【考綱下載】1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.第4講簡單的線性規(guī)劃1．二元一次不等式表示平面區(qū)域(1)Ax＋By＋C>0(<0)在平面直角坐標系中表示直線l：Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，直線l應(yīng)畫成

．(2)Ax＋By＋C≥0(≤0)表示直線l：Ax＋By＋C＝0某一側(cè)(含邊界直線)所有點組成的平面區(qū)域，直線l應(yīng)畫成

．虛線實線2．線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義線性約束條件由關(guān)于x，y的

組成的不等式組目標函數(shù)欲達到

所涉及變量x，y的解析式線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式可行解滿足

的解(x，y)可行域由所有

組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的

的問題一次不等式最大值或最小值一次函數(shù)線性約束條件可行解最大值最小值最大值或最小值提示：(1)目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在區(qū)域的某個頂點處取得，但也有可能是區(qū)域的某一邊界或區(qū)域內(nèi)的某一點．(2)最優(yōu)解可能是一個、多個、無數(shù)個．1．下面給出的四個點中，位于

表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是(

)

A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)解析：滿足條件

的點都在圖中陰影部分．由圖可知C選項滿足要求．答案：C2．在平面直角坐標系xOy中，滿足不等式組

的點(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的(

)解析：若0<x<1，當y>0時，要使|y|≥|x|，則y≥x；當y<0時，要使|y|≥|x|，則y≤－x；若－1<x<0，當y>0時，要使|y|≥|x|，則y≥－x；當y<0時，要使|y|≥|x|，則y≤x.故選C.答案：C3．已知變量x、y滿足條件

，則x＋y的最小值是(

)

A．4B．3C．2D．1解析：在直角坐標平面內(nèi)畫出不等式組

所表示的平面區(qū)域，作出

直線x＋y＝0，平移該直線，注意觀察當直線平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)怎樣的點時，相應(yīng)直線在x軸上的截距最?。Y(jié)合圖形不難得知，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(1,1)時，相應(yīng)直線在x軸上的截距最小，即此時x＋y取得最小值，最小值等于2.答案：C4．(2009·安徽卷)不等式

組所表示的平面區(qū)域的面積等于

．解析：不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，三個頂點的坐標分別是

，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面積

答案：求線性平面區(qū)域的面積可以先根據(jù)不等式組畫出相應(yīng)的平面區(qū)域，再求出相應(yīng)的頂點坐標，根據(jù)圖形的特點解決問題．若圖形是不規(guī)則的多邊形，一般是劃分為幾個三角形分別求面積再相加．在劃分時盡量多構(gòu)造直角三角形，這樣可以降低運算難度．

【例1】

(2009·浙江寧波十校聯(lián)考)已知點M(a，b)在由不等式組

確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點N(a＋b，a－b)所在平面區(qū)域的面積是_____．思維點撥：可以設(shè)m＝a＋b，n＝a－b，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于m、n的線性約束條件，根據(jù)畫出的圖形求面積．解析：由題意得：

，設(shè)

，則N(m，n)，∴線性約束條件轉(zhuǎn)化為：建立如圖所示的平面直角坐標系mOn，可行域如圖中陰影部分所示，則所求面積S=4.答案：4線性目標函數(shù)求最值的步驟為：1．作圖——畫出約束條件(不等式(組))確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表 示的平行直線系中過原點的直線l；2．平移——將l平行移動至最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置；3．求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)點的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目 標函數(shù)的最值．【例2】

已知實數(shù)x，y滿足

，則目標函數(shù)z＝x－y的最大值為____．思維點撥：先作出可行域，然后作出與直線x－y＝0平行的直線，通過平移，在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解，從而求出最大值．

解析：先畫出約束條件的可行域，如圖所示：經(jīng)分析可知z=x-y在A點取得最大值． =x-y=4-1=3.

答案：3拓展2：將本例中條件“”改為“，且如果目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－1”，則實數(shù)m等于(

)

A．7B．5C．4D．3

解析：畫出x，y滿足的可行域，可得直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點使目標函數(shù)z＝x－y取得最小值，故解解得m＝5.答案：B近幾年有關(guān)線性規(guī)劃的高考試題中，相當一部分試題是結(jié)合其他知識點的綜合題，在作出平面區(qū)域后要善于利用幾何意義解決一些特殊函數(shù)的最值問題．【例3】實數(shù)x，y滿足不等式組

.求z＝x2＋y2的最大值和最小值．思維點撥：畫出可行域后，把問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方問題．解：

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．陰影部分即點(x，y)所在區(qū)域，目標函數(shù)z=x2+y2表示點(x，y)到點(0,0)距離的平方．因此z的最小值為點(0,0)到直線x+2y-3=0的距離的平方．得P(5,6)．z的最大值為點O到點P的距離的平方．∴zmax＝(5－0)2＋(6－0)2＝61.變式3：若實數(shù)x、y滿足

，則的取值范圍是(

)A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：作出x，y滿足的可行域，如圖中陰影部分，它是以A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)為頂點圍成的三角形(不包含邊AC)，設(shè)P(x，y)為可行域內(nèi)任一點，則直線PO的斜率kPO=，由數(shù)形結(jié)合得，kPO=2是的最小值，故的取值范圍是[2，+∞)．答案：D在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最?。?/p>

【例4】

某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項 目甲的投資不小于對項目乙投資的倍，且對每個項目的投資不能低 于5萬元，對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每 投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩 個項目上共可獲得的最大利潤為(

)A．36萬元

B．31.2萬元C．30.4萬元

D．24萬元解析：設(shè)對甲項目投資x萬元，對乙項目投資y萬元，獲得總利潤為z萬元，則z＝0.4x＋0.6y，且作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，作直線l0：0.4x+0.6y=0，并將l0向上平移，過點C時z取得最大值，即=0.4×24+0.6×36=31.2(萬元)．答案：B【方法規(guī)律】1．直線把平面分成的每一個區(qū)域內(nèi)所有點的坐標各同時滿足一個不等式，確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≤0，≥0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域，常用下列的方法確定：先由等式定直線，然后在直線的某一側(cè)任取(x0，y0)，把它的坐標代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，則和(x0，y0)同側(cè)的點都滿足不等式，從而平面區(qū)域被找到，否則，直線的另一區(qū)域為不等式Ax＋By＋C>0所表示的區(qū)域．2．在線性約束條件下，當b>0時，求目標函數(shù)z＝ax＋by＋c的最小值或最大 值的求解程序為： (1)作出可行域； (2)作出直線l0：ax＋by＝0； (3)確定l0的平移方向，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點； (4)解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標函數(shù)的最小值或最大值．3．目標函數(shù)非線性時，注意目標函數(shù)的幾何意義，如斜率，距離等．

4．線性規(guī)劃應(yīng)用題建模的思路：一般以“資源——產(chǎn)品——收益”為主線；設(shè)元時將產(chǎn)品數(shù)量設(shè)為x、y，將收益多少設(shè)為z，資源數(shù)量為常數(shù)a、b、c等．這樣z與x、y之間的關(guān)系就是目標函數(shù)；而x、y與a、b、c等之間的關(guān)系就是約束條件.【高考真題】(2009·山東卷)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A、B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元，設(shè)備乙每天的租賃費為300元．現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費最少為________元．【規(guī)范解答】解析：設(shè)租賃甲、乙兩種設(shè)備各x、y臺，則目標函數(shù)z＝200x＋300y，畫出可行域知目標函數(shù)在點(4,5)處取得最小值，故目標函數(shù)的最小值為2300，故填2300.答案：2300【探究與研究】這類實際應(yīng)用型的線性規(guī)劃問題是教材重點講解的，各個版本教材上類似例題很多，本題來源于課本的基礎(chǔ)題．如人教A版必修5第三章第三節(jié)的例題4等．此類題目在備考中不需要作太多的深挖，以課本為綱即可．1．找不到主要變量；2．列錯可行域和目標函數(shù)；3．求解模型時計算出錯．本題也可以通過下面的途徑解決：設(shè)u＝5x＋6y，v＝10x＋20y，

代入目標函數(shù)z＝200x＋300y＝100u－