數(shù)值線性代數(shù)課程設計報告姓名:陶英學號:081410124任課教師:楊熙南京航空航天大學2016年6月22日求解線性方程組的三種迭代法及其結果比較綱要現(xiàn)在的環(huán)境下，數(shù)值計算愈來愈依靠于計算機。大規(guī)?？茖W計算和工程技術中很多問題的解決，最后究結為大型稀少線性方程組的求解，其求解時間在整個問題求解時間中據(jù)有很大的比重，有的甚至達到80%。因為當今科學研究和大型項目中各樣復雜的能夠?qū)τ嬎憔群陀嬎闼俣鹊囊笥鷣碛摺Ｋ?，作為大?guī)模科學計算基礎的線性代數(shù)方程組的高效數(shù)值求解惹起了人們的廣泛關注。這類方程組的求解一般采納迭代法。對于迭代法，是有好多種解決公式的：Jacobi，G-S和超廢弛迭代法。這三種方法的原理大概相同，Jacobi需要給定初向量，G-S則需要給定初值，超廢弛法是對Guass-Seidel迭代法的加權均勻改造。而本文則是對大型稀少線性方程組迭代求解與三種迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超廢弛迭代法）的收斂速度與精準解的偏差比較做出研究。重點詞：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；線性方程組方法與理論的表達1.1迭代法簡介1.Jacobi迭代法：對于非奇怪線性方程組Ax=b，令A=D-L-U，此中則原方程組可改寫為：（2.2）此中給定初始向量：由（2.2）能夠結構迭代公式：其重量形式為：Guass-Seidel迭代法：近似于Jacobi迭代法，給定初值：令則獲得Guass-Seidel公式：其重量形式為：超廢弛迭代法（SOR迭代法）：SOR迭代法是對Guass-Seidel迭代法的加權均勻改造，即為Guass-Seidel迭代解，即它的重量形式為：此中ω稱為廢弛因子，當ω>1時稱為超廢弛；當ω<1時叫低廢弛；ω=1時就是Guass-Seidel迭代。上述三種經(jīng)典迭代法收斂的充分必需條件是迭代矩陣譜半徑小于1。譜半徑不易求解，而在必定條件下，經(jīng)過系數(shù)矩陣A的性質(zhì)可判斷迭代法的收斂性。定理1：若系數(shù)矩陣A是嚴格對角占優(yōu)或不行約對角占優(yōu)，則Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂。定理2：（1）SOR迭代法收斂的必需條件是0<w<2；（2）若系數(shù)矩陣A嚴格對角占優(yōu)或不行約對角占優(yōu)且0<w<1,則SOR迭代法收斂。w=1時，SOR迭代法退化為Gauss-Seidel迭代法。數(shù)值結果2.1問題考慮兩點邊值問題：d2ydya,0a1dx2dxy(0)0,y(1)1.x簡單知道它的精準解為：y1a1/(1e)ax1e為了將微分方程失散，把[0,1]區(qū)間n平分，令h=1/n，xiih,i1,2,...n1，得到差分方程(h)yi1(2h)yiyi1ah2，進而獲得迭代方程組的系數(shù)矩陣A。對=1，a=1/2,n=100,分別用jacobi，G-S，超廢弛迭代法分別求線性方程組的解，要求4位有效數(shù)字，而后比較與精準解的偏差。對=0.1，=0.01，=0.001，考慮相同問題。方程的表示及儲存因為此題中線性方程組的系數(shù)矩陣為三對角矩陣，所以能夠采納收縮方法儲存，即而后在矩陣乘法時對下標辦理一下即可。可是考慮到三種迭代方法的一般性，且此題中n=200其實不是很大，所以實驗中并無采納收縮儲存，而是采納了直接儲存。邊值條件的辦理因為差分獲得的方程組的第一行和最后一行中分別出現(xiàn)了邊值y(0)與y(1)作為常數(shù)項，所以要在常向量的第一項和最后一項作一些改正：迭代停止條件第一確立要求的精度tol，我們希望當則停止迭代。對于迭代格式

，若

且

，則迭代序列

的第k次近似解和精準解之間有預計式由題目要求知我們需要有

。，而由上邊的迭代預計，只需，即即可。而此題中q可近似取為，所以最后令迭代停止條件為4.SOR迭代中最正確廢弛因子的選用因為SOR迭代法的成效和其廢弛因子w的選用相關，所以有必需選用適合的松弛因子。入選擇最正確廢弛因子時，SOR方法的迭代速度最快。Matlab實現(xiàn)：迭代矩陣是n-1階的，不是n階；等號右端向量b的最后一項，不是ah^2，而是ah^2-eps-h2.2精準解x1ay1e1/(1e)ax帶入a=1/2,=1代碼：clearx=linspace(0,1);truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1))*(1-exp(-x./1))+x.*0.5;figure;plot(x,truy,'g','LineWidth',1.5);holdon;Grid圖：2.3三種迭代法Jacobi法：代碼見附錄Eps=1結果：迭代次數(shù)k：22273結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）Eps=0.1結果：迭代次數(shù)k：8753結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）Eps=0.01結果：迭代次數(shù)k：661結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）G-S迭代法：代碼見附錄Eps=1結果：迭代次數(shù)k：11125結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）Eps=0.1結果：迭代次數(shù)k：4394結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）Eps=0.01結果：迭代次數(shù)k：379結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）超廢弛法：代碼見附錄Eps=1w=1.56結果：迭代次數(shù)k：3503結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）Eps=0.1w=1.56結果：迭代次數(shù)k：1369結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）Eps=0.01w=1.56結果：迭代次數(shù)k：131結果與精準解的比較圖（綠色粗線是精準解，黑色細線是迭代結果）剖析議論及心得領會3.1三種方法的比較Jacobi、G-S、超廢弛法，三者都能夠獲得對精準解的優(yōu)秀迫近，可是，在相同的精度條件下，三者的收斂速度是不相同的，jacobi<G-S<超廢弛，也就是說，在迭代次數(shù)相同的條件下，精度：jacobi<G-S<超廢弛。3.2心得領會此次課程設計，平常感覺挺簡單的那些乏味單一的代碼和數(shù)學公式，真實到了自己運用的時候卻無從下手，可是，解決問題的過程正是不停學習的過程：數(shù)學算法變換為代碼的過程要對題目有深入的認識，而后對程序函數(shù)定義還要有一定的掌握能力，經(jīng)過這個的過程讓我穩(wěn)固了自己的數(shù)學知識，對數(shù)學專業(yè)知識和MATLAB的操作有了更深的領會。課程設計中碰到的問題只憑自己冥思苦想是不可以所有解決的，這是同學老師的建講和網(wǎng)絡給了我很大的幫助。碰到自己解決不了的問題時，多多向老師同學討教，也許問題就能水到渠成。參照文件徐樹方.數(shù)值線性代數(shù).北京:北京大學第一版社,1995.馬昌鳳.現(xiàn)代數(shù)值剖析.北京:國防工業(yè)第一版社.2013.劉春鳳,米翠蘭.適用數(shù)值剖析教程.北京冶金工業(yè)第一版社.2006附錄源代碼1.Jacobi：function[y,k]=jacobi2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;fori=1:n-1forj=1:n-1A(i,j)=0;endendfori=1:n-1A(i,i)=-(2*eps+h);endfori=1:n-1forj=1:n-1ifi==j+1A(i,j)=eps;endifi==j-1A(i,j)=eps+h;endendendb=zeros(n-1,1);fori=1:n-2b(i,1)=a*h^2;endb(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);fori=1:n-1D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi>jL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi<jU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D\(L+U);g=D\b;while1z=B*y+g;ifnorm(z-y,inf)<deltabreak;endy=z;k=k+1;endx=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);holdon;gridholdon;plot(y,'b')2.G-S:function[y,k]=gs2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;fori=1:n-1forj=1:n-1A(i,j)=0;endendfori=1:n-1A(i,i)=-(2*eps+h);endfori=1:n-1forj=1:n-1ifi==j+1A(i,j)=eps;endifi==j-1A(i,j)=eps+h;endendendb=zeros(n-1,1);fori=1:n-2b(i,1)=a*h^2;endb(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);fori=1:n-1D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi>jL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi<jU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D\(L+U);g=D\b;while1z=(D-L)\U*y+(D-L)\b;ifnorm(z-y,inf)<deltabreak;endy=z;k=k+1;endx=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps))*(1-exp(-x./eps))+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);holdon;gridholdon;plot(y,'b')3.SOR：function[y,k]=sor(a,eps,h,delta,w)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;fori=1:n-1forj=1:n-1A(i,j)=0;endendfori=1:n-1A(i,i)=-(2*eps+h);endfori=1:n-1forj=1:n-1ifi==j+1A(i,j)=eps;endifi==j-1A(i,j)=eps+h;endendendb=zeros(n-1,1);fori=1:n-2b(i,1)=a*h^2;endb(n-1,1)=a*h^2-eps-h;D=zeros(n-1);fori=1:n-1D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi>jL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);fori=1:n-1forj=1:n-1ifi<jU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D\(L+U);g=D\b;Lw=((D-w*L)^-1