第三章概率3.3.1幾何概型1、古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2、計(jì)算古典概型的公式：那么對(duì)于有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢?一、復(fù)習(xí)回顧.我拋一枚硬幣，猜這一次是正面向上。問(wèn)題：猜中的概率是多少？這是什么概型問(wèn)題？取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于1m的概率有多大？二、問(wèn)題情境1.分析：從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是3m繩子上的任意一點(diǎn)，并且每一點(diǎn)被剪的可能性相等。下圖是臥室和書房地板的示意圖，圖中每一塊方磚除顏色外完全相同，小貓分別在臥室和書房中自由地走來(lái)走去，并隨意停留在某塊方磚上。在哪個(gè)房間里，小貓停留在黑磚上的概率大？臥室書房問(wèn)題情境2.與面積成比例解：取出0.1升中“含有這個(gè)細(xì)菌”這一事件記為A,則與體積成比例有一杯1升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.問(wèn)題情境3分析：細(xì)菌在1升水的杯中任何位置的機(jī)會(huì)是等可能的，但細(xì)菌所在的位置卻是無(wú)限多個(gè)的，因而不能利用古典概型。

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.

幾何概型的特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè).

(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.三、基本概念P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積)幾何概型概率計(jì)算公式:把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度等于1m.取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于1m的概率有多大？記“剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于1m”為事件A.3米1米1米1米古典概型幾何概型共同點(diǎn)不同點(diǎn)基本事件個(gè)數(shù)的有限性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件個(gè)數(shù)的無(wú)限性知識(shí)串聯(lián)：兩種概型概率公式的聯(lián)系P(A)=

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

基本事件的總數(shù)古典概型概率計(jì)算公式:幾何概型概率計(jì)算公式:P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積)例1.某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.分析：因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，他在0~60之間任何一個(gè)時(shí)刻打開收音機(jī)是等可能的，但0~60之間有無(wú)窮個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型的公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率。所以他在哪個(gè)時(shí)間段打開收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān)，這符合幾何概型的條件。四、例題講解0605010203040則事件A發(fā)生恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50，60]時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的求概率公式得P（A）=60-5060=16解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不多于10分鐘”的概率為.16點(diǎn)評(píng):打開收音機(jī)的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是0~60之間的任何時(shí)刻，且是等可能的．我們稱X服從[0，60]上的均勻分布，X稱為[0，60]上的均勻隨機(jī)數(shù).0102030405060例2.拋階磚游戲““拋階磚”是是國(guó)外游樂(lè)場(chǎng)場(chǎng)的典型游戲戲之一.參與者只須須將手上的的“金幣””（設(shè)“金金幣”的半半徑為1）拋向離身身邊若干距距離的階磚磚平面上，，拋出的““金幣”若若恰好落在在任何一個(gè)個(gè)階磚（邊邊長(zhǎng)為3的正方形））的范圍內(nèi)內(nèi)（不與階階磚相連的的線重疊）），便可獲獲獎(jiǎng)，許多多人紛紛參參與此游戲戲，卻很少少有人得到到獎(jiǎng)品，你你能用今天天所學(xué)的數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)解解釋這是為為什么嗎？？（假設(shè)每次拋拋的金幣都都落在階磚磚上）分析：不妨先考慮慮金幣與一一塊階磚的的關(guān)系.S33A試驗(yàn)的基本本事件是:金幣的中心投在由若干干個(gè)小正方方形組成的的階磚面里里.設(shè)事件A={金幣不與小小正方形邊邊相碰}Ａ={金幣的中心心要投在綠綠色小正方方形內(nèi)}參加者獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)的概率為為:解：由幾何概型型的定義知知：

9

1=（3－2）2

32=解題方法小小結(jié)：對(duì)于復(fù)雜的的實(shí)際問(wèn)題題,解題的關(guān)鍵鍵是要建立立模型,找出隨機(jī)事事件與所有有基本事件件相對(duì)應(yīng)的的幾何區(qū)域域,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化化為幾何概概率問(wèn)題,利用幾何概概率公式求求解.練習(xí)2.某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10分鐘的概率？1.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒。當(dāng)你到達(dá)路口不用停直接通過(guò)的概率為8/15某公共汽車車站每隔15分鐘有一輛輛汽車到達(dá)達(dá)，乘客到到達(dá)車站的的時(shí)刻是任任意的，求求一個(gè)乘客客到達(dá)車站站后候車時(shí)時(shí)間大于10分鐘的概率率？解：記候車車時(shí)間大于于10分鐘為事件件A，則當(dāng)乘客客到達(dá)車站站的時(shí)刻落落在線段T1T上時(shí)，事件件發(fā)生.所以T1T2T練習(xí)2p(A)=—————=——=

A的長(zhǎng)度

總的長(zhǎng)度51513答：候車時(shí)間大于10分鐘的概率是分析：把時(shí)時(shí)刻抽象為為點(diǎn)，時(shí)間間抽象為線線段，故可可以用幾何何概型求解解。上輛車車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下下一輛車于于時(shí)刻T2到達(dá)，線段段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且且T1T=5，T2T=10，如圖所示示:3.歐陽(yáng)修《賣油翁》中寫道：““乃取一葫葫蘆置于地地，以錢覆覆其口，徐徐以杓酌油油瀝之，自自錢孔入，，而錢不濕濕?！笨梢?jiàn)見(jiàn)“行行出出狀元”，，賣油翁的的技藝讓人人嘆為觀止止。若銅錢錢的直徑是是3cm的圓，中間間有邊長(zhǎng)為為1cm的正方形孔孔，若你隨隨機(jī)向銅錢錢上滴一滴滴油，則油油正好落入入孔中的概概率是(假設(shè)油滴落落在銅錢上上且油滴的的大小忽略略不計(jì)）49π解：根據(jù)題意可知，銅錢圓的面積為

cm2，正方形孔的面積為1cm2。由幾何概型可知事件的概率等于相應(yīng)面積的比，即故填1=49π

49π練習(xí)4、射箭比賽賽的箭靶是是涂有五個(gè)個(gè)彩色的分分環(huán).從外向內(nèi)為為白色、黑黑色、藍(lán)色色、紅色，，靶心是金金色,金色靶心叫叫“黃心””.奧運(yùn)會(huì)的比比賽靶面直直徑為122cm,靶心直徑為為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭,假設(shè)每箭都能中中靶,且射中靶面面內(nèi)任一點(diǎn)點(diǎn)都是等可可能的,那么射中黃黃心的概率率是多少?練習(xí)事件B發(fā)生.的黃心內(nèi)時(shí),cm12.2π41積為而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面的大圓內(nèi),cm122π41面積為由于中靶點(diǎn)隨機(jī)落在件B,.記“射中黃心”為事2

222××××解：5、一只螞蟻蟻在一邊長(zhǎng)長(zhǎng)為6的正方形區(qū)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)機(jī)地爬行，，則其恰在在離四個(gè)頂頂點(diǎn)距離都都大于3的地方的概概率是練習(xí)解析；如果果離四個(gè)頂頂點(diǎn)距離都都大于3，那么螞蟻蟻所處的位位置應(yīng)該四四個(gè)四分之之一圓之外外，圓的圓圓心為4個(gè)頂點(diǎn)，半半徑都是3，4－π

4ABCD解：此試驗(yàn)是幾何概型，正方形面積為S，區(qū)域A的面積為SA，S=6×6=36SA=6×6―4×π×32=36－9πP(A)=

=

=

4－π

4

1

4S

36－9π

36SA1.幾何概