滬教版（2020）高中數學第6講異面直線間的距離第十章空間直線與平面*10.5異面直線間的距離ABCA1思考：任意兩條異面直線都有公垂線嗎？有多少條公垂線？已知異面直線AA1和BC，直線與異面直線AA1，BC都垂直相交。和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。公垂線段定理一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。存在性：abPa’αQMβcBA直線AB就是異面直線a,b的公垂線唯一性：假如還有直線A’B’也是a,b的公垂線，則

A’B’⊥a，A’B’⊥b，a’//a，A’B’⊥a’所以A’B’⊥平面α，又AB⊥平面αAB//A’B’則a,b共面矛盾！A’B’兩個定理定理二：兩條異面直線的公垂線段長是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。abABCD練習：證明定理二兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離aa’bA’AdEFlmnθ異面直線間的距離公式求異面直線的距離的常用方法：（1）找出（或作出）公垂線，計算公垂線段的長度。（2）轉化為求線面間的距離。abαa//平面α（3）轉化為求平行平面間的距離。abαβa//平面β,b//平面α（2），（3）可進一步轉化為點到平面的距離。（4）用模型公式（5）向量方法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上兩點的連結線段在公共法向量上的射影長abEFn例1：如圖，已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都是1，D,E分別是OA,BC的中點，連結DE。（1）求證：DE是OA和BC的公垂線。（2）求OA和BC間的距離。OABCDE例2：正方體ABCD——A1B1C1D1中，P為AB中點，Q為BC中點，AA1=a,O為正方形ABCD的中心，求PQ與C1O間的距離。ABCDA1B1C1D1OPQ兩條異面直線上任意兩點的距離已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。aA’AFmnEdαbabA’AFmnEαβθcd已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnEαβθcGdFG=已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnEαβθcGdFG=已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnEαβθcGdEF=已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdE已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdEθGFG=?β已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdEθGFG=β已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。abA’AFmnαdEθGEF=β已知兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA’的長度為d,在直線a、b上分別取點E、F，設A’E=m,AF=n,求EF。EF=說明：1、當線段A’E、AF在θ角方向時，取“－”號。2、當線段A’E、AF在θ角異向時，取“+”號。3、由d=AA’=EG≦EF可知,兩異面直線間的距離是兩異面直線上任意兩點間的距離中最小的。已知二面角α-l-β的大小是1200，A,C