《理論力學(xué)》、《工程力學(xué)》的

與——解題方法總結(jié)暨競(jìng)賽輔導(dǎo)系列講座之四：動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)提高理學(xué)院力學(xué)教研室主要內(nèi)容一、動(dòng)力學(xué)普遍定理的結(jié)構(gòu)二、動(dòng)量法的應(yīng)用及常見(jiàn)錯(cuò)誤三、能量法的應(yīng)用及一般步驟四、突解約束問(wèn)題五、雜題舉例一、動(dòng)力學(xué)普遍定理的結(jié)構(gòu)動(dòng)能定理積分式微分式機(jī)械能守恒定律功率方程動(dòng)量定理積分式微分式?jīng)_量定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)量矩定理沖量矩定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理微分式積分式剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程矢量方程，運(yùn)動(dòng)與外力的關(guān)系標(biāo)量方程，運(yùn)動(dòng)與作功力的關(guān)系內(nèi)容之二動(dòng)量法的應(yīng)用及常見(jiàn)錯(cuò)誤圖示均質(zhì)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，其上繞以細(xì)繩，繩懸掛一重為P的重物?，F(xiàn)在盤(pán)上加一力偶矩為的M力偶，設(shè)圓盤(pán)的角加速度為，問(wèn)如下等式是否成立？MP正確的是：答：不成立。另一方面：若對(duì)輪使用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，繩子的拉力并不等于重物的重力，重物加速向上或向下會(huì)產(chǎn)生超重或失重的現(xiàn)象。錯(cuò)誤原因：一方面：若對(duì)系統(tǒng)使用動(dòng)量矩定理，上面等式中沒(méi)有考慮到重物的慣性。二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤圖示鼓輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，懸掛的重物的重量分別為P1、P2，求輪的角加速度的計(jì)算公式是否正確？P2P1O圖示兩齒輪對(duì)各自軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，求輪Ⅱ的角加速度的計(jì)算公式是否正確？O1O2M二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤厚度及密度均相等的二大小均質(zhì)圓盤(pán)，用鉚釘固結(jié)在一起，將大盤(pán)的一面靜止地放在光滑水平面上，在大盤(pán)上受有力偶的作用，力偶矩為2FR，如圖所示。已知兩圓盤(pán)的質(zhì)量分別為m1=4kg、m2=1kg，半徑R=2r=100mm，F(xiàn)=100N。試求其角加速度，又繞哪點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)？（1）根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知：系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒，因初始靜止，故質(zhì)心位置不動(dòng)。解：取大、小兩圓盤(pán)組成質(zhì)點(diǎn)系。（2）由質(zhì)心坐標(biāo)公式確定質(zhì)心位置：質(zhì)心C在O、O1點(diǎn)之間，距O點(diǎn)OC=r/5=20mm（3）求系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：（4）根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理求角加速度：FFORrO1C二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤一均質(zhì)輪的半徑為R、質(zhì)量為m，在輪的中心有一半徑為r的軸，軸上繞兩條細(xì)繩，繩端各作用一不變的水平力F1和F2，其方向相反，如圖所示。如輪對(duì)其中心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，且輪只滾不滑，求輪中心O的加速度。RrF1F2F1F2mgaFNFsO對(duì)輪，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：解：以上方程聯(lián)立求解可得：二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤一細(xì)繩繞在半徑為r＝0.5m，質(zhì)量為m=15kg的均質(zhì)圓盤(pán)上，在繩的一端有常力FT=180N向上拉動(dòng)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)。求（1）圓盤(pán)中心的加速度；（2）圓盤(pán)的角加速度；（3）細(xì)繩的加速度。rCAFTrCAFTmgαaCaC(aa)aCA(ar)aA(ae)C取輪心C為動(dòng)點(diǎn)，繩子（直線段）為動(dòng)系ae=aa-ar=aC-rα二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤aCαhRPPFNFSOCmgaC例：圖示均質(zhì)磙子的質(zhì)量為m，半徑為R，對(duì)其質(zhì)心軸C的回轉(zhuǎn)半徑為ρ。磙子靜止在水平面上，且受一水平拉力P作用。設(shè)拉力P的作用線的高度為h，磙子只滾不滑，滾動(dòng)摩阻忽略不計(jì)。求靜滑動(dòng)摩擦力Fs

，并分析Fs的大小和方向與高度h的關(guān)系對(duì)輪，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：解：以上方程聯(lián)立求解可得：時(shí)，方向如圖。二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤例

圖示的傳動(dòng)系統(tǒng)，已知主動(dòng)輪A的半徑為r1，它與電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，從動(dòng)輪B的半徑為r2，它與輸出軸對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，均質(zhì)膠帶長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m。假如電機(jī)啟動(dòng)后，作用在傳動(dòng)軸A上的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為M，求主動(dòng)輪的角加速度。ABMAMFAxFAyFT1FT2BFBxFByFT2’FT1’注：輪和膠帶的重力對(duì)輪軸的力矩為零，故圖中沒(méi)有將這些重力畫(huà)出。二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：分別對(duì)軸A、B，由動(dòng)量矩定理得：將運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系與上面2式聯(lián)立得：整理得：兩邊膠帶張力之差為：圖示均質(zhì)圓柱體A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，在其中部繞以質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩。求：（1）圓柱體B下落時(shí)軸心的加速度。運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：聯(lián)立解得：解：分別以輪A、B為研究對(duì)象。BOABmg

aB

FT1

OAmg

FT1

對(duì)A：對(duì)B：二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程得：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：聯(lián)立解得：解：Bmg

aB

FT1

對(duì)A：對(duì)B：圖示均質(zhì)圓柱體A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為r，在其中部繞以質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩。求：（2）若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針的力偶M，能使圓柱體B質(zhì)心加速度向上的條件。BOAMOAmg

FT1

M為使aB>0：二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤如圖所示，質(zhì)量為m的小車(chē)置于光滑水平面上。在小車(chē)的斜面上，放一質(zhì)量為m1的均質(zhì)圓柱。設(shè)圓柱與斜面間的靜摩擦系數(shù)為fS，試分析使圓柱在斜面上作純滾動(dòng)的條件。θθFFNFsamg（1）研究小車(chē)，平動(dòng)，列寫(xiě)牛二方程：（2）研究輪C，平面運(yùn)動(dòng)，列寫(xiě)平面運(yùn)動(dòng)微分方程為：FNFsm1gaarαCxx取小車(chē)為動(dòng)系，輪心C為動(dòng)點(diǎn)，作加速度分析，以建立aCx、aCy與a、α間的關(guān)系：故其中解得二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤（3）上面6個(gè)方程（4個(gè)動(dòng)力學(xué)方程+2個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件）聯(lián)立，解得：解得Fs、FN后，利用：得圓柱在斜面上純滾動(dòng)的條件：二、動(dòng)量法的應(yīng)用常見(jiàn)錯(cuò)誤內(nèi)容之三能量法的應(yīng)用及一般步驟三、能量法的應(yīng)用及一般步驟P2DO1AEIBFO2P1QQaAaBvAvB圖示滑輪組中，定滑輪和動(dòng)滑輪的重量均為Q，半徑均為R，可視為均質(zhì)圓盤(pán)。重物A重P1重物B重P2，且P1>P2+Q。求重物B的加速度。vO2三、能量法的應(yīng)用及一般步驟已知：桿O1O2=l，重Q；力偶矩M；均質(zhì)輪半徑r，重P。求曲柄從靜止由水平位置轉(zhuǎn)過(guò)一角度后的角速度。O1O2rMv2質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB放在水平桌面上，其質(zhì)心C到桌邊緣O的距離為d。該桿從水平位置由靜止釋放，開(kāi)始圍繞桌子邊緣O轉(zhuǎn)動(dòng)。若桿與桌邊緣O之間的靜摩擦系數(shù)為fS，試求開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)桿AB與水平面之間的夾角。OABmgCFNFsatCanCαθω三、能量法的應(yīng)用及一般步驟三、能量法的應(yīng)用及一般步驟例

圖示的傳動(dòng)系統(tǒng)，已知主動(dòng)輪A的半徑為r1，它與電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，從動(dòng)輪B的半徑為r2，它與輸出軸對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，均質(zhì)膠帶長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m。假如電機(jī)啟動(dòng)后，作用在傳動(dòng)軸A上的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為M，求主動(dòng)輪的角加速度。ABM系統(tǒng)的動(dòng)能：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：利用運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，動(dòng)能以ω1表達(dá)為：主動(dòng)力（力偶）功率：由功率方程：解得：三、能量法的應(yīng)用及一般步驟對(duì)一自由度理想約束系統(tǒng)，能量法的一般步驟寫(xiě)出系統(tǒng)動(dòng)能的表達(dá)式取某一速度作為“特征速度”運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：各速度以“特征速度”表示將系統(tǒng)動(dòng)能寫(xiě)成此“特征速度”的表達(dá)式主動(dòng)力的功（功率）動(dòng)能定理的積分形式功率方程速度加速度約束力三、能量法的應(yīng)用及一般步驟OACBPPC’A’B’FxFy圖示系統(tǒng)，求在重力作用下由靜止轉(zhuǎn)過(guò)900后的角速度，及轉(zhuǎn)軸O處的約束反力。三、能量法的應(yīng)用及一般步驟圖示直角彎桿OAB，求在重力作用下由靜止轉(zhuǎn)過(guò)900后的角速度，及轉(zhuǎn)軸O處的約束反力。OABC解：設(shè)桿OAB的角速度為。系統(tǒng)動(dòng)能為：由動(dòng)能定理：即：解得：三、能量法的應(yīng)用及一般步驟均質(zhì)圓柱A和飛輪B的質(zhì)量均為m，外半徑均為r，中間用直桿以鉸鏈連接。令它們沿斜面無(wú)滑動(dòng)地滾下，假若斜面與水平面的夾角為，飛輪可視為質(zhì)量集中于外緣的薄圓環(huán)，AB桿的質(zhì)量可以忽略。求AB桿的加速度及其內(nèi)力。ABBamgFBNFBsFT’AmgFANFAsFTa對(duì)輪A由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程對(duì)輪B由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程三、能量法的應(yīng)用及一般步驟運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：（壓力）解得：討論：兩輪間連桿AB的內(nèi)力為壓力，說(shuō)明若沒(méi)有連桿AB的作用，則輪A將比輪B的加速度大（若兩輪同時(shí)自靜止運(yùn)動(dòng)，則輪A的速度將快于輪B）。這是由于雖然兩輪的移動(dòng)慣性相同，但輪A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性小于輪B。光滑接觸接觸面有摩擦比較接觸面有摩擦接觸面有摩擦接觸面有摩擦課間休息內(nèi)容之四突解約束問(wèn)題四、突解約束問(wèn)題的解法一圓環(huán)由繩AB和光滑斜面支撐。圓環(huán)的質(zhì)量為10Kg、半徑為2m。在圓環(huán)上，有一質(zhì)量為3Kg的物塊D與之固結(jié)。求在繩子剪斷的瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)D的加速度。60°45°DBAErDAEFCm2gm1gDAEFC(m1+m1)gaOαOCDAEaOαaOOaCOCxyDAEaOαaOOaDOC四、突解約束問(wèn)題的解法60°45°DBAErxyAEFCm1gODFDyFDxDm2gF′DxF′DyDAEaOαaOOaCOxy對(duì)圓環(huán)對(duì)球長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的兩根相同的均質(zhì)桿AB與BC鉸接后一端A用鉸鏈固定，另一端置于光滑水平面上。求在系統(tǒng)從圖示位置無(wú)初速地開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)，水平面對(duì)桿的約束力。CBA60°CBF′ByF′BxmgDFCmgFBxFByBAαABaB（1）研究桿AB，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列寫(xiě)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系分別為：（2）研究桿BC，平面運(yùn)動(dòng)，列寫(xiě)平面運(yùn)動(dòng)微分方程為：①桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，以B為基點(diǎn)，研究C點(diǎn)加速度，建立aB與αBC間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：CBDαBCaBaCaD2aD1atCBanCB其中投影于豎直方向得：四、突解約束問(wèn)題的解法注意到解得：CBDαBCaBaCaD2aD1atDBanDB②以B為基點(diǎn)，研究D點(diǎn)加速度，建立aD1、aD2與aB間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：其中投影于水平及豎直方向得：注意到解得：（3）聯(lián)立求解以上8個(gè)方程（4個(gè)動(dòng)力學(xué)方程+4個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系），可解得：四、突解約束問(wèn)題的解法四、突解約束問(wèn)題的解法例：圖示系統(tǒng)，力F使A點(diǎn)以u(píng)勻速運(yùn)動(dòng)，繩OB=L/2。圖示瞬時(shí)，運(yùn)動(dòng)至OB鉛垂。求此瞬時(shí)OA桿的加角速度、地面約束力、繩的拉力。設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m分析：此題目給出了桿的運(yùn)動(dòng)，可以用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求出未知力。四、突解約束問(wèn)題的解法其中投影于軸，得：瞬時(shí)平動(dòng)四、突解約束問(wèn)題的解法其中：于是可得：內(nèi)容之四動(dòng)力學(xué)雜題五、動(dòng)力學(xué)雜題質(zhì)量為m的物體A帶動(dòng)單位長(zhǎng)度的重量為q的柔鏈，以速度v0向上拋出。若柔鏈有足夠的長(zhǎng)度，求重物所能達(dá)到的最大高度h。Av0此過(guò)程中機(jī)械能守恒T0+V0=T+V初始機(jī)械能：T0+V0=0.5mv20+0=0.5mv20末狀態(tài)機(jī)械能：T+V=0+mgh+0.5qh2=mgh+0.5qh20.5mv20=mgh+0.5qh2qh2+2mgh-mv20=0五、動(dòng)力學(xué)雜題質(zhì)量相同的三質(zhì)點(diǎn)A，B，C以等距離系于柔繩