§2.4函數(shù)的奇偶性與周期性

考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考2.4函數(shù)的奇偶性與周期性雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考1．函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)梳理奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有___________，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱奇函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有_____________，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于____對(duì)稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點(diǎn)2.函數(shù)的周期性(1)周期的定義一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有____________，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為函數(shù)f(x)的周期．(2)最小正周期對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的____________．f(x＋T)＝f(x)最小正周期思考感悟1．奇、偶函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？提示：奇、偶函數(shù)的定義域在數(shù)軸上都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．2．存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎？提示：存在，f(x)＝0(x∈R)．1．(教材例4改編)設(shè)f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，則y＝f(x)·g(x)是(

)A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．非奇非偶函數(shù)答案：A課前熱身答案：A答案：A5．f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，則f(3)＝__________.答案：0首先先判判定定函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域．．定定義義域域關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱是是函函數(shù)數(shù)存存在在奇奇偶偶性性的的必必要要條條件件，，再再判判定定函函數(shù)數(shù)f(x)是否否滿滿足足奇奇偶偶性性的的定定義義或或者者圖圖象象特特征征，，對(duì)對(duì)于于分分段段函函數(shù)數(shù)要要逐逐段段討討論論．．參參考考小小結(jié)結(jié)與與復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)例例3.考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判定考點(diǎn)突破例1【思路路分分析析】可從從定定義義域域入入手手，，在在定定義義域域關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱情情況況下下，，考考查查f(－x)與f(x)的關(guān)關(guān)系系．．【誤區(qū)區(qū)警警示示】對(duì)于于(1)只代代入入－－x而得得出出偶偶函函數(shù)數(shù)結(jié)結(jié)論論，，對(duì)對(duì)于于(2)易丟丟掉掉定定義義域域，，對(duì)對(duì)于于(3)只判判斷斷一一部部分分．．函數(shù)數(shù)的的周周期期性性是是指指函函數(shù)數(shù)的的重重復(fù)復(fù)性性變變化化，，是是對(duì)對(duì)于于定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的所所有有自自變變量量x來說的的，不不是指指某幾幾個(gè)特特定的的自變變量，，若T是它的的一個(gè)個(gè)周期期，則則nT(n∈Z，n≠0)也是該該函數(shù)數(shù)的一一個(gè)周周期．．考點(diǎn)二函數(shù)的周期性設(shè)f(x)是定義義在R上的奇奇函數(shù)數(shù)，且且對(duì)任任意實(shí)實(shí)數(shù)x恒滿足足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求f(0)的值，，f(2)的值．．(2)證明f(x)是周期期函數(shù)數(shù)，并并求最最小正正周期期．【思路流流程】(1)x＝0→f(0)→f(2)；(2)f(x＋4)→→f(x＋2)→→T.例2【解】(1)∵f(x)是定義義在R上的奇奇函數(shù)數(shù)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x＝0時(shí)，f(2)＝－f(0)＝0.(2)證明：：由f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期期為4的周期期函數(shù)數(shù)．互動(dòng)探探究1在本例例中條條件不不變，，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2.當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求求f(x)的解析析式．．有關(guān)函函數(shù)問問題，，要充充分考考慮到到它的的所有有性質(zhì)質(zhì)：定定義域域、值值域，，最值值、奇奇偶性性、單單調(diào)性性、周周期性性、并并結(jié)合合圖象象綜合合運(yùn)用用．考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3【思路分分析】(1)x1＝x2＝1→f(1)；(2)令x1＝－1→f(－x)＝f(x)；(3)x＝1對(duì)稱→f(x)＝f(2－x)→f(x)＝f(2＋x)．方法技技巧1．奇、、偶函函數(shù)的的性質(zhì)質(zhì)(1)設(shè)函數(shù)數(shù)f(x)，g(x)的定義義域分分別是是D1，D2，那么么在它它們公公共定定義域域上有有：當(dāng)當(dāng)f(x)，g(x)均為奇奇函數(shù)數(shù)時(shí)，，f(x)＋g(x)是奇函函數(shù)，，f(x)·g(x)是偶函函數(shù)；；當(dāng)f(x)，g(x)均為偶偶函數(shù)數(shù)時(shí)，，f(x)＋g(x)是偶函函數(shù)，，f(x)·g(x)是偶函函數(shù)；；奇函函數(shù)的的反函函數(shù)也也是奇奇函數(shù)數(shù)．如如課前前熱身身1、2.方法感悟(2)若f(x)是偶函函數(shù)??f(x)＝f(|x|)；若奇奇函數(shù)數(shù)f(x)的定義義域內(nèi)內(nèi)含有有數(shù)0，則必必有f(0)＝0.如例2.(3)若函數(shù)數(shù)f(x)為奇函函數(shù)，，在[a，b]上為增增函數(shù)數(shù)，則則f(x)在[－b，－a]上為增增函數(shù)數(shù)．若函數(shù)數(shù)f(x)為偶函函數(shù)，，在[a，b]上為增增函數(shù)數(shù)，則則f(x)在[－b，－a]上為減減函數(shù)數(shù)．(4)函數(shù)奇奇偶性性的判判定方方法①利用用定義義f(x)是奇函函數(shù)??f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0.f(x)是偶函函數(shù)??f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.②利用用圖象象的對(duì)對(duì)稱性性f(x)是奇函函數(shù)??f(x)的圖象象關(guān)于于____對(duì)稱．．f(x)是偶函函數(shù)??f(x)的圖象象關(guān)于于____對(duì)稱．．2．函數(shù)數(shù)的“周期性性”與“對(duì)稱性性”的伙伴伴關(guān)系系(1)設(shè)a為非零常常數(shù)，若若對(duì)于f(x)的定義域域內(nèi)的任任意x，恒有下下列條件件之一成成立．原點(diǎn)y軸失誤防范范1．判斷函函數(shù)的奇奇偶性，，首先應(yīng)應(yīng)該判斷斷函數(shù)定定義域是是否關(guān)于于原點(diǎn)對(duì)對(duì)稱．定定義域關(guān)關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱是是函數(shù)具具有奇偶偶性的一一個(gè)必要要條件．．如例1的(1)、(2)．2．判斷分分段函數(shù)數(shù)奇偶性性時(shí)，要要以整體體的觀點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)行判判斷，不不可以利利用函數(shù)數(shù)在定義義域某一一區(qū)間上上不是奇奇偶函數(shù)數(shù)而否定定函數(shù)在在整個(gè)定定義域上上的奇偶偶性．如如例1(3)．3．奇偶性性和周期期性都是是函數(shù)的的整體性性質(zhì)．奇奇偶性是是解決函函數(shù)圖象象的對(duì)稱稱性問題題，周期期性是解解決函數(shù)數(shù)圖象的的平移問問題．單單調(diào)性是是函數(shù)的的局部性性質(zhì)，要要注意區(qū)區(qū)分對(duì)于于偶函數(shù)數(shù)y＝f(x)，f(a)<f(b)?f(|a|)<f(|b|)，如例3.4．并不是是所有的的周期函函數(shù)都有有最小正正周期．．考向瞭望·把脈高考函數(shù)的奇奇偶性、、周期性性是高考考命題的的熱點(diǎn)．．從這兩兩年的高高考試題題來看，，主要是是奇偶性性與單調(diào)調(diào)性的小小綜合，，周期性性的考查查常以利利用周期期性求函函數(shù)值，，以選擇擇題、填