:Arealvelocity掠面速度：位矢r在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積。推廣到有心力！掠面速度Cc//SB，所以三角形SBC與SBc等高有心力作用下掠面速度相等。牛頓的推理：???有心力作用下什么守恒？

守恒量m定義：動(dòng)量矩角動(dòng)量mmMomentofinertia轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)論：有心力作用下掠面速度相等，故角動(dòng)量守恒。動(dòng)量矩(角動(dòng)量）定理

質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩等于對(duì)軸上任意一點(diǎn)的動(dòng)量矩在該軸上的投影。

關(guān)于軸線的動(dòng)量矩zApypxBpCSyyxxzAFyFxBFCSyyxx

直角坐標(biāo)系力對(duì)線的力矩

極坐標(biāo)系FFBAFCS

力對(duì)參考點(diǎn)o的力矩M：受力質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于o點(diǎn)的位置矢量r與力F矢量的矢積。AFMroSM=Frsin力對(duì)于參考點(diǎn)的力矩力對(duì)軸上任意一點(diǎn)力矩在該軸上的投影等于力對(duì)該軸的力矩。動(dòng)量矩(角動(dòng)量）定理—平面運(yùn)動(dòng)可以變化

直角坐標(biāo)：請(qǐng)自己證明：動(dòng)量矩(角動(dòng)量）守恒

若作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)參考點(diǎn)o的力矩之和保持為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩不變。演示：直升飛機(jī)開(kāi)普勒第二定律對(duì)任一個(gè)行星說(shuō)，它的徑矢在相等的時(shí)內(nèi)掃過(guò)相等的面積。=0動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)o的動(dòng)量矩的時(shí)間變化率就等于質(zhì)點(diǎn)所受力對(duì)于o點(diǎn)的力矩。

關(guān)于點(diǎn)的動(dòng)量矩定理運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受力的作用線始終通過(guò)某個(gè)定點(diǎn)。

作用力——有心力，定點(diǎn)——力心在有心力作用下，質(zhì)點(diǎn)在通過(guò)力心的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。有心力有心力問(wèn)題的基本方程

以力心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系兩個(gè)基本方程動(dòng)量矩守恒原理機(jī)械能守恒原理有心力為保守力TheLawsofPlanetaryMotion

Kepler‘sFirstLaw:

行星沿橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

Kepler'sSecondLaw:對(duì)任一個(gè)行星說(shuō)，它的徑矢在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。動(dòng)量矩守恒Kepler'sThirdLaw:

行星繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道半長(zhǎng)軸a的立方與周期T的平方成正比T2/a3=K引力與距離平方成反比例題：人造衛(wèi)星沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)離地心的距離為r1,遠(yuǎn)地點(diǎn)離地心的距離為r2,地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，求：（1）衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度；（2）衛(wèi)星的總機(jī)械能。

試導(dǎo)出開(kāi)普勒第三定律！IPhO11-1一質(zhì)量為m=12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h=100km。為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在X點(diǎn)作一次短時(shí)間發(fā)動(dòng)。從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u=10000m/s，月球半徑R=1700km,月球表面的重力加速度為g=1.7m/s2。飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖）（1）到達(dá)月球上A點(diǎn)，該點(diǎn)正好與X點(diǎn)相對(duì)；（2）在X點(diǎn)給一指向月球中心的動(dòng)量后，與月球表面相切于B點(diǎn)。試計(jì)算上述兩種情形下所需要的燃料量。分析：畫(huà)出兩種情形的完整軌道。用能量判斷軌道：是否橢圓？哪一種情形燃料更多？飛船被加速還是減速了。xAAxAB圓軌道速度（1）XA之間距離即新軌道長(zhǎng)軸為2R+h，能量原軌道長(zhǎng)軸為2(R+h),能量為在X點(diǎn)需要改變的動(dòng)能：在X點(diǎn)需要改變的動(dòng)能：（2）

相圖

（分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的圖解）例：光滑桌面上的彈簧振子。（質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k）作（1）V勢(shì)x曲線，（2）v速度x曲線，并討論其運(yùn)動(dòng)情況。mxxoxV3E2EE0xov例：研究擺長(zhǎng)l為的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)。作(1)V重力勢(shì)曲線，(2)曲線，并討論其運(yùn)動(dòng)情況。（細(xì)桿質(zhì)量忽略，近似為單擺）O法向切向NmglSxoxH1.00.102.03.0-例（P215）：半徑為R的圓環(huán)狀細(xì)管在水平面內(nèi)以勻角速繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。管的內(nèi)壁是光滑的。求解質(zhì)點(diǎn)M在其相對(duì)平衡位置附近作小振動(dòng)的周期，及約束反力。2mv’ONABMm2r求解及分析在平衡點(diǎn)B周?chē)餍≌駝?dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，僅慣性離心力(保守力）做功，重力、約束反力、科氏力不做功。根據(jù)機(jī)械能守恒原理IPhO14-1一質(zhì)點(diǎn)沿正半軸OX運(yùn)動(dòng)，作用在質(zhì)點(diǎn)上有一個(gè)力F(x)=-10N。

在原點(diǎn)有一完全反射的墻。同時(shí)，摩擦力f=1.0N也作用在質(zhì)點(diǎn)上。質(zhì)點(diǎn)以E0=10J的動(dòng)能從x0＝1.0m出發(fā)。（1）確定質(zhì)點(diǎn)在最終靜止前所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)度，（2）畫(huà)出質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F中的勢(shì)能圖，（3）描繪出作為x函數(shù)的速度的定性圖。(1)類似于有阻力的自由落體，向上時(shí)加速度為11，下落時(shí)加速度為9，落回地面后又彈起。所以直到在原點(diǎn)速度為零才會(huì)靜止。F是保守力，所以

fS=E0+|F|x0S=20m.(2)Ep=|F|x+c

向上時(shí)加速度為11，下落時(shí)加速度為9

（半個(gè)收縮的螺線）兩球碰撞的角動(dòng)量守恒v2oHm2m1r2r1v1?(rv)P=mvmROL思考題：圓錐擺的角動(dòng)量是否守恒？第一種解釋：關(guān)于轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒！第二種解釋：關(guān)于O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)L、M與角速度三者方向不同角動(dòng)量不守恒！LrP=mvROM練習(xí)：試用角動(dòng)量定理求解圓錐擺的運(yùn)動(dòng)周期。rmP=mvRO（1）m關(guān)于轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)情況L與角速度同方向（2）m關(guān)于O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況L、M與角速度三者方向不同rP=mvROLMdL=Mdt解角動(dòng)量定理：進(jìn)動(dòng)iii)

有效勢(shì)能

極徑的微分方程

定義有效勢(shì)能慣性離心力勢(shì)能O能量

行星運(yùn)動(dòng)

行星徑向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能

行星運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)由總能量E來(lái)決定。

行星運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)由總能量E來(lái)決定。

1.E>0,雙曲線軌道（無(wú)界）；

2.E=0,拋物線軌道（無(wú)界）；

3.Vmin<E<0,橢圓軌道（有界）；

4.