單自由度體系

建立振動(dòng)方程重點(diǎn)：建立方程難點(diǎn)：達(dá)朗貝原理建立方程柔度系數(shù)、剛度系數(shù)單自由度體系的自由振動(dòng)自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過程中沒有動(dòng)荷載的作用。靜平衡位置m獲得初位移ym獲得初速度自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（t=0）受到外界的干擾。研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：1、它代表了許多實(shí)際工程問題，如水塔、單層廠房等。2、它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程）

P(t)y(t)EI1.阻尼力

稱為粘滯阻尼力，阻尼力與運(yùn)動(dòng)方向相反

一切引起振動(dòng)衰減的因素均稱為阻尼，包括:①材料的內(nèi)摩擦引起的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能消失②周圍介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼（如，空氣的阻力）③節(jié)點(diǎn)，構(gòu)件與支座連接之間的摩擦阻力④通過基礎(chǔ)散失的能量振動(dòng)方程的建立：考慮圖示單質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)過程。桿件的剛度為EI，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,

時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位移y(t)

阻尼器簡(jiǎn)介位移感應(yīng)電流（電壓）變化液體粘性變化磁流變阻尼器

P線圈P普通油壓阻尼器

應(yīng)用實(shí)例構(gòu)造說明2.彈性恢復(fù)力

FE=-Ky(t)，K為側(cè)移剛度系數(shù)，彈性恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反3．慣性力

FI=

，為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度，慣性力與運(yùn)動(dòng)方向相反

4．動(dòng)力荷載

P(t)，直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，它與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向相同

5．振動(dòng)方程的建立FDFEFIP(t)mFD+FE+FI+P(t)=0

P(t)y(t)EI例題1:已知，阻尼系數(shù)為CADEFGCEI=∞K1K1K2試建立體系的運(yùn)動(dòng)微分方程解：1）動(dòng)力自由度為1，設(shè)E處的豎向位移是y(t)

ADEFGCEI=∞K1K1K2y(t)ADEFGCEI=∞K1K1K2ADEFGCEI=∞K1K1K2ADEFGCEI=∞K1K1K2EFGxy(t)RK1y(t)/22)考慮EFG部分的受力由∑MG=0得：

ADEFGCEI=∞K1K1K23）考慮ABDE部分的受力

由∑MA=0得xC/32K1y(t)/3y(t)ADER由以上兩式消去R后整理得m..yj.yd靜平衡位置質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移

y(t)=yj+ydk力學(xué)模型.ydmmWS(t)I(t)+重力：W彈性力：恒與位移反向慣性力：……………(a)其中

kyj=W

及上式可以簡(jiǎn)化為或

注意：振動(dòng)方程中的僅僅是動(dòng)力作用下產(chǎn)生的，不包括靜位移?？烧J(rèn)為是從靜平衡位置算起的。以后，我們也只計(jì)算動(dòng)位移

例題2試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m,EI=常數(shù)

LLmm原理：任意時(shí)刻受力平衡KK16i/L6i/L練習(xí)題1解:振動(dòng)模態(tài)mEAmLLL解:振動(dòng)模態(tài)mEAmBy(t)xdx建立振動(dòng)方程，阻尼器的阻尼系數(shù)為C練習(xí)題2

EI1=∞mCPsinθtEIEI振動(dòng)模態(tài)

EI1=∞mLLCPsinθtEIEI

EI1=∞mCPsinθtEIEI振動(dòng)模態(tài)y(t)KK例題3試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量都是m,EI=常數(shù)

LLPsinθt質(zhì)點(diǎn)受力：1.慣性力，2.剛架的彈性恢復(fù)力，3.動(dòng)荷載。1.慣性力負(fù)號(hào)表示方向向左建立方程的依據(jù)：質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻受力平衡2.剛架的彈性恢復(fù)力意義：質(zhì)點(diǎn)單位側(cè)移需施加的力-----側(cè)移剛度K11K要求K,就要取水平力的平衡yy變形圖ABCDVBAVDCK因而，就要確定2個(gè)柱的剪力，這就要作出結(jié)構(gòu)在側(cè)移為1時(shí)的彎矩圖。支座水平移動(dòng)單位位移下引起的柱間剪力=K/2k/21等價(jià)問題1K問題Δ=1取半結(jié)構(gòu)即，“支座移動(dòng)”結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算問題1R6i/L6i/L4i2i6ir等價(jià)問題1位移法方程：r11θ+R=0，解得VBAK/224i/5L18i/5LM圖11R6i/L6i/L4i2i6ir柔度法求K

1

求剛架在P=1下產(chǎn)生的位移，再取倒數(shù)1/2用力法作出彎矩圖

4L/143L/14P=1L3.振動(dòng)方程

PsinθtLLL/2L/2例題4:EI=常數(shù)，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,建立結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程

解：一、用柔度法依據(jù)：質(zhì)點(diǎn)位移y(t)，由質(zhì)點(diǎn)慣性力與動(dòng)力荷載共同產(chǎn)生。1.求慣性力為1時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移δ1

P=1問題求位移的方法：用位移法求位移用變形體系虛功原理y(t)

Psinθt用位移法求位移

MP圖R1P

R2P

1

r11

r21

r12

r22R1P=0,R2P=-1,r11=10i,r21=r12=3i/Lr22=18i/L2

解位移法方程得：δ1=10L3/171EI2.求動(dòng)力荷載為1時(shí)在質(zhì)點(diǎn)處產(chǎn)生的位移δ21MP圖R1P

R2P

1

r11

r21

r12

r22用位移法解位移法方程得：δ2=37L3/1368EI3.質(zhì)點(diǎn)慣性力與動(dòng)力荷載共同產(chǎn)生的位移y(t)為：

二、用剛度法PsinθtLLL/2L/2建立方程的依據(jù)：時(shí)刻t結(jié)構(gòu)體系受力平衡注意：動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上，怎么考慮受力平衡？方法一、R2P

MP圖R1P

Psinθt

r11

r21

r12

r22R1P=-PLsinθt/8,R2P=-Psinθt/2,r11=10i,r21=r12=3i/Lr22=18i/L2

VAEVACVBDM圖R1P

ABCDER1P=-PLsinθt/8,R2P=-Psinθt/2+my//,r11=10i,r21=r12=3i/L，r22=18i/L2

消去附加約束，再考慮慣性力。當(dāng)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為Φ，水平位移為y（t）時(shí)MP圖R1P

R2P

Psinθt

r11

r21

r12

r22方法二、FIMP圖R1P

R2P

Psinθt

r11

r21

r12

r22FI單自由度振動(dòng)模型小結(jié)：練習(xí)題3LLmEILLmEIK為梁提供的彈性恢復(fù)力系數(shù)----剛度系數(shù)振動(dòng)方程：KK的意義KKRrKV左V右LLmEIEA