5.3.1

函數(shù)的單調(diào)性(1)【選擇性必修第二冊】2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.難點(diǎn)：證明不等式及逆向求參數(shù)問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.2.能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題,如證明不等式、求參數(shù)范圍等.4.體會求導(dǎo)法則判斷函數(shù)的單調(diào)性的優(yōu)越性.3復(fù)習(xí)回顧一、基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)二、函數(shù)積、商的求導(dǎo)法則[cf(x)]′=cf′(x)[f(x)g(x)]′=f′(x)

g(x)+f(x)

g′(x)yx′

=yu′·ux′三、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法4

(1)從起跳到最高點(diǎn),運(yùn)動員重心處于上升狀態(tài),離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)單調(diào)遞增.相應(yīng)地,v(t)=h′(t)>0.一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8圖5.3-15

我們看到,函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h′(t)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么,我們能否由h′(t)的正負(fù)來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢？(1)當(dāng)t∈(0,a)時,h′(t)>0,函數(shù)圖象是“上升”的,函數(shù)h(t)在(0,a)上單調(diào)遞增;這種情況是否具有一般性呢？對于高臺跳水問題,可以發(fā)現(xiàn)：(2)當(dāng)t∈(a,b)時,h′(t)<0,函數(shù)圖象是“下降”的,函數(shù)h(t)在(a,b)上單調(diào)遞減.(2)從最高點(diǎn)到入水,運(yùn)動員重心處于下降狀態(tài),離水面的高度h隨時間t的增加而減小,即h(t)單調(diào)遞減.相應(yīng)地,v(t)=h′(t)<0.xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8圖5.3-16觀察下面一些函數(shù)的圖象(圖5.3-2),探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyO

(1)(2)(3)(4)y′=1>0導(dǎo)數(shù)為正單調(diào)遞增y′=2x導(dǎo)數(shù)不定有增有減y′=3x2≥0導(dǎo)數(shù)非負(fù)單調(diào)遞增y′=-

<0導(dǎo)數(shù)為負(fù)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減7在某個區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;一般地,函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.如圖5.3-3,導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率,可以發(fā)現(xiàn)：在x=x0處,f′(x0)>0,切線是“左下右上”的上升式,函數(shù)f(x)的圖象也是上升的,函數(shù)f(x)在x=x0附近單調(diào)遞增;在x=x1處,f′(x1)<0,切線是“左上右下”的下降式,函數(shù)f(x)的圖象也是下降的,函數(shù)f(x)在x=x1附近單調(diào)遞減.xyOf(x)=x2圖5.3-3(x0,f(x0))(x1,f(x1))(1)在某個區(qū)間內(nèi),f

′(x)>0(f

′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件,而不是必要條件.例如f(x)=x3在定義域(-∞,∞)上單調(diào)遞增,但f

′(x)=3x2≥0.8(2)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件是f

′(x)≥0(f

′(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒成立,且f

′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.這就是說,在區(qū)間的個別點(diǎn)處有f

′(x)=0并不影響函數(shù)f(x)在該區(qū)間的單調(diào)性.

在某個區(qū)間內(nèi)恒有f

′(x)=0,那么函數(shù)f(x)為常數(shù)函數(shù);

如果在某個區(qū)間上恒有f

′(x)=0,那么函數(shù)f(x)有什么特性？

但是如果在某個區(qū)間內(nèi)僅有有限個點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值為0,則不能判定f(x)為常數(shù)函數(shù).9解:(1)因為f(x)=

x3+3x,所以f′(x)=cosx-1<0.例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：所以,函數(shù)f(x)=sinx-x在(0,π)上單調(diào)遞減,如圖5.3-4(2)所示.(2)因為f(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以所以,函數(shù)f(x)=x3+3x在R上單調(diào)遞增,如圖5.3-4(1)所示.f′(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.

xyO圖5.3-4(1)f(x)=x3+3xxyO圖5.3-4(2)f(x)=sinx-xπ-π102.注意“臨界點(diǎn)”和“間斷點(diǎn)”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外,還要注意定義域的間斷點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題需要注意：1.定義域優(yōu)先原則：一定要在定義域范圍內(nèi),通過討論導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間).例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：

注:不能寫成函數(shù)在(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞增.111.

判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.解：(1)

f′(x)=2x-2,當(dāng)f′(x)>0,即x>1時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)f′(x)<0,即x<1時,函數(shù)單調(diào)遞減.(2)f′(x)=ex-1,所以函數(shù)f(x)=ex-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0).所以函數(shù)f(x)=x2-2x+4的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).當(dāng)f′(x)>0,即x>0時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)f′(x)<0,即x<0時,函數(shù)單調(diào)遞減.xyOf(x)=x2-2x+41xyOf(x)=ex-x12解：當(dāng)1<x<4時,f

′(x)>0,可知f(x)在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞增;例2已知導(dǎo)函數(shù)f

′(x)的下列信息：綜上,函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示.當(dāng)x=1,或x=4時,f

′(x)=0,這兩點(diǎn)比較特殊,我們稱它們?yōu)椤芭R界點(diǎn)”.當(dāng)x<1,或x>4時,f

′(x)<0,可知f(x)在區(qū)間(-∞,1)和(4,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)1<x<4時,f

′(x)>0;當(dāng)x<1,或x>4時,f

′(x)<0;當(dāng)x=1,或x=4時,f

′(x)=0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.xyO14圖5.3-513

請同學(xué)們回顧一下函數(shù)單調(diào)性的定義,并思考在某個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)f(x)的平均變化率的幾何意義與f′(x)的正負(fù)的關(guān)系.設(shè)函數(shù)的定義域為I,區(qū)間D∈I,如果x1,x2∈D,

(1)都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在D上是增函數(shù)；(2)都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在D上是減函數(shù).當(dāng)x1＜x2時:

若f(x)在D上是增函數(shù)或減函數(shù),則f(x)在D上具有嚴(yán)格的單調(diào)性,稱D為單調(diào)區(qū)間.若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則直線AB的斜率為正,f

′(x)>0;若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減,則直線AB的斜率為負(fù),f

′(x)<0.142.

利用導(dǎo)數(shù)討論二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的單調(diào)區(qū)間.解:f′(x)=2ax+b.153.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,試畫出函數(shù)f′(x)圖象的大致形狀.解：在(0,a)和(b,c)上函數(shù)不增不減,所以f′(x)=0;在(a,b)上函數(shù)單調(diào)遞減,且減小得越來越快,所以f

′(x)<0,且f′(x)減小的速度也快.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù);(2)判斷f

′(x)的符號(含有參數(shù)時需分類討論);(3)得出結(jié)論.yy=f(x)xOabcy=f′(x)xOabcy函數(shù)的圖象看升降導(dǎo)函數(shù)的圖象看正負(fù)16在某個區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;一般地,函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)