圖形的相似本章內(nèi)容第3章

比例線段本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.1子目內(nèi)容3.1.2成比例線段我們知道線段既有形狀又有大小，這節(jié)課我們主要研究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并由數(shù)量關(guān)系帶給我們對(duì)圖形形狀的思考！動(dòng)腦筋引入做一做如圖3-1，在方格紙上（設(shè)小方格邊長為單位1）有△ABC和△A′B′C′，它們的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.試求出線段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長度，并計(jì)算AB與A′B′，BC與B′C′，AC與A′C′的長度的比值.說一說問題1：(1)請(qǐng)問圖3-1中，AB與A′B′，BC與B′C′，AC與A′C′三對(duì)線段的長度的比值有什么關(guān)系？

(2)再觀察圖3-1中的△ABC

和△A′B′C′，說一說它們的形狀有什么關(guān)系？定義1：一般地，如果選用同一長度單位量得兩條線段AB，A′B′的長度分別為ｍ，ｎ，那么把它們的長度的比叫作這兩條線段AB與A′B′的比（ｒａｔｉｏ），記作或AB∶A′B′＝m∶n

；如果的比值為ｋ，那么上述式子也可寫成或AB

＝ｋ·A′B′.結(jié)論動(dòng)腦筋問題2：圖3-1中的△ABC

和△A′B′C′中AB、BC、A′B′

、B′C′這四條線段有什么樣的數(shù)量關(guān)系

？△ABC

和△A′B′C′中還有其它的四條線段也具有同樣的數(shù)量關(guān)系嗎？結(jié)論定義2：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，簡稱為比例線段（ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｓｅｇｍｅｎｔｓ）.舉例例3(1)已知線段a，b，c，d

的長度分別為0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，問a，b，c，d是比例線段嗎？解(一)

∵

∴，即a，b，c，d是比例線段.解(二)

∵

∴，即a，b，c，d是比例線段.舉例例3(2)已知線段a，b，c，d是比例線段，其中a，b，c的長度分別為0.8cm，2cm，1.2cm，求d.解∵線段a，b，c，d是比例線段，∴或或；當(dāng)時(shí)，代入已知數(shù)，解得d=3cm；當(dāng)時(shí)，代入已知數(shù)，解得，d=0.48cm；當(dāng)時(shí)，代入已知數(shù)，解得，d=

cm.

動(dòng)腦筋問題3：你能畫出成比例線段嗎？思路(1).由例3的啟發(fā)，畫長度分別是1cm、2cm、3cm、6cm的四條線段,這樣的四條線段是成比例線段；當(dāng)然長度分別為1cm、2cm、2cm、4cm的四條線段是成比例線段。思路(2).如圖，平行四邊形ABCD中的

四條線段是成比例線段解∵平行四邊形ABCD，

∴AB=CD，BC=AD；

∴或；∴AB、BC、CD、DA四條線段是成比例線段.當(dāng)然矩形、正方形、菱形中的四條線段也分別都是成比例線段.動(dòng)腦筋問題4：古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克索斯（約400—約前347）曾經(jīng)提出一個(gè)問題：能否將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比？即，使得成立？小知識(shí)解決方法：先把問題特殊化，設(shè)線段AB的長度為１個(gè)單位，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且AC的長度為x個(gè)單位，則CB的長度為（１－x）個(gè)單位．由等式，得解得（舍去）.因此小知識(shí)小結(jié)：借助方程的知識(shí)，我們知道在一個(gè)單位長度的線段上存在一點(diǎn)將其分成不相等的兩部分，其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比，而且比值等于.問題5：對(duì)于任意長度的線段是否存在一點(diǎn)將其分成不相等的兩部分，其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比嗎？動(dòng)腦筋如果能的話，這個(gè)比值會(huì)是嗎？解決方法：參考特殊方法，把特殊值1變成任意值a。動(dòng)腦筋設(shè)線段AB的長度為a

個(gè)單位，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且AC的長度為x個(gè)單位，則CB的長度為（a－x）個(gè)單位．由等式，得因此，.

解得（舍去）.小知識(shí)小結(jié)：借助方程的知識(shí)，我們知道在任意長度的線段上也存在一點(diǎn)將其分成不相等的兩部分，其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比，而且比值也等于結(jié)論定義3：如果能將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比，那么稱線段AB被點(diǎn)Ｃ黃金分割（ｇｏｌｄｅｎｓｅｃｔｉｏｎ），點(diǎn)Ｃ叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長線段AC與原線段AB的比叫作黃金分割比．

問題6：我們知道任意線段都有黃金分割點(diǎn)，那如何找到它呢？動(dòng)腦筋

對(duì)于一條給定的線段AB，找出它的黃金分割點(diǎn)的作法如下：（1）過點(diǎn)B作AB的垂線，并在垂線上取BC=AB；（2）連接AC，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E；（3）以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)P.則點(diǎn)P為所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).欣賞：我們知道黃金分割比是個(gè)確定數(shù)，這個(gè)數(shù)可是

享譽(yù)全世界的，因?yàn)楸戎凳撬木€段

圍成的圖形是最美麗的圖形.小知識(shí)小知識(shí)古希臘的巴臺(tái)農(nóng)神廟正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比.小知識(shí)印度泰姬陵正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比.小知識(shí)意大利著名畫家達(dá)·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，人物的臉的寬度與高度的比就是一個(gè)黃金分割比．習(xí)題3.11.求下列各式中x的值.（1）5∶7=15∶x

；（2）144∶5=x∶25；（3）52∶x=26∶8；（4）x∶13=65∶78.答：(1)x=21;(2)x=720;

(3)x=16;(4)

x=.2.已知a，ｂ，ｃ，ｄ是比例線段.（1）若a=2，b=3，c=4，求d；（2）若a=1.5，c=2.5，d=4.5，求b；（3）若a=1.1，b=2.2，d=4.4，求c．答：(1)

d=6或或；答：(2)

b=

7.5或2.7或；答：(3)

c=8.8或2.2或0.55

.

3、甲、乙兩地的實(shí)際距離為680km，在某地圖上量得這兩地的距離為17cm，求該地圖的比例尺.答：因?yàn)?80km=68000000cm，所以該地圖的比例尺=68000000:17=4000000:1.

4、如圖，節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體.若舞臺(tái)AB長為20m，則主持人站在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處最自然得體？（結(jié)果精確到0.1m）解：設(shè)AB的黃金分割點(diǎn)為C，則AC≈0.618AB或BC

≈0.618AB,解得AC≈12.5m或AC

≈7.6m.答：所以主持人站在離A點(diǎn)12.5m或7.6m遠(yuǎn)處最自然得體.

小結(jié)與復(fù)習(xí)1、請(qǐng)問同學(xué)們這節(jié)課你學(xué)習(xí)了關(guān)于線段的什么知識(shí)？線段之間的一種數(shù)量關(guān)系：四條線段成比例