線性代數(shù)

(Linearalgebra)教師:張宇卓數(shù)理統(tǒng)計教研室(誠信樓728)個人信箱作業(yè)

每周二交作業(yè),周四發(fā)前一周交的作業(yè)，隔周補(bǔ)交

作業(yè)無效.批改1/4,A4或16開紙.注意寫清姓名、

學(xué)號（序號）、學(xué)院名稱.題目注明書上題號即可.答疑時間

有問題時，請課下及時交流！

特殊情況可以另約時間.作業(yè)、測驗及答疑安排測驗

期中考試內(nèi)容和時間待定.例如《線性代數(shù)》研究的是什么？

線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支.我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做“線性代數(shù)”.線性代數(shù)課程的地位和作用★線性代數(shù)是一門非常重要的基礎(chǔ)課之一.它的理論不僅滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支中，而且還在理論物理、理論化學(xué)、工程技術(shù)、國民經(jīng)濟(jì)、生物技術(shù)、航天、航海等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用.★該課程對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用.通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生獲得應(yīng)用科學(xué)中常用的矩陣、線性方程組等理論及其有關(guān)基本知識，并具有較熟練的矩陣運(yùn)算能力和用矩陣方法解決一些實際問題的能力.特別地，對于經(jīng)管類學(xué)生，本課程是今后研究和工作需要選學(xué)的后繼課程的基礎(chǔ)，如運(yùn)籌學(xué)，經(jīng)濟(jì)計量學(xué)，投資與決策等.第一章行列式主要內(nèi)容：n階行列式

定義(§1.1),

性質(zhì)(§1.2、§1.3)；克萊姆法則

n元線性方程組與n階行列式的關(guān)系(§1.4).§1.1n階行列式一、二、三階行列式二、排列及其逆序數(shù)三、n階行列式一、二、三階行列式用消元法解二元線性方程組分析其解的結(jié)構(gòu).

方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.記對角線法則:主對角線上兩元素乘積減去副對角線上兩元素乘積.主對角線副對角線方程組的解為則當(dāng)時，

【注】分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例1解例2

設(shè)問λ為何值時D＝0，λ為何值時D≠0？希望當(dāng)時,也有問題

三階行列式如何計算，使上面結(jié)論成立？三元線性方程組3332323222131211aabaabaabD=令

333231232221131211aaaaaaaaaD=33231222211121133333123221131112baabaabaaDabaabaabaD==三階行列式【注】①紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．②三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).三階行列式的計算方法一：對角線法則【練習(xí)】計算方法二：沙路法以上兩種方法只適用于三階行列式的計算.例3求解方程解方程左端例4

利用三階行列式求解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為n元線性方程組令問題對角線法則只適用于二階與三階行列式．

n階行列式如何計算使上述結(jié)論成立？希望當(dāng)時,有定義1把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列(或排列).特別地,由n個自然數(shù)1、2、…、n組成的有序數(shù)組稱為一個n級(階、元)排列.n級排列共有種.二、排列及其逆序數(shù)

我們規(guī)定,各數(shù)之間由小到大排列為標(biāo)準(zhǔn)次序,若n個不同的自然數(shù)按照由小到大排列,稱這樣的排列為n級自然序排列.例如

排列32514中，

32514逆序逆序逆序

在一個排列中，若數(shù)

,則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序.定義2定義3

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù),

記作的總和計算排列逆序數(shù)的方法排列中比每一元素大的且排在前面的元素個數(shù)，即是這個排列的逆序數(shù).

方法一排列中比每一元素小的且排在后面的元素個數(shù)，也是這個排列的逆序數(shù).的總和方法二【練習(xí)】求逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性【注】

逆序數(shù)為0的排列稱作偶排列,如

.例5

計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.1)217986354解故此排列為偶排列.217986354501304401當(dāng)

時為偶排列；當(dāng)

時為奇排列.解0122)特別地,將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換.對換定義在一個排列中，將某兩個數(shù)a,b對調(diào)，其余各數(shù)位置不變，這樣的變換稱為一個對換,記為(a,b).例如1)2)定理1

任意一個排列經(jīng)過一次對換后，改變其奇偶性．證明1°相鄰兩個數(shù)對換除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.對換與排列奇偶性的關(guān)系（，）結(jié)論

對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.當(dāng)時，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后的逆序數(shù)增加1,經(jīng)對換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.當(dāng)時，次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換

綜上,一個排列中的任意兩個數(shù)對換，排列改變奇偶性.2°不相鄰兩個數(shù)對換證明

設(shè)這n!個n級排列中共有s個奇排列,t個偶排列，現(xiàn)證s=t.故必有奇排列偶排列,所以前兩個數(shù)對換s個

s

個偶排列奇排列,所以前兩個數(shù)對換

t

個t

個定理2n個元素(n＞1)共有n!個n級排列,其中奇、偶排列各占一半,即各有個.歸納每項內(nèi)容及符號的規(guī)律三階行列式共有6項，即項．①

每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．分析三階行列式結(jié)果②符號：,其中為列標(biāo)全排列.

當(dāng)行標(biāo)按1，2，3排列時，每項都可寫成

,每項符號決定于列標(biāo)排列的逆序數(shù)，即三、n階行列式綜上，三階行列式

為對列標(biāo)所有全排列求和.n階行列式的定義定義

n階行列式是所有取自不同行、不同列的n個數(shù)的乘積的代數(shù)和，即【說明】②

n階行列式是項的代數(shù)和;③

n

階行列式的每項都是位于不同行、不同列

n個元素的乘積;⑤一階行列式

,不要與絕對值記號相混淆;④

的符號為①行列式(determinant)是一種特定的算式，計算結(jié)果是數(shù)值.它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的，可簡記為;例6有4階行列式，分析：（1）是否為展開式中的一項，若是，確定其在展開式中的符號.【注】該行列式中左上角到右下角的對角線稱為主對角線,

主對角線上的各元素稱為主對角元素.

稱左側(cè)的行列式為下三角形行列式，右側(cè)的行列式為上三角形行列式.＝

例7

計算n階行列式(其中)【練習(xí)】計算例8

計算n階行列式對角形行列式【注】①三角形行列式及對角形行列式的值均等于主對角線元素的乘積;②由行列式定義知，若有一行（或一列）中的元素都為0，則此行列式的值為.0?確定行列式中各項符號定理推論

對于n階行列式定理

n階行列式

的一般項可以寫成其中為行標(biāo)的n級排列；

為列標(biāo)的n級排列.

續(xù)例6

有