曲面方程的概念柱面

第七章解析幾何向量代數(shù)

常見二次曲面第四節(jié)上頁下頁返回結(jié)束曲面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面一、曲面方程的概念在空間直角坐標(biāo)系中,如果曲面

S

與方程定義:F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;

F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足方程,則稱F(x,y,z)=0為曲面S的方程,稱曲面S為方程上頁下頁返回結(jié)束上頁下頁返回結(jié)束空間解析幾何研究的兩個基本問題:(1)已知動點的運動規(guī)律,求動點坐標(biāo)滿足的方程;例1:一動點與二定點A(2,－3,2)及B(1,4,－2)等距離,求動點的軌跡方程.解:設(shè)動點坐標(biāo)為M(x,y,z),平面方程故所求方程為特別地,當(dāng)球心為坐標(biāo)原點時,球面方程為設(shè)球面上動點坐標(biāo)為M(x,y,z),即依題意半徑為

R

的球面方程.上頁下頁返回結(jié)束例2.求球心為解:上頁下頁返回結(jié)束(2)已知曲面方程F(x,y,z)=0,求方程所表示的曲面的形狀.解:曲面的形狀.所表示例3.研究方程配方得:這方程所表示的是球心在點半徑為3的球面.1.定義.一平面曲線

繞該平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:上頁下頁返回結(jié)束二、旋轉(zhuǎn)曲面曲線C2.旋轉(zhuǎn)曲面方程的建立繞o

z軸上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)一周y

zoCx得旋轉(zhuǎn)曲面SSM(x,y,z)SMN從而得旋轉(zhuǎn)曲面S方程：N點在曲線C上,滿足曲線方程M,N兩點豎坐標(biāo)相同M,N兩點到oz軸距離相等坐標(biāo)面yoz面上的曲線C即：繞oz軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：上頁下頁返回結(jié)束繞oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：坐標(biāo)面zox面上的曲線C繞oz軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：上頁下頁返回結(jié)束繞ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：坐標(biāo)面xoy面上的曲線C繞ox軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：上頁下頁返回結(jié)束繞oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為：xOzy上頁下頁返回結(jié)束繞x軸一周.例4.將下列各曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．1.雙曲線得雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面axyoz上頁下頁返回結(jié)束2.上述雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周.得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面z

yox上頁下頁返回結(jié)束3.兩條相交直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周.得圓錐面當(dāng)a=b=1時,圓錐面為y.oxz旋轉(zhuǎn)拋物面上頁下頁返回結(jié)束4.拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,得a=1時,為yxo繞y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面.上頁下頁返回結(jié)束5.z環(huán)面得引例.方程表示什么曲面?將此直線平行于z軸沿圓C移動所形成的曲面，解:所以在空間解析幾何中,過此點作平行z軸的直線l,則此直線上的點的坐標(biāo)都滿足方程表示圓柱面.一點上頁下頁返回結(jié)束平面解析幾何:表示xOy坐標(biāo)面上的圓.空間解析幾何:在xOy面上的圓C上任取顯然是圓柱面.三、柱面即方程表示的曲面,平行于定直線并沿定曲線C移動的動直線l的軌跡叫做柱面.C叫做準(zhǔn)線,l

叫做(直)母線.表示表示平行于z軸的平面.表示上頁下頁返回結(jié)束拋物柱面,橢圓柱面.一般地,例5.畫出下列方程所表示的曲面:zxy=0yo上頁下頁返回結(jié)束雙曲柱面表示xzy0母線準(zhǔn)線

(不含z)S表示平行于z軸的一張柱面上頁下頁返回結(jié)束一般地,F(x,y)=0母線準(zhǔn)線xzy0表示母線平行于x軸的柱面上頁下頁返回結(jié)束

(不含x)同理,F(y,z)=0方程F(z,x)=0

(不含y)表示母線平行于y軸的柱面三元二次方程下面介紹幾種常見的二次曲面:橢球面、拋物面、通過截痕法研究這幾類二次曲面的特性.前面介紹過的雙曲柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面等都是二次曲面.雙曲面、錐面.表示的曲面稱為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)上頁下頁返回結(jié)束四、二次曲面標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)范圍：1.橢球面(2)截痕截曲面,得:用橢圓abcyx

zo截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越小,時,橢圓縮變?yōu)辄c上頁下頁返回結(jié)束截曲面,得:用橢圓abcyx

zo截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越小,時,橢圓縮變?yōu)辄c上頁下頁返回結(jié)束截曲面,得:用橢圓abc截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越小,時,橢圓縮變?yōu)辄cyx

zo上頁下頁返回結(jié)束abcyx

zo(1)當(dāng)a,b,

c中有兩個數(shù)相同時,(2)當(dāng)a＝b＝c時,上頁下頁返回結(jié)束標(biāo)準(zhǔn)方程:1.橢球面注:方程表示旋轉(zhuǎn)橢球面;方程表示球面.xzy0(1)橢圓拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程:上頁下頁返回結(jié)束2.拋物面截痕:用z=0截曲面,得點(0,0,0);截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越大;xzy0(1)橢圓拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程:上頁下頁返回結(jié)束用y=0截曲面,得截曲面,得:用拋物線拋物線用x=0截曲面,得拋物線截曲面,得:用拋物線當(dāng)p=q時,注:方程表示旋轉(zhuǎn)拋物面.xzy0截痕:雙曲線上頁下頁返回結(jié)束(2)雙曲拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程:用z=0截曲面得,兩條相交直線截曲面,得:用xzy0上頁下頁返回結(jié)束(2)雙曲拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程:拋物線截曲面,得:用截曲面,得:用拋物線xzy0上頁下頁返回結(jié)束

（馬鞍面）(2)雙曲拋物面標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)單葉雙曲面上頁下頁返回結(jié)束3.雙曲面xyoz截痕:橢圓雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:截曲面,得：用截曲面,得：用截曲面,得：用當(dāng)a=b時,注:方程表示單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.上頁下頁返回結(jié)束(2)雙葉雙曲面oxyz無截痕；截痕:雙曲線雙曲線oxyz截曲面,得：用兩點.橢圓；截曲面,得：用截曲面,得：用當(dāng)a=b時,注:方程表示雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.上頁下頁返回結(jié)束4.橢圓錐

面oxyz截痕:雙曲線雙曲線截曲面,得：用得點(0,0,0);橢圓；截曲面,得：用截曲面,得：用當(dāng)a=b時,注:方程表示圓錐面.兩條相交直線；兩條相交直線；內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.常用:橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.上頁下頁返回結(jié)束三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面