本章主要內(nèi)容與重點頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性作圖頻率穩(wěn)定性判據(jù)閉環(huán)頻率特性系統(tǒng)時域指標(biāo)估算第四章線性系統(tǒng)頻率分析法本章主要內(nèi)容本章介紹了控制系統(tǒng)頻率分析法的相關(guān)概念和原理。包括頻率特性的基本概念和定義、開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖表示法、波特圖表示法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性、閉環(huán)頻率特性與時域性能的關(guān)系等。本章重點通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點掌握頻率特性的概念與性質(zhì)、典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖和波特圖的繪制和分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析法、系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的概念和求法、閉環(huán)頻率特性的求法、閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)的頻域分析法等。頻率分析法是應(yīng)用頻率特性研究線性控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法，它有以下特點：(1)應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不必解出特征根。(2)對于二階系統(tǒng)，頻率特性與過渡過程性能指標(biāo)之間有確定的對應(yīng)關(guān)系，對于高階系統(tǒng)，兩者也存在近似關(guān)系；因為頻率特性與系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，故可以用研究頻率特性的方法，把系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)的變化與過渡過程性能指標(biāo)聯(lián)系起來。(3)頻率特性有明確的物理意義，很多元部件的這一特性都可以用實驗方法確定。這對于難以從分析其物理規(guī)律著手來列寫微分方程的元部件和系統(tǒng)，有很大的實際意義。(4)頻率特性不僅適用于線性定常系統(tǒng)的分析研究，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)。(5)當(dāng)系統(tǒng)在某些頻率范圍內(nèi)存在嚴(yán)重的噪聲時，應(yīng)用頻率分析法可以設(shè)計出能滿意地抑制這些噪聲的系統(tǒng)。4-1頻率特性4-1-1基本概念由例2-1(P13)可知，該電路滿足的微分方程為其中，T=RC。對應(yīng)的傳遞函數(shù)為引例4-1(P153)RC網(wǎng)絡(luò)如圖所示若網(wǎng)絡(luò)的輸入為單位正弦信號，即則網(wǎng)絡(luò)的輸出為經(jīng)拉氏反變換，可得其中，第一項為輸出信號的動態(tài)分量，第二項為穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng)時間t→∞時，第一項趨于零。于是由上式可知，網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦信號，其頻率和輸入信號的頻率相同，幅值是輸入的倍，相位比輸入滯后arctanT。顯然，和-arctanT皆為輸入信號頻率的函數(shù)，前者稱為RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性，后者稱為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。下表列出了這兩個特性的計算數(shù)據(jù)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可以繪制出如圖所示幅頻和相頻曲線。由曲線可見，當(dāng)輸入信號頻率較低時，輸出和輸入的幅值幾乎相等，相位滯后不大，當(dāng)增大，輸出的幅值減小，相位滯后增大，當(dāng)→∞時，輸出幅值為零，相位滯后90。以上結(jié)論和分析網(wǎng)絡(luò)中電容的阻抗隨頻率變化而得出的結(jié)論是一致的(參見電路分析教程)。網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)態(tài)輸出表達(dá)式中幅值和幅角在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量，有故函數(shù)完整地描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出時信號幅值和幅角隨正弦輸入信號頻率變化的規(guī)律。就稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。將頻率特性和網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)表達(dá)式可知，只要將傳遞函數(shù)中的s以j置換，就得到頻率特性，即以上的分析結(jié)果和電路理論的正弦穩(wěn)態(tài)分析結(jié)果相同。事實上，用復(fù)數(shù)符號法寫出RC網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出為于是，其輸出的穩(wěn)態(tài)正弦信號與輸入正弦信號之比為上式寫成幅值和幅角表達(dá)式為則RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性為相頻特性為可以證明，從RC網(wǎng)絡(luò)得到的這一重要結(jié)論，對于任何穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)都是正確的。設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為則是自變量為頻率的復(fù)變函數(shù)，因此將其稱為系統(tǒng)的頻率特性。由于G(j)的實部和虛部都是的函數(shù)，故可以表為其中，P()=Re[G(j)]----G(j)的實部；Q()=Im[G(j)]----G(j)的虛部。P()稱為G(j)的實頻特性；Q()稱為G(j)的虛頻特性。其中，A()=|G(j)|----G(j)的幅值(即幅頻特性)；∠()=arg[G(j)]----G(jω)的幅角(即相頻特性)。另外，也可以用G(j)的模(幅值)和幅角來表示為在上式中，幅值A(chǔ)()是頻率的函數(shù)，隨的變化而變化，因此稱為G(j)的幅頻特性；幅角()也是頻率的函數(shù)，隨的不同有不同的相位，因此稱為G(j)的相頻特性。這樣，以復(fù)變函數(shù)G(j)表示的頻率特性又常常以A()和()來表示。當(dāng)線性系統(tǒng)輸入一個正弦信號sint時，它的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也是一個同頻率的正弦信號，如下圖所示。與引例4-1類似，A()和()的物理意義在于：穩(wěn)態(tài)輸出的幅值是輸入的A()倍，而與輸入的相位差為()，即此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為需要指出的是，對于物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)的分母多項式階次n總是大于或等于分子多項式的階次m，即nm。因此，不可能出現(xiàn)當(dāng)→∞時系統(tǒng)輸出的幅值也趨于無窮大的情況。G(j)的幅頻、相頻特性和實頻、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：4-1-2頻率特性的定義從直觀上看，可以把頻率特性定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號的復(fù)數(shù)符號與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)符號之比，即但是，為了研究頻率特性更為廣泛的內(nèi)容，必須從信號與系統(tǒng)的關(guān)系出發(fā)，研究其更為深刻的實質(zhì)含義。因此，可以用時間信號在變換域中的表示來確定頻率特性定義。根據(jù)高等數(shù)學(xué)教程的有關(guān)內(nèi)容，任何一個時間函數(shù)f(t)，只要其滿足狄里赫萊條件，即則其付氏變換為存在。對應(yīng)的付氏反變換為由于積分運算是無窮小求和運算，因此付氏變換的物理意義在于：時域信號f(t)可以分解為頻譜分量無窮多，分量幅值無窮小的頻譜分量的線性組合。將付氏變換和拉氏變換(參見P21(2-41)式)對比可知，如果t<0時，f(t)=0,用j代替s，則拉氏變換就轉(zhuǎn)變成付氏變換。因此，付氏變換是拉氏變換的一種特殊情況。然而，付氏變換的要求卻比拉氏變換的要求嚴(yán)格多。例如，階躍函數(shù)的付氏變換就不存在?，F(xiàn)在來定義線性定常系統(tǒng)的頻率特性。已知線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，輸入信號r(t)，其付氏變換存在為R(j)系統(tǒng)的輸出信號為c(t)，其付氏變換為C(j)。由于只考慮輸入信號頻譜的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)，令s=j，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)成為G(j)。定義線性定常系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號的付氏變換C(j)與輸入信號的付氏變換R(j)之比，即將線性定常系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式與傳遞函數(shù)表達(dá)式對比可知，二者之間存在以下緊密關(guān)系由此可以得出以下重要結(jié)論：頻率特性和傳遞函數(shù)以及微分方程一樣，也表征了系統(tǒng)的運動規(guī)律，這就是頻率分析法能夠從頻率特性出發(fā)研究系統(tǒng)的理論根據(jù)。上述三種系統(tǒng)描述法的關(guān)系可用右圖說明。4-1-3頻率特性的數(shù)學(xué)表示及作圖1、極坐標(biāo)圖通常也稱為幅相圖、奈奎斯特(Nyquist)圖。根據(jù)G(j)的定義，用實頻特性和虛頻特性表示有也可用矢量式的幅值與相位表示，有當(dāng)頻率 從∞變到+∞時，G(j)在由實軸與虛軸構(gòu)成的復(fù)平面上越過的軌跡就稱為G(j)的極坐標(biāo)圖，如圖所示。由于實頻特性P()是頻率的偶函數(shù)，即P()=P()虛頻特性Q()是頻率的奇函數(shù)，即Q()=Q()因此，當(dāng)頻率從∞→0及從0→+∞時，G(j)正負(fù)頻率的曲線是關(guān)于實軸對稱的。通常只畫出正頻率曲線即可。如上頁圖中的實線所示。同理，幅頻特性A()是的偶函數(shù)，而相頻特性()則是的奇函數(shù)。G(j)的極坐標(biāo)圖繪制時需要取的增量逐點作出，因此不便于手工作圖。一般情況下，根據(jù)作圖原理，可以粗略地繪制出極坐標(biāo)圖的草圖。G(j)的極坐標(biāo)圖通常用于頻域穩(wěn)定性分析中。

2、對數(shù)坐標(biāo)圖通常也稱為波德(Bode)圖、對數(shù)頻率特性圖。它具有方便實用的特點，因而被廣泛地應(yīng)用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中。波德圖是根據(jù)頻率特性的矢量表達(dá)式繪制的。它用兩幅圖分別表示G(j)的幅值和相位的變化規(guī)律。通常，A()與()的作圖不方便，因此分別將它們變換如下。

對數(shù)幅頻特性L()

將幅頻特性的函數(shù)坐標(biāo)軸A()軸與自變量坐標(biāo)軸軸分別取對數(shù)作為新的坐標(biāo)軸，如圖所示。圖中的縱坐標(biāo)為刻度單位為Bell(貝爾)，如圖所示縱坐標(biāo)右邊的讀數(shù)是貝爾等分刻度。由于貝爾的單位值較大，通常令1貝爾=20分貝爾(decBell,縮寫成dB，簡稱分貝)，則上式成為這時，如圖所示縱坐標(biāo)左邊的讀數(shù)是20dB等分刻度。(dB)圖中的橫坐標(biāo)經(jīng)對數(shù)變換后成為lg，為等分刻度。如圖橫坐標(biāo)上邊所示是以lg作等分標(biāo)度的。為了使用方便，如圖橫坐標(biāo)下邊所示，在標(biāo)度時仍然標(biāo)以原來的頻率值。因此，刻度值就成為每十倍頻等分的了，這樣十倍頻刻度之內(nèi)為對數(shù)值刻度。經(jīng)過對數(shù)變換之后的幅頻特性L()稱為對數(shù)幅頻特性。如果把圖上P1定為=1，則=10對應(yīng)的P2與P1的距離為一個單位長度，與=100對應(yīng)的P3與P2的距離也是一個單位長度…故每變化十倍(稱為一個十倍頻程)，橫坐標(biāo)的間隔距離為一個單位長度。可見，橫坐標(biāo)對而言是不均勻的，但對lg來講卻是均勻的。每個十倍頻程中，與lg的對應(yīng)關(guān)系如表所示。由表可知，頻率每變化一倍(稱為一個倍頻程)，間隔距離為0.301單位長度。一個十倍頻程的距離為3.32個倍頻程的的距離。

對數(shù)相頻特性()

原相頻特性()縱坐標(biāo)不作任何變換，以角度等分值來標(biāo)度。

為了與對數(shù)幅頻特性L()的橫坐標(biāo)相一致，將橫坐標(biāo)作對數(shù)變換為lg，其刻度說明同前。經(jīng)過這樣處理后的相頻特性()稱為對數(shù)相頻特性，如圖所示。對數(shù)幅頻特性L()和對數(shù)相頻特性()兩條曲線統(tǒng)稱為對數(shù)頻率特性(即波德圖)。引例4-1的對數(shù)頻率特性如圖所示。

對數(shù)頻率特性的優(yōu)點(1)可以雙重展寬頻帶由于橫坐標(biāo)軸作了對數(shù)變換，一方面，將高頻分段各十倍頻程拉近，展寬了可視頻帶寬度。另一方面，又將低頻分段的各十倍頻程分得很細(xì)，展寬了表示頻帶寬度，便于細(xì)致觀察幅值、幅角隨頻率變化的程度。(2)可以采用簡便方法(即漸近線)繪制近似的對數(shù)幅頻曲線。引例4-1的L()曲線是由兩條漸近線構(gòu)成，僅在兩條漸近線的交點處產(chǎn)生較小誤差。(3)可以將幅值乘除化為加減，便于疊加作圖控制系統(tǒng)的頻率特性一般為因子相乘，如其對數(shù)幅頻特性為其對數(shù)相頻特性為由于L()和()分別均為各因子特性的疊加，因而作圖方便。4-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性4-2-1比例環(huán)節(jié)頻率特性為

極坐標(biāo)圖幅頻特性為相頻特性為極坐標(biāo)圖如圖所示。

波德圖

在波德圖上的兩條曲線分別為水平線，如圖所示。對數(shù)幅頻特性為對數(shù)相頻特性為4-2-2積分環(huán)節(jié)

頻率特性為

極坐標(biāo)圖

當(dāng)ω從0+→+∞，其幅角恒為90，幅值的大小與成反比。因此，曲線在負(fù)虛軸上，如圖所示。幅頻特性為相頻特性為

波德圖從而對數(shù)幅頻特性曲線為每十倍頻程衰減20dB的一條斜線。積分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性如圖所示。對數(shù)幅頻特性為對數(shù)相頻特性為4-2-3微分環(huán)節(jié)頻率特性為極坐標(biāo)圖當(dāng)ω從0+→+∞，其幅角恒為+90，幅值的大小與ω成正比。因此，曲線在正虛軸上，與積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖對稱，如圖所示。幅頻特性為

相頻特性為從而對數(shù)幅頻特性曲線為每十倍頻程增加20dB的一條斜線。波德圖

微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性如圖所示。

對數(shù)幅頻特性為對數(shù)相頻特性為4-2-4慣性環(huán)節(jié)頻率特性為

極坐標(biāo)圖慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖所示?？梢?，慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為下半圓。幅頻特性為相頻特性為波德圖對數(shù)幅頻特性下頁如圖所示。如果徒手近似作圖，可以采用漸近線。由于所以，當(dāng)趨于零時，是一條水平漸近線。由于所以，當(dāng)趨于無窮時，是一條每十倍頻程衰減20dB的斜漸近線(即斜率為-20dB/dec)。對數(shù)幅頻特性為兩條漸近線的交點處的頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率，其坐標(biāo)為對數(shù)相頻特性為它有三個特征角如下：(1)→0時，()→0(2)=1/T時，()→45(3)→∞時，()→90由于對于所有的頻率有故相頻特性()是單調(diào)減的，而且以轉(zhuǎn)折頻率為中心，兩邊的角度是反對稱的。對數(shù)相頻特性曲線如圖所示。從L()的曲線上可以看出，用漸近線作圖是存在近似誤差的，最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處。將=1/T代入L()的表達(dá)式，可算出最大誤差為因為最大誤差兩端的誤差是對稱的，故可以作出誤差修正曲線如圖所示，來修正漸近線作圖的誤差。從圖中可以看出，在轉(zhuǎn)折頻率處，最大誤差為3.01dB，兩端十倍頻程處的誤差降到0.04dB。所以，兩端十倍頻程之外的誤差可以忽略不計。4-2-5一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為

極坐標(biāo)圖當(dāng)由0→+∞時，實部始終為單位1，而虛部則隨著線性增長。其極坐標(biāo)圖如圖所示。幅頻特性為相頻特性為從上面的表達(dá)式可以看出，由于一階微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性是上下對稱的，可以利用一階慣性環(huán)節(jié)的波德圖作上下翻轉(zhuǎn)畫出，其對數(shù)頻率特性曲線如下頁圖所示。波特圖對數(shù)相頻特性為對數(shù)幅頻特性為4-2-6二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令T=1/n為二階系統(tǒng)的時間常數(shù)，代入上式有于是，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為

極坐標(biāo)圖其極坐標(biāo)圖如圖所示。從圖中可以看出，當(dāng)=0+時當(dāng)=1/T時幅頻特性為相頻特性為頻率特性與負(fù)實軸相交。并且值越小，虛軸上的交點離原點越遠(yuǎn)。當(dāng)→+∞時所以，曲線的模以幅角1800趨于零。另外，從圖上還可以看出，當(dāng)系統(tǒng)阻尼比較小時，幅頻特性(即曲線的模)超出了單位圓，有極大值(稱之為諧振峰值Mr)，對應(yīng)的頻率r稱為諧振頻率(或者峰值頻率)。在產(chǎn)生諧振峰值處，必有從而可以解出諧振頻率為顯然,r與值有關(guān)。當(dāng)時，r=0；當(dāng)時，r為虛數(shù),說明幅頻特性不存在諧振峰值；當(dāng)時，將其代入幅頻表達(dá)式，求得諧振峰值為波德圖根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。當(dāng)→0時，有這是一條水平漸近線(斜率為0dB/dec)；當(dāng)→∞時，有對數(shù)幅頻特性為顯然，上式為兩個積分環(huán)節(jié)的疊加。所以，第二條漸近線是一條斜率為40dB/dec的斜線。兩條漸近線的折線近似下頁如圖虛線所示。在圖上作出兩條漸近線，得到它們的交點坐標(biāo)為 由于阻尼比取值不同時，對數(shù)幅頻特性L()有無諧振峰值()，臨界諧振峰值(=0.707)和有諧振峰值(<0.707)三種情況，L()的準(zhǔn)確曲線如上頁圖實線所示。如前所述，對數(shù)相頻特性也有三個特征角度。(1)→0+時，()→0(2)=1/T時，()→90(3)→+∞時，()→180對數(shù)相頻特性并且當(dāng)取值不同時，()在頻率=1/T鄰域的角度變化率也不同，越小，變化越大。>0.707、=0.707和<0.707時三條對數(shù)相頻特性如圖所示。4-2-7二階微分環(huán)節(jié)頻率特性為極坐標(biāo)圖如圖所示由于二階微分環(huán)節(jié)與二階振蕩環(huán)節(jié)互為倒數(shù)，因此，其波德圖可以參照二階振蕩環(huán)節(jié)的波德圖翻轉(zhuǎn)畫出，如下頁圖所示。4-2-8延遲環(huán)節(jié)頻率特性為延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖所示。其波德圖如下頁圖所示。由于()隨的增長而線性滯后，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。幅頻特性為相頻特性為4-3控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性作圖4-3-1開環(huán)對數(shù)頻率特性作圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。其開環(huán)傳遞函數(shù)為因此，開環(huán)頻率特性為將Go(s)用零、極點因子的環(huán)節(jié)增益歸一表示式為上式包括了增益因子、一階因子和二階共軛復(fù)數(shù)因子，都是基本環(huán)節(jié)，故Go(j)的一般表達(dá)式可以寫為基本因子的乘積，即采用幅值和幅角表達(dá)式，為開環(huán)對數(shù)幅頻特性為開環(huán)對數(shù)相頻特性為上兩式表明，Lo()和o()分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。于是，可以分別繪制出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性Li()和對數(shù)相頻特性i()。然后，再分別疊加后得到Lo()和o()。從而，繪制出了Go(j)的波德圖。實際繪制波德圖時，可以不必繪制出各環(huán)節(jié)的Li()。而依照轉(zhuǎn)折頻率采用漸近線作出Lo()。這就是轉(zhuǎn)折漸近作圖。由于在很多情況下，可以省略o()的作圖。因此，這種方法又快又方便。轉(zhuǎn)折漸近作圖由開環(huán)傳遞函數(shù)其中，n=+n1+2n2----分母多項式次數(shù);m=m1+2m2----分子多項式次數(shù)。則作圖步驟如下：(1)確定Ko值，值和各個轉(zhuǎn)折頻率：并將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注在頻率軸上。(2)繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。其斜率為-20dB/dec，位置由下式確定：從而在低頻段作出Lo低。(3)以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向前進(jìn)，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率：當(dāng)遇到k時，斜率的變化量為+20dB/dec;當(dāng)遇到i時，斜率的變化量為20dB/dec;當(dāng)遇到l時，斜率的變化量為+40dB/dec;當(dāng)遇到j(luò)時，斜率的變化量為40dB/dec;依次得到的分段直線即為近似的對數(shù)幅頻特性。(4)分段直線的最后一段是對數(shù)幅頻特性的高頻漸近線,其斜率為20(n-m)dB/dec.從而可以在高頻段作出Lo高。(5)利用典型環(huán)節(jié)修正的方法對中頻段的分段直線進(jìn)行修正，從而得到準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻特性曲線Lo()。修正時應(yīng)考慮相鄰各環(huán)節(jié)的相互影響。對數(shù)相頻特性o()也可以直接利用相頻特性表達(dá)式進(jìn)行計算。事實上，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Go(s)以零、極點因子的環(huán)節(jié)增益歸一表達(dá)式表示時，其相頻特性為以及例4-3(P171)已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為作對數(shù)開環(huán)頻率特性。解：低頻段特性為在圖上作斜率為20dB/dec，過ω=1.58的斜線如圖所示。各轉(zhuǎn)折特性為將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率從小到大填入轉(zhuǎn)折漸進(jìn)表如下表所示，并填入相應(yīng)的轉(zhuǎn)折斜率。圖中的各段斜率分別簡略標(biāo)注為0----0dB/dec,1----20dB/dec,2----40dB/dec,另外，由于二階振蕩因子的阻尼比為=0.2。所以，在諧振頻率處，諧振峰值為對數(shù)峰值為在圖上作諧振峰值修正曲線如下頁圖所示。對數(shù)相頻特性作圖方法同前，徒手繪制開環(huán)對數(shù)相頻特性時，首先確定低頻段的相位角。例題系統(tǒng)的無差度為于是，低頻相位角為o低()=190=90其次確定高頻段的相位角，因為所以，高頻相位角為o高()=290=180之后從低頻段相位角出發(fā)，在每一個轉(zhuǎn)折頻率處，對于每一個一階因子45在圖上作出特征點，對于每一個二階因子90在圖上作出特征點。將上述特征點連線即得到例題系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性的草圖如圖所示。如果需要精確一些，可以選插值點作一些修正計算即可。4-3-2開環(huán)極坐標(biāo)作圖我們定性地討論控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Go(j)的一些特點，以幫助手工繪制其極坐標(biāo)圖。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，n+n1+2n2

mm1+2m2

極坐標(biāo)圖的起點極坐標(biāo)圖的起點是→0時，Go(j0+)在復(fù)平面上的位置。當(dāng)前向通路中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)大于零，→0時，有幅值的大小為幅角的大小為因此，極坐標(biāo)圖的起點位置與前向通路中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關(guān)。為不同值時，極坐標(biāo)圖的起點位置如圖所示。

極坐標(biāo)圖的終點極坐標(biāo)圖的終點是→+∞時，Go(+j∞)在復(fù)平面上的位置。當(dāng)→+∞時，有幅值的大小為幅角的大小為所以，極坐標(biāo)圖終點的入射角是不同的，入射角度的大小由分母多項式次數(shù)與分子多項式次數(shù)之差nm來決定。各種趨近情況如圖所示。

坐標(biāo)軸穿越點與單位圓穿越點坐標(biāo)軸穿越點與單位圓穿越點如圖所示。這兩類穿越除了要確定穿越位置之外，還需要作如下考慮。在坐標(biāo)軸穿越點鄰域需要確定的是在坐標(biāo)軸穿越頻率=x時，Go(jx)是以幅角增加方式還是以幅角減少的方式穿越坐標(biāo)軸。在單位圓穿越點鄰域需要確定的是在單位圓穿越頻率=y時，Go(jy)是以幅值增加方式還是以幅值減少方式穿越單位圓。例4-4(P174)已知單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)為試作其極坐標(biāo)草圖。解：由于=1，有所以起點位于負(fù)虛軸無窮遠(yuǎn)處。由于nm=2,有所以曲線以相位角180趨于原點。幅角為當(dāng)增加時，()是單調(diào)減的。由以上定性分析，可以作出極坐標(biāo)草圖如下頁圖(a)所示。極坐標(biāo)準(zhǔn)確圖如圖(b)所示。例4-5(P175)已知單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)為試作出極坐標(biāo)草圖。解：由于=2,有所以起點位于負(fù)實軸無窮遠(yuǎn)處。由于nm=3,有所以曲線以相位角270趨于原點。當(dāng)增加時，()從180先增后減。當(dāng)→+∞時，()減至270。幅角為所以可以算出曲線從第三象限穿越負(fù)實軸到第二象限。由以上分析，作出極坐標(biāo)草圖如下頁圖所示。圖中，增益K不同時，曲線穿越負(fù)實軸的位置不同。但是，穿越頻率x是相同的，曲線的形狀是相似的。開環(huán)幅相曲線繪制開環(huán)幅相曲線繪制方法：（1）由開環(huán)零點-極點分布圖，用圖解計算法繪制；（2）由開環(huán)幅頻特性和相頻特性表達(dá)式，用計算法繪制。（3）由開環(huán)頻率特性的實部和虛部表達(dá)式，用計算法繪制。概略地繪制幅相曲線的方法例設(shè)RC超前網(wǎng)絡(luò)，其傳遞函數(shù)試?yán)L制其幅相特性。例某零型反饋控制系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。與虛軸的交點：由于含有兩個慣性環(huán)節(jié)，當(dāng)由此可見，若包含n個慣性環(huán)節(jié)，則有由此可見，若包含n個慣性環(huán)節(jié)，m個一階微分環(huán)節(jié)，則有當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)包含有微分環(huán)節(jié)時，幅相曲線會出現(xiàn)凹凸，幅值和相位不再是單調(diào)變化的。例如開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時的開環(huán)幅相曲線例設(shè)某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)，試概略繪制開環(huán)幅相曲線，并進(jìn)行分析。起點與終點：幅相曲線的漸近線是橫坐標(biāo)為，平行與虛軸的直線令2型系統(tǒng)包含兩個積分環(huán)節(jié)，例如起點與終點：當(dāng)包含一階微分環(huán)節(jié)，這時的幅相曲線也可能出現(xiàn)凹凸，例如起點與終點：若T1大于其它時間常數(shù)，幅相曲線如圖所示，與實軸、虛軸的交點可以用對應(yīng)的實部、虛部表達(dá)式求出?；疽?guī)律：設(shè)（1）（2）（3）幅相曲線與實軸、虛軸的交點求取。（4）不包含一階微分環(huán)節(jié)，包含一階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線。0型3型2型1型3、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制設(shè)傳遞函數(shù)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，n個典型積分環(huán)節(jié)分別以表示，則有對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線是由n個典型環(huán)節(jié)對應(yīng)曲線的疊加后得到的。例設(shè)單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制近似對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線，并修正近似對數(shù)幅頻曲線。解：典型環(huán)節(jié)分別為繪制典型環(huán)節(jié)Bode圖的數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)折頻率對數(shù)幅頻特性曲線分析：（1）低頻段斜率為-20db/dec，斜率由積分個數(shù)所決定。（2），曲線的分貝值為20logK,左端直線與零分貝線的交點頻率為K值。（3）在慣性環(huán)節(jié)交接頻率11.5(rad/sec)處，斜率從-20db/dec變?yōu)?40db/dec。16.9dB一般近似對數(shù)幅頻特性的特點：（1）最左端直線斜率為（2）的分貝值，最左端直線及其延長線的分貝值為20logK。（4）最左端直線（或其延長線）與零分貝線的交點頻率（3）在交接頻率處，曲線斜率發(fā)生改變，改變的多少取決于典型環(huán)節(jié)的類型。例試?yán)L制以下傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻曲線解：（1）（2）繪制最左端的直線：斜率-20dB/dec直線，在過17.5(dB)這一點的直線?；蚶L制過零分貝線的這一點的斜率為-20dB/dec的直線。（3）根據(jù)各環(huán)節(jié)的交接頻率繪制近似對數(shù)幅頻特性。（4）修正近似的對數(shù)幅頻特性。4-3-3最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)是一類最普遍的系統(tǒng)。引例5-6(P176)已知兩個系統(tǒng)G1(j)和G2(j)如下：對于G1(j)，有對于G2(jω)，有所以，兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性是相同的。但是G1(j)的相頻特性為G2(j)的相頻特性為所以兩系統(tǒng)的相頻特性是不同的，且G1(j)比G2(j)有更小的相位角。兩系統(tǒng)的波德圖如上頁圖所示。因此，定義開環(huán)零點與開環(huán)極點全部位于左半s平面的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的重要特征在于：幅頻特性與相頻特性有確定的關(guān)系。因此，在利用對數(shù)頻率特性對最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析或綜合時，常常只需畫出和利用對數(shù)幅頻特性曲線，而可以以省略相頻特性作圖。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)穩(wěn)定，而且在右半s平面沒有零點。否則就是非最小相位系統(tǒng)。舉例：對于最小相位系統(tǒng)：幅頻特性與相頻特性具有一一對應(yīng)關(guān)系；而非最小相位系統(tǒng)就沒有這樣的關(guān)系。如已知最小相位系統(tǒng)的幅頻特性就可以直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：不穩(wěn)定環(huán)節(jié)（1）不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)（2）不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性num1=1;den1=[0.51];bode(num1,den1)num2=1;den2=[0.5-1];bode(num2,den2)不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線和對數(shù)頻率特性不穩(wěn)定一階微分環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線和對數(shù)頻率特性num=1;den=[1/4-1/21];bode(num,den)不穩(wěn)定的二階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線、對數(shù)頻率特性曲線num=[1/4-1/21];den=1;bode(num,den)延遲環(huán)節(jié)幅相曲線：復(fù)平面上單位圓，圓心在原點，半徑為1。對數(shù)頻率特性：延遲環(huán)節(jié)是非最小相位系統(tǒng)。例繪制以下具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性幅相特性和對數(shù)頻率特性4-4頻率穩(wěn)定性判據(jù)

頻域穩(wěn)定性判據(jù)又稱為奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)依據(jù)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，并且還可以提供相對穩(wěn)定性的信息。因此，奈氏判據(jù)不僅用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，而且還可以更方便地用于控制系統(tǒng)的設(shè)計與綜合。4-4-1開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，M(s)為m次分子多項式，N(s)為n次分母多項式，且nm。滿足方程M(s)=0的s值，稱為系統(tǒng)的開環(huán)零點。滿足方程N(s)=0的s值，稱為系統(tǒng)的開環(huán)極點?？刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中，滿足方程M(s)+N(s)=0的s值，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)極點。作輔助函數(shù)F(s)，即系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為滿足方程N(s)+M(s)=0的s值，是輔助多項式F(s)的零點，同時又是系統(tǒng)的閉環(huán)極點。滿足N(s)=0的s值，既是輔助多項式F(s)的極點，又是系統(tǒng)的開環(huán)極點。輔助多項式F(s)把系統(tǒng)的開環(huán)極點和閉環(huán)極點包含在同一個表達(dá)式中。這樣的關(guān)系如下所示←F(s)的零點,同時又是閉環(huán)極點←F(s)的極點,同時又是開環(huán)極點且由于nm，故系統(tǒng)的閉環(huán)極點數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)。將s=j代入F(s)，得到輔助函數(shù)F(s)的頻率特性4-4-2頻域穩(wěn)定性判據(jù)

1、米哈依洛夫定理奈氏判據(jù)的理論基礎(chǔ)是米哈依洛夫定理，可以敘述如下。設(shè)D(s)是s的n次多項式，即D(s)=0的n個根中有p個在右半平面，其余的(np)個均在左半平面，如圖所示。令s=j，則其中，----偶函數(shù)----奇函數(shù)當(dāng)由0變化到∞時，向量D(j)的幅角的增量為：以上就是米哈依洛夫定理的內(nèi)容?，F(xiàn)證明如下：將D(s)進(jìn)行因式分解，有其中，P1，P2,…，Pn是D(s)=0的根。令s=j，則現(xiàn)在研究上式中的某一個因子Di(j)首先考慮Pi在左半s平面的情況，即在圖上畫出向量Di(j)，j和Pi。其中，若Pk在右半s平面，如圖所示，則由∞變到+∞時，向量Dk(j)的幅角增量是從圖上可以看出，當(dāng)由∞變到+∞時，向量Di(j)的幅角增量(逆時針為正)是根據(jù)上兩式和向量相乘的規(guī)則，向量D(j)當(dāng)由∞變到+∞時，幅角增量是由于D（j）是關(guān)于實軸對稱的，因此只需研究由0變到+∞時向量D（j）的幅角變化量。因為圖形的對稱性，顯然有由此，米哈依洛夫定理得到了證明。2、奈氏判據(jù)已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Go(j)，則根據(jù)輔助函數(shù)F(j)的定義，當(dāng)由0變到∞，F(xiàn)(j)的幅角的增量為由于N(s)=0是系統(tǒng)的開環(huán)特征方程，而N(s)+M(s)=0是系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，因此由米哈依洛夫定理和上式就可以得到奈氏判據(jù)。假設(shè)N(s)=0的根(即系統(tǒng)的開環(huán)極點)全部在s平面的左、右半部，在虛軸上和坐標(biāo)原點沒有根。由閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：N(s)+M(s)=0的根全部在左半s平面，則根據(jù)米哈依洛夫定理，應(yīng)有若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，并設(shè)N(s)=0有p個根在右半s平面，則根據(jù)米哈依洛夫定理，應(yīng)有于是，有由上式可知，若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有p個開環(huán)極點在右半s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：當(dāng)由0變到∞時，F(xiàn)(j)的幅角的增量為p,即F(j)的軌線隨著的增加逆時針包圍復(fù)平面F(j)的原點p/2圈。通?？偸窍Ｍ孟到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。要做到這一點很容易。由包圍F(j)平面的原點就相等于包圍G(j)平面的(-1,j0)點，兩平面的關(guān)系為平移關(guān)系，如圖所示。開環(huán)頻率特性Go(j)的極坐標(biāo)圖是畫在G(j)平面上的。所以，可以利用系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。頻域穩(wěn)定性判據(jù)(奈氏判據(jù))

若系統(tǒng)有p個開環(huán)極點在右半s平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：Go(j)的幅角的增量為即開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)軌線Go(j)逆時針包圍G(j)平面的(-1,j0)點p/2圈。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù)：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點：開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性奈氏判據(jù)可推廣到某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)G(s)、反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)分別為若G(s)和H(s)沒有零點與極點相消，則有設(shè)輔助函數(shù)注意：*（1）輔助函數(shù)的零點是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點輔助函數(shù)的極點是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點（2）輔助函數(shù)的零、極點個數(shù)相同（3）F(s)與G(s)H(s)在復(fù)平面上的幾何關(guān)系幅角原理

從s平面上任一點s，通過F(s)的影射關(guān)系，在F(s)平面上的找到相應(yīng)的象。設(shè)：在s平面上選擇一個A點開始，作一條順時針包圍某個零點的圍線，其不包圍也不通過其它極點和零點。在F(s)平面上，F(xiàn)(s)是對應(yīng)于從B點出發(fā)又回到B的圍線。設(shè)分別是向量沿著圍線順時針繞行一周的相角變化量?？疾靤沿著圍線F(s)的相位變化量為結(jié)論：這表明：F(s)曲線從B開始，繞原點順時針方向轉(zhuǎn)了一圈。若在s平面的順時針圍線內(nèi)，包圍的是某個極點，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點逆時針方向轉(zhuǎn)了一圈。即幅角原理：如果在圍線內(nèi)有Z個零點、P個極點，則s沿著順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為R=P-Z當(dāng)R為負(fù)，表明是順時針包圍的圈數(shù)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在s平面上的圍線擴(kuò)展到整個右半s平面（包括虛軸），這時R=P-ZP：輔助函數(shù)F(s)在右半s平面的極點數(shù)Z：輔助函數(shù)F(s)在右半s平面的零點數(shù)，即閉環(huán)的極點數(shù)注意到輔助函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系：F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)圍繞（0，j0)的圈數(shù)G(s)H(s)圍繞（-1，j0）的圈數(shù)。又由輔助函數(shù)的定義：F(s)的分子多項式就是閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0，則有R=P即：G(s)H(s)逆時針包圍（-1，j0）點的次數(shù)=右半s平面開環(huán)極點數(shù)。當(dāng)特征方程有純虛根，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，G(s)H(s)曲線（奈奎斯特曲線）過（-1，j0）點，此時圈數(shù)R是不定的。奈奎斯特判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：奈奎斯特曲線反時針包圍（-1，j0）點的圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)P，即R=P。（1）若P=0，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：奈氏曲線不包圍（-1，j0)點。（2）若，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，在右半s平面上閉環(huán)特征根的個數(shù)Z=P-R。例設(shè)單位反饋系統(tǒng)的試用奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）繪制的曲線。系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的。（2）用奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例具有單位反饋的非最小相位系統(tǒng)試分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）繪制奈氏曲線（2）若R=P=1，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。這就要求K>1；當(dāng)K=1系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定。2、開環(huán)系統(tǒng)（傳遞函數(shù)）臨界穩(wěn)定時，奈氏圍線的修改開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在虛軸上有極點（開環(huán)極點），則就是輔助函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)的奇點，而奈氏圍線不允許通過奇點，為此需對奈氏圍線進(jìn)行修改，如圖所示。例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)修改后奈氏圍線的映射有一個開環(huán)極點s=0，作無窮小半徑的圍線。

在圍線上S在無窮小半圓上逆時針轉(zhuǎn)過半圈，映射到G(s）平面上則為一條順時針繞行半圈的圓弧曲線，半徑為無窮大對于型系統(tǒng)，在G(s)平面上，半徑為無窮大，順時針方向繞行個半圈的圓弧曲線。3、判斷穩(wěn)定性的實用方法繪制的奈氏曲線，按奈氏曲線包圍臨界點圈數(shù)N和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)P，確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)。若Z=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則閉環(huán)不穩(wěn)定。對于型系統(tǒng)的奈氏曲線：補(bǔ)畫一條半徑為無窮大，逆時針方向繞行的圓弧，這樣可得完整的部分奈氏曲線。例設(shè)單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：開環(huán)幅相大致曲線如圖所示曲線順時針包圍（-1，j0）點一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。用在區(qū)間，奈氏曲線的正、負(fù)穿越的次數(shù)來確定N

4-4-3頻域穩(wěn)定性分析

1、最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)零、極點全部在左半s平面上，因而滿足奈氏判據(jù)的p=0的情況，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為即開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)軌線Go(j)不包圍G(j)平面的(-1,j0)點。例4-7(P181)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為討論開環(huán)增益K的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：這是一個三階系統(tǒng)，沒有開環(huán)零點，且開環(huán)極點全部位于左半s平面，因此是最小相位系統(tǒng)。作極坐標(biāo)草圖，先計算極限值：=0時，有

→∞時，有且增加時有依此作極坐標(biāo)草圖如圖所示。判別當(dāng)K小時，極坐標(biāo)軌線圍繞（-1,j0)點的角度增量為不包圍(-1,j0)點，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)K大時，圍繞(-1,j0)點的角度增量為由于圍繞(-1,j0)點轉(zhuǎn)了-1圈，不等于零，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2、原點處有開環(huán)極點的情況當(dāng)原點處存在開環(huán)極點時，其表達(dá)式為由于開環(huán)極點因子G(s)=1/s既不在左半s平面上，也不在右半s平面上，當(dāng)由0變到∞時，原點處開環(huán)極點的幅角增量值是不定的，因而不能應(yīng)用幅角增量公式來計算。對于這種情況，可以認(rèn)為原點處的開環(huán)極點屬于左半s平面。在數(shù)學(xué)作如下處理：在s平面的s=0的鄰域作一半徑為無窮小的半圓繞過原點，如下頁圖所示。這樣，當(dāng)由0增加到0+時，原點處就已經(jīng)獲得了+/2的增量。相應(yīng)地，作為復(fù)變函數(shù)G(s)=1/s，由復(fù)變函數(shù)的保角定理可得，在G(j)平面上的無窮大半圓處也就獲得-/2的幅角增量。因此，可以在G(j)平面上的無窮大半圓處作增補(bǔ)線，如上頁圖所示。得到相應(yīng)的增補(bǔ)角為-/2。如果原點處的開環(huán)極點有個，則在G(j)平面上的無窮大半圓處作所增補(bǔ)線就滿足的增補(bǔ)角為.(-/2)。這樣，當(dāng)系統(tǒng)在原點處有開環(huán)極點時，計算幅角增量需要計入相應(yīng)的增補(bǔ)角，以保證計算的正確性。例4-8(P182)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1)作極坐標(biāo)圖=0時，有可以確定系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的起點為0-j∞→∞時，有可以確定系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的終點為0+j0,即原點且增加時有依此作極坐標(biāo)草圖如圖所示。（2）穩(wěn)定性判別系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，所以穩(wěn)定條件為由于原點處有一個開環(huán)極點，=1，作增補(bǔ)角如上頁圖所示。當(dāng)K小時，極坐標(biāo)軌線圍繞(-1，j0)點的角度增量為(增補(bǔ)角)（原角度）不包圍(-1,j0)點，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)K大時，圍繞(-1,j0)點的角度增量為(增補(bǔ)角)（原角度）由于圍饒(-1,j0)點轉(zhuǎn)了1圈，不等于零，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。3、非最小相位系統(tǒng)對于非最小相位系統(tǒng)，首先要判別的是在右半s平面上有沒有開環(huán)極點。如果有，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為如果非最小相位系統(tǒng)是由右半s平面的開環(huán)零點確定，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為例4-9(P183)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)在右半s平面有一個開環(huán)極點，p=1，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為另外，原點處有一個開環(huán)極點，=1，需要作增補(bǔ)線，使得增補(bǔ)角為-/2。因此，按照下面步驟作極坐標(biāo)圖：

=0時，有

→∞時，有幅值A(chǔ)()單調(diào)減，幅角()單調(diào)增，并且在=x時，軌線穿過負(fù)實軸。按照上述曲線變化趨勢作極坐標(biāo)圖如圖所示。由于=1，作增補(bǔ)線如圖。因為p=1，滿足穩(wěn)定條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因為p=1，不滿足穩(wěn)定判據(jù)的條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)K小時，極坐標(biāo)軌線圍繞(-1，j0)點的角度增量為(增補(bǔ)角)（原角度）當(dāng)K大時，極坐標(biāo)軌線圍繞(-1，j0)點的角度增量為(增補(bǔ)角)（原角度）4-4-4波德圖上的穩(wěn)定性判據(jù)

1、極坐標(biāo)圖與波德圖的對應(yīng)奈氏判據(jù)除了可以表示在極坐標(biāo)圖上，還可以表示在波德圖上。對于工程中最經(jīng)常出現(xiàn)的最小相位系統(tǒng)，采用波德圖表示，不僅應(yīng)用起來更為方便和直觀，而且還能得到有關(guān)系統(tǒng)校正設(shè)計方面的信息。引例4-10(P184)前述例題4-7，其開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響如下頁圖所示。從圖中可以看出，當(dāng)K小時，奈氏軌線(即極坐標(biāo)軌線)不包圍(-1，j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)K臨時，奈氏軌線穿過(-1，j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；當(dāng)K大時，奈氏軌線包圍(-1，j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。從圖中還可以看出，當(dāng)軌線穿過單位圓時(即當(dāng)模為1時)，有：穩(wěn)定系統(tǒng)，相角大于-；臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，相角等于-；不穩(wěn)定系統(tǒng)，相角小于-。這樣就得到了在波德圖上的奈氏判據(jù)。

當(dāng)對數(shù)幅頻特性穿過0dB線時，相角大于-，即時則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

或者當(dāng)對數(shù)相頻特性為-時，對數(shù)幅頻特性小于0dB，即時則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。上述波德圖上的奈氏判據(jù)，只適用于最小相位系統(tǒng)，對于非最小相位系統(tǒng)，雖然也可以推導(dǎo)出在波德圖上的等價判據(jù)，但由于有多種情況存在，沒有多少應(yīng)用價值。利用波德圖，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，還可以確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即：如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，那么相位角還差多少度，或增益再增大多少倍，系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么相位角還需要改善多少度或者增益值需要減小到多大，不穩(wěn)定系統(tǒng)就成為穩(wěn)定系統(tǒng)了。

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)的依據(jù)是和奈氏穩(wěn)定判據(jù)的依據(jù)是一樣的，關(guān)鍵是在對數(shù)頻率特性圖（對數(shù)幅頻圖和對數(shù)相頻圖）上如何確定N?？疾煲韵麻_環(huán)幅相曲線與Bode圖的對應(yīng)情況：當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)包括積分環(huán)節(jié)時，在對數(shù)相頻特性上要補(bǔ)畫這一段頻率變化范圍的相角變化曲線。

例如系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點數(shù)P，開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線對-180o線的正、負(fù)穿越之差，然后確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)考察圖示系統(tǒng)的奈氏曲線P=0（1）開環(huán)增益K增加到足夠大，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。（2）開環(huán)增益足夠小，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

2、穩(wěn)定裕度基于波德圖上的奈氏判據(jù)，可以在波德圖上定義兩個開環(huán)頻域的性能指標(biāo)，稱為開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，其中的一個為幅值裕度Lg，另一個為相位裕度c,它們的幾何表示如圖所示。

幅值裕度Lg令對數(shù)相頻特性()穿過-180線時的頻率為g(通常稱之為開環(huán)穿越頻率)，此時的幅值為A(g),增大Kg倍后為單位1(穿過單位圓)，即于是從而定義幅值裕度Lg為由Lg的定義可知：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則Lg>0dB(Kg>1);若系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，則Lg=0dB(Kg=1);若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則Lg<0dB(Kg<1)。Lg作為定量值指出了，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)的開環(huán)增益Ko再擴(kuò)大多少倍系統(tǒng)就不穩(wěn)定了，或者在波德圖上開環(huán)對數(shù)幅頻特性Lo(ω)再向上移動多少分貝系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果是不穩(wěn)定系統(tǒng)，與上述描述相反。

相位裕度c令對數(shù)幅頻特性L()穿過0dB線時的頻率為c(通常稱之為開環(huán)截止頻率)，則定義相位裕度c為顯然，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則c>0；若系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，則c=0；若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則c<0。

c作為定量值指出了，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性o()還需要改善多少度就成為穩(wěn)定的了。如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，與上述描述相反。Lg和c可以用來作為控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域性能指標(biāo)來定量描述系統(tǒng)的性能。在實際中，Lg和c通常是成對應(yīng)用的。雖然在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時經(jīng)常僅使用一個裕度指標(biāo)，但當(dāng)c較大而Lg較小時，對系統(tǒng)的動態(tài)性能的影響很大。必須強(qiáng)調(diào)指出的是，這里定義的穩(wěn)定裕度僅適用于最小相位系統(tǒng)。例4-11(P187)已知單位反饋的最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖所示，(1)試求開環(huán)傳遞函數(shù)