角的推廣【教學(xué)目標(biāo)】1.了解角的概念的推廣，能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角．(一般)2.理解象限角的概念．(重點(diǎn))3.掌握終邊相同的角的表示方法，并能判斷角所在的位置．(難點(diǎn))【核心素養(yǎng)】1.通過(guò)角的概念的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．2.借助終邊相同角的求解、象限角的判斷等，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)【教學(xué)重難點(diǎn)】理解象限角的概念．(重點(diǎn))掌握終邊相同的角的表示方法，并能判斷角所在的位置．(難點(diǎn))【教學(xué)過(guò)程】新知探究1.角的概念(1)角：一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形稱(chēng)為角．這兩條射線分別稱(chēng)為角的始邊和終邊．由于是旋轉(zhuǎn)生成的，也稱(chēng)為轉(zhuǎn)角．(2)角的分類(lèi)：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類(lèi)：類(lèi)型定義圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而形成的角零角一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，稱(chēng)它形成了一個(gè)零角2.角的加減法運(yùn)算引入正角、負(fù)角的概念以后，角的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算，即α－β可以化為α＋(－β)．這就是說(shuō)，各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和．3.象限角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．4．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝α＋k·360°，k∈Z))，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．思考：終邊和始邊重合的角一定是零角嗎？[提示]不一定．零角是終邊和始邊重合的角，但終邊和始邊重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的終邊和始邊也重合．小試身手1.鐘表的分針在一個(gè)半小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)了()A．180°B．－180°C．540°D．－540°D[鐘表的分針是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)過(guò)－360°，當(dāng)分針轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)半小時(shí)時(shí)，它轉(zhuǎn)了－540°.]2.下列各角中，與330°角的終邊相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°D[與330°終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，當(dāng)k＝－2時(shí)，β＝330°－720°＝－390°，故選D．]3.下列說(shuō)法：①第一象限角一定不是負(fù)角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中錯(cuò)誤的序號(hào)為_(kāi)_______．(把錯(cuò)誤的序號(hào)都寫(xiě)上)①②③④[由象限角定義可知①②③④都不正確．]【例1】(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．(A∩C)＝B D．(B∪C)?C(2)設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90°的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90°的正角}，則下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D[思路探究]利用角的概念進(jìn)行判斷．(1)D(2)D[(1)第一象限角可表示為k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；銳角可表示為0°<β<90°；小于90°的角可表示為γ<90°；由三者之間的關(guān)系可知，選D．(2)直接根據(jù)角的分類(lèi)進(jìn)行求解，容易得到答案．]1.判斷角的概念問(wèn)題的關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．2.在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．1.有下列說(shuō)法：①相差360°整數(shù)倍的兩個(gè)角，其終邊不一定相同；②終邊相同的角一定相等；③終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)角α，β之和為k·360°，(k∈Z)．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是________．③[①不正確．終邊相同的兩個(gè)角一定相差360°的整數(shù)倍，反之也成立；②不正確．由①可知終邊相同的兩個(gè)角一定相差k·360°，(k∈Z)；③正確．因?yàn)榻K邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)角，當(dāng)α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)時(shí)α＋β＝0°，當(dāng)α，β為任意角時(shí)，α＋β＝k·360°(k∈Z)．]【例2】(1)如圖，終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合是()A．{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z}C．{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°，k∈Z}(2)已知角β的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，試指出角β的取值范圍．[思路探究]eq\x(\s\up(找出0°～360°內(nèi)陰,,影部分的角的集合))eq\o(→,\s\up16(＋k·360°),\s\do12(k∈Z))eq\x(\s\up(適合題意的,,角的集合))(1)C[在0°～360°內(nèi)落在陰影部分角的范圍為大于150°而小于225°，所以終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}．](2)[解]陰影在x軸上方部分的角的集合為：A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}．陰影在x軸下方部分的角的集合為：B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}．所以陰影部分內(nèi)角β的取值范圍是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}．其中B可以化為：{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}．即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．集合A可以化為：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．故A∪B可化為{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大的順序分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：扇形區(qū)域起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上k·360°，即得區(qū)間角集合．對(duì)頂區(qū)域，始邊、終邊再加上k·180°即得區(qū)間角集合．(k∈Z)．2.寫(xiě)出圖中陰影部分(不含邊界)表示的角的集合．[解]在－180°～180°內(nèi)落在陰影部分角的集合為大于－45°小于45°，所以終邊落在陰影部分(不含邊界)的角的集合為{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.[探究問(wèn)題]1.由α所在象限如何求eq\f(α,k)(k∈N*)所在象限？[提示](1)代數(shù)推導(dǎo)法：先表示為角α所在的象限范圍，再求出eq\f(α,k)所在的范圍，進(jìn)一步由k值確定．如：當(dāng)角α在第二象限時(shí)，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，則30°＋k·120°<eq\f(α,3)<60°＋k·120°，k∈Z，所以eq\f(α,3)在第一、二、四象限．(2)等分象限法：將各象限k等分，從x軸正半軸開(kāi)始逆時(shí)針?lè)较蛞来螛?biāo)注1,2,3,4，循環(huán)下去，直到填滿(mǎn)為止，則當(dāng)α在第n象限時(shí)，eq\f(α,k)就在n號(hào)區(qū)域．例如：當(dāng)角α在第二象限時(shí)，eq\f(α,2)在圖k＝2時(shí)的2號(hào)區(qū)域，eq\f(α,3)在圖k＝3時(shí)的2號(hào)區(qū)域．但此規(guī)律有局限性，如在已知角α的范圍求角2α的范圍時(shí)上述規(guī)律就不好用了，所以還應(yīng)該掌握求范圍的一般方法．2.若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？[提示](1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(2)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.【例3】(1)若α是第四象限角，則180°－α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)已知α為第二象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限角？[思路探究](1)可通過(guò)寫(xiě)出α的取值范圍，逐步求得180°－α范圍來(lái)求解；(2)由α的范圍寫(xiě)出2α，eq\f(α,2)的范圍后，直接求得2α的范圍，然后分k為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況確定eq\f(α,2)的位置．(1)C[因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，則角α應(yīng)滿(mǎn)足：k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z，所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，則－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，180°<180°－α<270°，故180°－α為第三象限角．](2)[解]∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，∴2α是第三或第四象限角，或是終邊落在y軸的非正半軸上的角．同理45°＋eq\f(k,2)·360°<eq\f(α,2)<90°＋eq\f(k,2)·360°.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，不妨令k＝2n，n∈Z，則45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°，此時(shí)，eq\f(α,2)為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1，n∈Z，則225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°，此時(shí)，eq\f(α,2)為第三象限角．∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角．(變結(jié)論)本例(2)中條件不變，試判斷eq\f(α,3)是第幾象限角？[解]∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°<eq\f(α,3)<60°＋k·120°，k∈Z.當(dāng)k＝3n，n∈Z時(shí)，30°＋n·360°<eq\f(α,3)<60°＋n·360°，n∈Z，此時(shí)eq\f(α,3)為第一象限角；當(dāng)k＝3n＋1，n∈Z時(shí)，150°＋n·360°<eq\f(α,3)<180°＋n·360°，n∈Z，此時(shí)eq\f(α,3)為第二象限角；當(dāng)k＝3n＋2，n∈Z時(shí)，270°＋n·360°<eq\f(α,3)<300°＋n·360°，n∈Z，此時(shí)eq\f(α,3)為第四象限角．∴eq\f(α,3)為第一、第二或第四象限角．解決此類(lèi)問(wèn)題，要先確定α的范圍，進(jìn)一步確定出nα或\f(α,n)的范圍，再根據(jù)k與n的關(guān)系進(jìn)行討論.課堂小結(jié)1.終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合表示角α的終邊位置角α的集合表示在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}3.對(duì)終邊相同的角的說(shuō)明所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在運(yùn)用時(shí)，需注意以下三點(diǎn)：①k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°與α之間用“＋”號(hào)連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).課堂練習(xí)1.以下說(shuō)法正確的是()A．若α是第一象限角，則2α是第二象限角B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，則A?BC．若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，則α為第一或第二象限角D．終邊在x軸上的角可表示為k·360°(k∈Z)B[對(duì)于選項(xiàng)B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A?B，故選B．]2.已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，則有()A．M＝N B．NMC．MN D．M∩N＝C[由于k·90°(k∈Z)表示終邊在x軸或y軸上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示終邊落在y＝x或y＝－x上的角．(如圖(1))又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示終邊落在x軸、y軸、直線y＝±x8個(gè)位置上的角(如圖(2))，因而MN，故正確答案為C．]3.若角α與角β終邊相同，則α－β＝________.k·360°(k∈Z)[根據(jù)終邊相同角的定義