大學(xué)物理實驗緒論一、物理實驗課的地位、作用和任務(wù)二、教學(xué)內(nèi)容基本要求

三、物理實驗的基本環(huán)節(jié)

1、實驗預(yù)習(xí)2、實驗進(jìn)行

3實驗總結(jié)實驗總結(jié)環(huán)節(jié)包含了對實驗?zāi)康?、實驗原理、實驗?nèi)容、操作過程及技巧、注意事項、實驗收獲等方面的整體回顧，并將相關(guān)內(nèi)容以一份簡潔、明了、工整、有見解的實驗報告的形式反映出來。一份完整的實驗報告應(yīng)該包含如下基本內(nèi)容：(1).實驗名稱（5分）

(2).實驗?zāi)康模?分）

(3).實驗儀器（5分）

(4).實驗原理簡要敘述有關(guān)物理內(nèi)容（包括

電路圖或光路圖或?qū)嶒炑b置示意圖）及測量中

依據(jù)的主要公式、式中各量的物理含義及單位、

公式成立所應(yīng)滿足的實驗條件等；（30分）

(5).實驗步驟根據(jù)實際的實驗過程寫明關(guān)鍵步

驟；（5分）(6).數(shù)據(jù)報告與數(shù)據(jù)處理基本要求包括：列表報告數(shù)據(jù)、完成計算(計算要有計算式，代入的數(shù)據(jù)都要有根據(jù))、曲線圖(圖線要規(guī)矩、美觀)、實驗結(jié)果報告、誤差分析或不確定度計算；（40分）

(7).小結(jié)和討論內(nèi)容不限，可以是實驗中現(xiàn)象的分析，對實驗關(guān)鍵問題的研究體會，實驗的收獲和建議，也可以是解答實驗思考題。（10分）

測量誤差和數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識

第一節(jié)測量誤差與結(jié)果表達(dá)

一測量

1、測量一般地說，測量是指一定的人、依據(jù)一定的理論和方法、使用一定的儀器、量具，在一定的環(huán)境中對某些物理量進(jìn)行測定的過程。測量的一般方法是將待測的物理量與一個選來作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，得出它們之間的倍數(shù)關(guān)系。選作標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱之為單位，其倍數(shù)便是測量的數(shù)值。由此可見，一個物理量的測量值等于測量數(shù)值與單位的乘積。

2、測量的分類

測量分為直接測量和間接測量兩種。

直接測量是指可以和標(biāo)準(zhǔn)量具、量儀直接進(jìn)行比較而得到測量數(shù)值的測量。比如長度、時間、質(zhì)量、溫度等量可分別用米尺、停表、天平、溫度計等直接測量。

間接測量是指不能直接測出結(jié)果，但可以先通過直接測量與它有關(guān)的一些物理量，然后利用公式求得結(jié)果的測量稱為間接測量。如測量一立方體物質(zhì)的密度，可以先直接測量出它的邊長和質(zhì)量m，然后利用公式計算出密度；測量重

力加速度，可先直接測出單擺的長度和單擺的周期T，再應(yīng)用公式

求得，等等。

物理實驗中的測量多數(shù)是間接測量。二誤差

1、真值、約定真值（公認(rèn)值）、最佳值

在一定的條件下，任何一個物理量都有一個實實在在的、不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀數(shù)值，該數(shù)值即為該物理量的真值。

通過大量實驗測定或計算得到、并經(jīng)國際計量會議約定的某些基本物理常數(shù)、基本單位標(biāo)準(zhǔn)或經(jīng)高一級儀器校驗過的計量標(biāo)準(zhǔn)器具的量值等一般稱為約定真值或公認(rèn)值。

實驗和計算表明，在對某一物理量x的n次測量

中，其算術(shù)平均值最接

近該物理量的客觀真值，稱為近真值或最佳值（n→∞時，→真值）。

2、誤差

在實驗過程中，人們的主觀愿望總是希望準(zhǔn)確地測出待測物理量的真值。但是，任何測量總是依據(jù)一定的理論和方法、使用一定的儀器、在一定的環(huán)境中、由一定人進(jìn)行的。由于實驗理論近似性，實驗儀器的分辨能力和靈敏度的局限性，實驗環(huán)境的不穩(wěn)定性以及人的實驗技能和判斷能力的影響等，使測量值與待測量的真值不可能完全相同。也就是說，測量值與真值

之間始終存在著差異，這個差異稱為測量誤差，簡稱誤差。測量誤差的大小反映了測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。測量誤差可以用絕對誤差表示，也可以用相對誤差來表示：

絕對誤差=|測量值－真值|（=︱－︱）（1－1）

相對誤差=絕對誤差/真值（1－2）

在實際使用中，由于真值始終是未知的，所以常用公認(rèn)值或最佳值代替真值進(jìn)行計算。三、誤差的分類及處理

實踐證明，測量結(jié)果總存在誤差，或者說誤差不可避免地存在于一切科學(xué)實驗和測量之中。因此，分析測量過程中可能產(chǎn)生誤差的各種因素，盡可能消除其影響，并對最后結(jié)果中未能消除的誤差做出估計，分析測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，就是物理實驗和其它科學(xué)實驗中不可缺少的重要工作。

（一）、誤差的分類及成因

測量誤差按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差三大類。

1、系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在同一條件下，多次測量同一物理量時，誤差的大小符號均保持不變，或當(dāng)條件改變時，按某一確定的已知規(guī)律變化的誤差。

系統(tǒng)誤差來自以下幾方面：

(1)儀器誤差所謂儀器誤差，是指測量時由于所用的測量儀器、儀表不準(zhǔn)確所引起的基本誤差。例如刻度不準(zhǔn)、零點不對、砝碼未經(jīng)校準(zhǔn)、天平臂不等長、應(yīng)該水平放置的儀器沒有放水平等。

(2)環(huán)境誤差當(dāng)測量儀器偏離了規(guī)定條件使用時，如受環(huán)境的溫度、電源電壓、頻率、外界電磁場等等發(fā)生變化的影響，都會使測量產(chǎn)生誤差。

(3)方法誤差這種測量誤差是由于測量方法不完善或所依據(jù)的理論不嚴(yán)密所產(chǎn)生的。凡是在測量結(jié)果的表達(dá)式中沒有得到反映，而在實際測量中又起作用的一些因素所引起的誤差，都稱為方法（或理論）誤差。例如在空氣中稱質(zhì)量而沒有考慮空氣浮力的影響，測長度時沒有考慮溫度使尺長改變，測電壓時未考慮電壓表內(nèi)阻對電路的影響，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢未作溫度修正等。

(4)個人誤差這是由實驗者生理或心理特點、缺乏經(jīng)驗等引起的。例如有些人習(xí)慣于側(cè)坐斜視讀數(shù)，眼睛辨色能力較差等，估計讀數(shù)始終偏大或偏小，記錄信號時始終超前或滯后。

很明顯，系統(tǒng)誤差的特征是它的確定性和規(guī)律性，即實驗條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就獲得了一個客觀上的確定值，一旦實驗條件變化，那么系統(tǒng)誤差也是按一種確定規(guī)律變化。2、隨機(jī)誤差（又稱偶然誤差）

在相同條件下，對同一物理量進(jìn)行重復(fù)多次測量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測量值仍然會出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機(jī)地變化著。這種誤差稱之為隨機(jī)誤差。

隨機(jī)誤差主要來源于人們視覺、聽覺和觸覺等感覺能力的限制以及實驗環(huán)境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動等因素的影響。從個別測量值來看，它的數(shù)值帶有隨機(jī)性，好像雜亂無章。但是，如果測量次數(shù)足夠多的話，就會發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，可以用概率理論來估算它。

大量的測量隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）。其特征表現(xiàn)為正方向誤差和負(fù)方向誤差出現(xiàn)的次數(shù)大體相等，數(shù)值較小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)較多，很大的誤差在沒有錯誤的情況下通常不出現(xiàn)。這一規(guī)律在測量次數(shù)越多時表現(xiàn)得越明顯，在數(shù)理統(tǒng)計中對它有充分的研究。

3、過失誤差（錯誤）

在測量中還可能出現(xiàn)測量值明顯遠(yuǎn)離了正常測量值的異常誤差，稱為過失誤差（或錯誤）。這種錯誤是由于實驗者的粗心、不正確的操作和實驗條件的突變等引起的。例如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤、操作錯誤、估算錯誤等等。（二）、誤差的分析與處理

由上面的分析可知，產(chǎn)生測量誤差的原因很多，在具體的實驗中，應(yīng)針對不同的原因，對實驗結(jié)果進(jìn)行分析和修正。

1、系統(tǒng)誤差的分析處理

由于系統(tǒng)誤差有確定性和規(guī)律性，因此，可以通過校準(zhǔn)儀器、儀表、量具，改進(jìn)實驗裝置和實驗方法，或?qū)嶒灲Y(jié)果進(jìn)行理論上的分析等辦法來對系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正、減小并盡可能消除。發(fā)現(xiàn)和減小實驗中的系統(tǒng)誤差通常是困難的，需要對整個實驗所依據(jù)的原理、方法、測量步驟及所用儀器等可能引起誤差的各種因素一一進(jìn)行分析。一個實驗結(jié)果是否正確，往往在于系統(tǒng)誤差是否已被發(fā)現(xiàn)和盡可能消除。2、過失誤差的分析處理

過失誤差所產(chǎn)生的錯誤已不屬于正常的測量工作范疇，應(yīng)當(dāng)盡量避免。克服過失誤差的辦法，首先是端正對待實驗的態(tài)度，樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)，掌握正確的測量方法。對偶發(fā)性過失誤差，可用和多次測量結(jié)果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)并糾正，或者運用異常數(shù)據(jù)剔除準(zhǔn)則來判別因過失而引起的異常數(shù)據(jù)，并加以剔除。3、隨機(jī)誤差的分析處理

根據(jù)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計分布規(guī)律性，人們知道：①多次測量時，正負(fù)隨機(jī)誤差可以大致相消，因而用多次測量的算術(shù)平均值表示測量結(jié)果可以減少隨機(jī)誤差的影響；②測量值的分散程度直接體現(xiàn)隨機(jī)誤差的大小，測量值越分散，測量的隨機(jī)誤差就越大，因此，必須對測量的隨機(jī)誤差做出估計才能反映出測量的精密度。對隨機(jī)誤差估計的方法有多種，大學(xué)物理實驗中，常用算術(shù)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差來估計測量的隨機(jī)誤差。(1)殘差和誤差

設(shè)

為被測量的真值，

為有限次測量的平均值（最佳值），其中

為單次測量值。

①殘差單次測量值與測量平均值（最佳值）

之差即

（1－3）

②誤差單次測量值

與被測量真值

之差。

（1－4）

由于待測物理量的真值的不可知性，實驗中常用公認(rèn)值或最佳值代替真值，而用殘差代替誤差。另一方面，由于殘差或誤差有正有負(fù)，有大有小，故常用算術(shù)平均法和“方均根”法對它們進(jìn)行統(tǒng)計。

(2)算術(shù)平均偏差

在對某一物理量進(jìn)行n次等精度測量的數(shù)據(jù)中，求各單次測量的殘差的絕對值的平均值，便得到算術(shù)平均偏差，即

（1－5）

算術(shù)平均偏差是估計隨機(jī)誤差的最簡單的一種方法，對初步涉及科學(xué)實驗及誤差分析的學(xué)生，可用算術(shù)平均偏差代替測量的絕對誤差，然后逐漸過渡到標(biāo)準(zhǔn)偏差和不確定度的理解及計算。四、測量結(jié)果的表達(dá)式

通過實驗的方法不能唯一地確定待測物理量的真值，即不能將測量結(jié)果表達(dá)為某一具體數(shù)值，只能確定真值可能出現(xiàn)的范圍，因此測量的結(jié)果通常表達(dá)成

測量結(jié)果=（測量的最佳值±測量誤差值）（單

位）即：

（單位）（1－8）

它表示：可以有相當(dāng)把握地說，待測量的真值

就在-至+的范圍之間。越小，測量的最佳值與真值越接近，測量的準(zhǔn)確度也越高。應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)的是：測量（最佳）值，誤差和單位是表示測量結(jié)果的三個要素。第二節(jié)測量結(jié)果誤差的計算

本節(jié)主要討論測量值的誤差計算。誤差的計算是在錯誤數(shù)據(jù)已經(jīng)剔除，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或系統(tǒng)誤差相對于隨機(jī)誤差小得多情況下進(jìn)行的。

一、單次直接測量誤差的估計

實驗時，有時不可能進(jìn)行重復(fù)的測量（如一瞬即逝的現(xiàn)象），有時多次測量也無必要。這時可用一次測量值作為測量結(jié)果的最佳值，取儀器誤差作為測量誤差。

儀器誤差是指儀器在規(guī)定的使用條件下，正確地使用儀器時，可能產(chǎn)生的最大誤差，用表示。關(guān)于儀器誤差，有如下幾種情況：

1、儀器誤差通常標(biāo)在儀器的銘牌上。有時用儀器準(zhǔn)確度級別表示。不同儀器的準(zhǔn)確度級別的含義是不相同的，應(yīng)該用相應(yīng)公式進(jìn)行計算。應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成以下習(xí)慣：實驗前先仔細(xì)查看儀器的銘牌，并將可能有用的數(shù)據(jù)（型號、量程和級別等）記錄下來。

2、若沒有給出儀器誤差，可用下述方法進(jìn)行估計：對有游標(biāo)的量具和非連續(xù)讀數(shù)的儀表（電子秒表、數(shù)字儀表），取最小分度值作為單次直接測量的誤差；對連續(xù)讀數(shù)儀表、量具（如直尺），取最小分度值的一半作為單次直接測量的誤差。二、多次直接測量誤差計算

為了測量準(zhǔn)確，在條件許可的情況下，總是采用多次重復(fù)測量，但測量次數(shù)總是有限的（一般實驗中重復(fù)次數(shù)≤10次），可求出測量值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果的最佳值，用公式（1－5）求算術(shù)平均偏差來作為測量誤差。

測量結(jié)果表達(dá)：（單位）（粗略估算）

三、間接測量誤差計算

在實驗中，間接測得量是由直接測得量通過計算得到的。直接測量有誤差，間接測量也必然有誤差，這稱為誤差的傳播。由直接測得量的誤差通過誤差傳播公式可以求出間接測得量的誤差。

間接測量的算術(shù)合成誤差傳播公式

設(shè)待測量N是n個獨立的可直接測定的物理量A，B，C，……，H的函數(shù)，即

N=f（A，B，C，……，H）（2－1）

如果各直接測得量的平均值分別為，其絕對誤差的平均值分別為，則間接測得量N的平均值為，其絕對誤差的平均值則計為。那么，在不同函數(shù)運算的情況下，到底該如何計算呢？下面以只有兩個直接測得量的情況為例分別加以說明。

（1）加減法運算中的合成誤差

當(dāng)N=A±B時，其測量結(jié)果表達(dá)為

前兩項代表，后兩項是不確定項，

它們有四種可能的組合?？紤]最不利情況取值，得到間接測得量N的絕對誤差為：

（2－2）

相對誤差Er=（2－3）

結(jié)論一：幾個直接測得量相加或相減的結(jié)果的絕對誤差等于各直接測得量的絕對誤差之和。（2）乘法運算中的合成誤差

當(dāng)N=A?B時，其測量結(jié)果表達(dá)為：

略去最后一項二階小量，并考慮最不利情況取值，

得到：

顯然

且絕對誤差

（2－4）

相對誤差

Er=（2－5）

（3）除法運算中的的合成誤差

若N=A/B，則其測量結(jié)果表達(dá)為：

=

=

略去二階小量且考慮最不利情況取值，顯然有

且絕對誤差=

相對誤差

Er=

結(jié)論二：幾個因子相乘或相除的結(jié)果的相對誤差等于各因子的相對誤差之和。

（4）一般運算關(guān)系下的合成誤差

對于一般的函數(shù)運算關(guān)系，可按下列方法求絕對誤差。

對N=f（A，B，C，……，H）所示函數(shù)關(guān)系求N的全微分，得：

則絕對誤差為：

由于上式右端各項分誤差的符號正負(fù)不定，考慮最不利情況取值時，各項分誤差須累加，因此，將上式右端各項分別取絕對值相加，可得間接測得量N的絕對誤差為：

（2-8）

對于相對誤差，可先取N=f（A，B，C，……，H)

所示函數(shù)關(guān)系的對數(shù)

然后再求全微分，得

及相對誤差為：Er=

（2-9）

（2－8）、（2—9）常稱為間接測量算術(shù)合成誤差的傳播公式。

結(jié)論三：間接測得量的絕對誤差等于函數(shù)對自變量的全微分，相對誤差是對函數(shù)取對數(shù)后再對自變量全微分。

這表明，有時候先計算相對誤差，后計算絕對誤差會簡單一些。例：

（為常量），求間接測量量的誤差傳播公式。

解：對公式取對數(shù)，得

求全微分，得

合并同一變量的系數(shù)后再將微分號改為誤差號，求得：

第四節(jié)

有效數(shù)字

在使用的儀器、儀表、量具上讀出待測物理量的量值，是測量過程的重要內(nèi)容。對大多數(shù)物理實驗，還需要對直接讀出的數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)的運算，才能得到（間接測量）結(jié)果。很明顯，讀數(shù)和運算都必須遵守一定的規(guī)則，而不能隨心所欲。本節(jié)主要介紹與數(shù)值的讀數(shù)、運算、取舍、保留等問題相關(guān)的一些規(guī)則。

一、有效數(shù)字和儀器讀數(shù)規(guī)則

1、有效數(shù)字

測量過程必然涉及數(shù)據(jù)處理，數(shù)據(jù)處理首先是從儀器、儀表、量具上讀取數(shù)據(jù)。可以準(zhǔn)確讀出的數(shù)據(jù)稱為可靠數(shù)；不能準(zhǔn)確讀出，但可以根據(jù)最小分度的大小、指針的粗細(xì)等具體情況估計出來的數(shù)值稱為可疑數(shù)?？梢蓴?shù)明顯只有一位，因為再想讀出后面的幾位數(shù)來已經(jīng)完全失去了依據(jù)。全部可靠數(shù)加上一位可疑數(shù)稱為測量的有效數(shù)字。

如圖1所示，用毫米尺測量一段工件長度。工件的長度大于13mm，小于14mm，可以準(zhǔn)確讀出的是13mm；其右端點超過13mm刻度線的部分估計為6/10格（0.6mm），工件的長度即為13.6mm。很明顯，前兩位13是可靠數(shù)，而最后一位0.6mm則是從直尺上最小刻度間估計出來的，是可疑數(shù)（盡管可疑，但還是有一定根據(jù)，是有意義的）。

圖1用毫米刻度尺測工件長度

全部可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字相加組成的數(shù)字13.6mm便是測量值的有效數(shù)字。顯然，用這種規(guī)格的尺子來進(jìn)行測量已不可能再準(zhǔn)確了。可見，有效數(shù)字的多少，可疑數(shù)出現(xiàn)的位置等包含了待測物理量以及在該測量條件下所能達(dá)到的準(zhǔn)確程度等信息，是數(shù)據(jù)處理的依據(jù)。當(dāng)被測物理量和測量儀器選定后，測量值的有效數(shù)字及其位數(shù)就已經(jīng)確定了。不能多取，也不能少取。少取了會損害測量的精度，多取了則又夸大了測量的精度。2、有效位數(shù)的概念

測量過程中，能夠讀出來的全部可靠數(shù)和一位可疑數(shù)加在一起的位數(shù)稱為測量值的有效位數(shù)。比如：13.6mm是三位有效數(shù)字、18.600是五位有效數(shù)字、0.01是一位有效數(shù)字等等。但對于一個給定的數(shù)值，判斷其有效位數(shù)（特別是數(shù)字前后有零的時候），有以下幾種情況需要注意：

（1）數(shù)字中間的零不管什么情況，數(shù)字中間的零都代表有效數(shù)字。例如，40000.5cm有6個有效數(shù)字，其有效位數(shù)是6位；40.005mm有5個有效數(shù)字，有效位數(shù)是五位。

（2）數(shù)字末尾的零一個數(shù)字末尾的零，無論有無小數(shù)點，全部都是有效數(shù)字，不能隨意取舍。例如：1020是四位有效數(shù)；60.0100cm，其有效數(shù)字為6位，不能寫作60.01cm。（3）第一位非零數(shù)字左邊的零第一位非零數(shù)字左邊的零都不代表有效數(shù)字，稱為無效零。例如，0.0302cm，有效位為三位；0.000030mm，則只有兩位有效數(shù)字。

（4）有效數(shù)字位數(shù)與單位變換無關(guān)不同的計量單位，待測量的數(shù)值大小不同，在進(jìn)行單位換算時，其數(shù)值的有效位數(shù)不能改變。因此，在變換單位時，為了正確表達(dá)出有效位數(shù)，實驗中常采用科學(xué)計數(shù)法（10的冪次方）。例如：

這種寫法不僅簡潔明了，特別當(dāng)數(shù)值很大和很小時，突出了有效數(shù)字，而且還使數(shù)值計算和定位變得簡單。3、儀器的讀數(shù)規(guī)則

盡管不同的儀器、儀表、量具讀數(shù)的方法有所不同，但讀數(shù)的原則都一樣：即讀出全部有效數(shù)字。圖2估讀到1/5格值

（1）估讀有一些量儀量

具，比如米尺、指針式儀表

等，讀數(shù)時需要估讀。估讀

時首先根據(jù)最小分格的大小、

指針的粗細(xì)等具體情況，考

慮把最小分格分成幾份來估

讀，通常讀到格值的1/10、

1/5或1/2。前述圖1是估讀到

最小格值的1/10。圖2是估讀

到1/5格值的例子。 圖2估讀到1/5格值（2）“對準(zhǔn)”時的讀數(shù)有一些量儀量具，比如游標(biāo)卡尺、數(shù)顯式儀表等，讀數(shù)時沒有估計數(shù)，只需要記錄下顯示的全部數(shù)據(jù)。因為測量儀器一經(jīng)選定，能夠讀出的有效位數(shù)就完全確定了。例如，用50分度的游標(biāo)卡尺測一物體的長度，游標(biāo)上的0刻線恰與主尺3cm刻線對準(zhǔn)。50分度游標(biāo)卡尺的分度值是0.02mm,這類儀器不估讀，讀數(shù)應(yīng)讀到厘米的千分位，測量值為3.000cm，有效數(shù)字是四位，不可以記為3cm。反過來，如果以為“對準(zhǔn)”是準(zhǔn)確無誤，3后面的0有無窮多個也是錯的。因為游標(biāo)卡尺有一定的準(zhǔn)確度，且“對準(zhǔn)”也是在一定分辨能力限制下的對準(zhǔn)。二、有效數(shù)字的運算規(guī)則

對于間接測量，除了從儀器上讀出有效數(shù)值以外，還必須經(jīng)過函數(shù)運算才能得到實驗結(jié)果。為了準(zhǔn)確反映間接測量結(jié)果的數(shù)值及其有效位數(shù)，就必須理解有效數(shù)字運算過程的一些規(guī)則。

1、加減法運算

和或差計算的結(jié)果，其末位和參與加減運算各量中末位數(shù)字?jǐn)?shù)位最高的一個相同。如：

2、乘除法運算

積或商結(jié)果的有效位數(shù)，和參與乘除運算各量中有效數(shù)字位數(shù)最少者的位數(shù)相同。如：

3、乘方、開方運算

乘方、開方運算結(jié)果的有效位數(shù)與其底數(shù)的位數(shù)相同。

4、函數(shù)運算

一般情況下，有效數(shù)對某一函數(shù)進(jìn)行運算后，其結(jié)果保留的有效位數(shù)，可用如下方法確定：先用微分方法（或誤差遞推公式）求出該函數(shù)的誤差公式，再將直接測量值的誤差（或不確定度）代入誤差公式來確定函數(shù)的誤差（或不確定度），然后根據(jù)測量結(jié)果最后一位數(shù)字與誤差（或不確定度）對齊的原則來確定間接測量結(jié)果的有效位數(shù)。若直接測量值沒有標(biāo)明誤差（或不確定度），則在直接測量值的最后一位數(shù)取1作為誤差（或不確定度）代入公式。下面舉例說明。例1已知x=25.4，求lnx。

解：對lnx求微分，得誤差公式為

由于直接測量值x沒有標(biāo)明誤差（或不確定度），故在直接測量值的最后一位數(shù)上取1作為誤差（或不確定度），即=0.1，將x，代入上式得

因此，根據(jù)“對齊原則”，lnx的尾數(shù)應(yīng)保留到小數(shù)點后三位，即lnx=ln25.4=3.235

可見，x的自然對數(shù)lnx，其尾數(shù)部分的位數(shù)與該數(shù)x的有效數(shù)字相同。

5、運算中常數(shù)和自然數(shù)的取位

自然數(shù)是準(zhǔn)確的，可認(rèn)為有無窮多位有效數(shù)字，例如自然數(shù)2，在它小數(shù)點后面有無窮多個0，在算式中不必把那些0寫出來。 運算中無理常數(shù)（如π、e、等）的位數(shù)比參加運算的各分量中有效位最少者多取一位。例如，計算L=2πR，已知R=2.38cm，式中2是自然數(shù)，π=3.14159265……，但因R此時只有三位有效數(shù)，故π取3.142參與計算便夠了。L=2πR=15.0cm三、數(shù)值的修約規(guī)則 測量結(jié)果數(shù)值的取舍，首先要確定直接讀數(shù)的準(zhǔn)確性，再根據(jù)有效數(shù)字的運算規(guī)則，或根據(jù)計算出的誤差來確定需要保留的有效數(shù)字的位數(shù)，后面多余的數(shù)字就應(yīng)予以舍入修約。舍入修約規(guī)則一般為“四舍六入五湊偶”：尾數(shù)小于5則舍，尾數(shù)大于5則入，等于5則把尾數(shù)湊成偶數(shù)（即5前若是偶數(shù)，則把該5舍去，保持這個偶數(shù)；若5前是奇數(shù)，則該5進(jìn)1，將這個奇數(shù)湊成偶數(shù)）。

例如：3.12446取四位效數(shù)字為3.124；78.1661取三位效數(shù)字為78.2； 123456取四位效數(shù)字為1.234×；453.35取四位效數(shù)字為453.4。

考慮誤差寧大勿小原則，誤差的修約可按只入不舍的規(guī)則。四、有效數(shù)字與誤差（或不確定度）的關(guān)系

測量值的有效數(shù)字和誤差是一種相互依賴和相互制約的關(guān)系。我們知道，有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性。因此，在一般情況下，測量結(jié)果的絕對誤差（或絕對不確定度）的有效數(shù)字只取1位。反過來，測量結(jié)果有效數(shù)字最后保留的位數(shù)又由其絕對誤差（或絕對不確定度）的數(shù)位來確定，即測量結(jié)果的最后1位應(yīng)與誤差（或不確定度）所在的位對齊。例如：由公式

，再根據(jù)高度和直徑的測量值用計算器算出了圓柱體積V=17.4126，若計