第五章平面向量向量的坐標(biāo)運(yùn)算第講3（第一課時）考點(diǎn)搜索●平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算●向量平行的充要條件●向量的坐標(biāo)運(yùn)算與函數(shù)(包括三角函數(shù))、解析幾何的綜合題高考猜想這一部分是向量的核心內(nèi)容，高考的一個重要命題點(diǎn).選擇題、填空題重在考查數(shù)量積的概念、運(yùn)算律、性質(zhì)，向量的平行與垂直、夾角與距離等；解答題重在考查與幾何、三角函數(shù)、代數(shù)等結(jié)合的綜合題.一、平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a=xi+yj，則實(shí)數(shù)對(x，y)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a=(x，y).其中x、y分別叫做a在x軸、y軸上的坐標(biāo)，a=(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示.

相等的向量其坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量.二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a±b=①_______________;2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=②______________;3.若a=(x，y)，則λa=③_________;4.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a∥b的充要條件是④_____________.(x1±x2，y1±y2)(x2-x1，y2-y1)(λx,λy)x1y2-x2y1=0三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=⑤_____________;2.若a=(x，y)，則|a|2=a·a=⑥______，|a|=⑦_(dá)__________;3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=⑧____________；

4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a⊥b⑨_______________;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=05.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ=⑩________________.

1.對于n個向量a1,a2,…,an,若存在n個不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…，kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，則稱向量a1,a2,…,an是線性相關(guān)的.按此規(guī)定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是線性相關(guān)的實(shí)數(shù)k1,k2,k3的值依次為_________.(只需寫出一組值即可)

解：根據(jù)線性相關(guān)的定義得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，則令k3=1,則k2=2，k1=-4，所以k1,k2,k3的一組值為-4,2,1.-4,2,12.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a∥b，則2a+3b=()A.(-2，-4)B.(-3，-6)C.(-4，-8)D.(-5，-10)

解：由a∥b，得m=-4，所以2a+3b=(2，4)＋(-6，-12)=(-4，-8)，故選C.C3.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，λa+b與a垂直，則λ=()A.-1B.1C.-2D.2

解：由于λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,

所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0，即10λ+10=0,

所以λ=-1，故選A.A題型1向量的坐坐標(biāo)1.設(shè)向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向線線段首尾尾相接能能構(gòu)成四四邊形，，求向量量d的坐標(biāo)解：根據(jù)題題意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即6a+4b-4c+d=0，所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).點(diǎn)評：坐標(biāo)向量量的加減減運(yùn)算，，按對應(yīng)應(yīng)的坐標(biāo)標(biāo)進(jìn)行加加減運(yùn)算算即可，，涉及到到已知起起點(diǎn)和終終點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)求向量量時，用用終點(diǎn)坐坐標(biāo)減去去起點(diǎn)坐坐標(biāo)即可可.點(diǎn)P在平面上上作勻速速直線運(yùn)運(yùn)動，速速度向量量v=(4，-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動方方向與v相同，且且每秒移移動的距距離為|v|個單位長長度).設(shè)開始時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-10，10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(-2，4)B.(-30，25)C.(5，-10)D.(10，-5)解：設(shè)點(diǎn)A(-10，10)，5秒后點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)，則=5v，所以=5v，所以+5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故選D.D題型2向量的模2.已知向量a=(cos23°，cos67°°)，b=(cos68°，cos22°°)，求|a+tb|(t∈R)的最小值.解：由已知得a=(cos23°，sin23°°)，b=(sin22°，cos22°°)，所以|a|=|b|=1，a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°°=sin45°=.所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2所以當(dāng)t=-時，|a+tb|min=.點(diǎn)評：坐標(biāo)向量a=(x，y)的模是是一個非負(fù)負(fù)數(shù)，涉及到到三角函數(shù)式式的運(yùn)算時，，注意先將三三角函數(shù)式化化簡再求解.已知向量m=(cosθ，sinθ)和n=(-sinθ，cosθ)，θ∈［π，2π］.求|m+n|的最大值.解：m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),因?yàn)棣取剩郐校?π］，所以所所以cos()≤1，所以|m+n|max=.已知a、b、c是同一平面內(nèi)內(nèi)的三個向量量，其中a=(1，2).(1)若|c|=，且c∥a，求c的坐標(biāo);(2)若|b|=，且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ.解：(1)設(shè)c=(x,y)，則|c|=又c∥a，則2x=y,所以或或所所以c=(2,4),或c=(-2,-4).題型3向量的平行與與垂直(2)因?yàn)閍+2b與2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0.因?yàn)閨b|=，|a|=，所以a·b=-所以所以a與b的夾角θ為135°.點(diǎn)評：兩坐標(biāo)向量的的平行(或垂直)的充要條件是是將向量運(yùn)算算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)數(shù)運(yùn)算的依據(jù)據(jù)，注意平行行與垂直的充充要條件極易易弄錯或混淆淆.1.建立平面向量量的坐標(biāo)，基基礎(chǔ)是平面向向量基本定理理.因此，對所給給向量應(yīng)會根根據(jù)條件在x軸和y軸進(jìn)行分解，，求出其坐標(biāo)標(biāo).2.向量的坐標(biāo)表表示，實(shí)際是是向量的代數(shù)數(shù)表示.在引入向量的的坐標(biāo)表示后后，即可使向向量運(yùn)算完全全代數(shù)化，將將數(shù)與形緊密密地結(jié)合了起起來.這樣