PAGEPAGE8平面與平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若兩個平面與第三個平面相交有兩條交線且兩條交線互相平行，則這兩個平面()A．有公共點 B．沒有公共點C．平行 D．平行或相交[答案]D2．有一正方體木塊如圖所示，點P在平面A′C′內(nèi)，棱BC平行于平面A′C′，要經(jīng)過P和棱BC將木料鋸開，鋸開的面必須平整，有N種鋸法，則N為()A．0 B．1C．2 D．無數(shù)[答案]B[解析]∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上過P作EF∥B′C′，則EF∥BC，∴沿EF、BC所確定的平面鋸開即可．又由于此平面唯一確定，∴只有一種方法，故選B．3．下列命題中不正確的是()A．平面α∥平面β，一條直線a平行于平面α，則a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，則α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面βC．一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面，那么該三角形所在的平面與這個平面平行D．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線[答案]A[解析]對于A，直線a可能與β平行，也可能在β內(nèi)，故A不正確；三角形的兩條邊必相交，這兩條相交邊所在直線平行于一個平面，那么三角形所在的平面與這個平面平行，所以C正確；依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理可知B，D也正確，故選A．4．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，則下列推理正確的是()A．α∩β＝a，b?α?a∥bB．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥βC．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b[答案]D[解析]選項A中，α∩β＝a，b?α，則a，b可能平行也可能相交，故A不正確；選項B中，α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β內(nèi)，故B不正確；選項C中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，根據(jù)面面平行的判定定理，再加上條件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正確；選項D為面面平行性質(zhì)定理的符號語言，故選D．5．已知兩條直線m，n兩個平面α，β，給出下面四個命題：①α∩β＝m，n?α?m∥n或者m，n相交；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∩β＝m，m∥n?n∥β且n∥α.其中正確命題的序號是()A．① B．①④C．④ D．③④[答案]A6．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α、β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點于O，O在α、β之間．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OAOA′＝32，則△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),9) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(2\r(3),3)[答案]C[解析]如圖∵α∥β，∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，且由eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(3,2)知相似比為eq\f(3,2)，又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AB·(AC·sin60°)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△A′B′C′＝eq\f(2\r(3),9).二、填空題7．(2015·東莞模擬)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.[答案]平行四邊形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．8．已知平面α∥平面β，點A，C∈α，點B，D∈β，直線AB，CD交于點S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34.(1)若點S在平面α，β之間，則SC＝________.(2)若點S不在平面α，β之間，則SC＝________.[答案](1)16(2)272[解析](1)如圖a所示，因為AB∩CD＝S，所以AB，CD確定一個平面，設(shè)為γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．因為α∥β，所以AC∥BD．于是eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，即eq\f(SA,AB)＝eq\f(SC,CD).所以SC＝eq\f(SA·CD,AB)＝eq\f(8×34,9＋8)＝16.(2)如圖b所示，同理知AC∥BD，則eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，即eq\f(8,9)＝eq\f(SC,SC＋34)，解得SC＝272.三、解答題9.(2013·山東)如圖，四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點．求證：CE∥平面PAD．[分析]證明線面平行，有兩種思路：(1)利用線面平行的判定定理，通過線線平行證明線面平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)，證明線面平行．所以本題可以從兩個角度考慮，一是在平面PAD中找與CE平行的直線，二是構(gòu)造過CE且與平面PAD平行的平面．[解析]方法一：如圖所示，取PA的中點H，連接EH，DH.因為E為PB的中點，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB．又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD．因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD．方法二：如圖所示，取AB的中點F，連接CF，EF，所以AF＝eq\f(1,2)AB．又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD．又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD．因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA．又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD．10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1[解析]如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因為P為DD故當(dāng)Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.能力提升一、選擇題1．若AB、BC、CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則過它們中點的平面和直線AC的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．AC在此平面內(nèi) D．平行或相交[答案]A[解析]利用中位線性質(zhì)定理得線線平行，進(jìn)而得直線與平面平行．2．下列說法正確的個數(shù)是()①夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等；②夾在兩個平行平面間的等長線段平行；③如果一條直線和兩個平行平面中的一個平行，那么它和另一個也平行；④平行于同一條直線的兩個平面平行．A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]只有①正確．②中的兩條線段還可能相交或異面；③中的直線還可能在另一個平面內(nèi)；④中的兩個平面還可能相交．3．若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，過點B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．有且只有一條與a平行的直線[答案]D[解析]由直線a和點B確定一個平面γ，γ∩β＝b，則b就是唯一的一條滿足條件的直線，選D．4．設(shè)平面α∥平面β，點A∈α，點B∈β，C是AB中點，當(dāng)A、B分別在平面α、β內(nèi)運動時，那么所有的動點C()A．不共面B．不論A、B如何移動，都共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A、B分別在兩直線上移動時才共面D．當(dāng)且僅當(dāng)A、B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面[答案]B二、填空題5．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1[答案]平行四邊形[解析]∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可證CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可證AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．6.如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中正確的為________.①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④異面直線PM與BD所成的角為45°.[答案]①②④[解析]∵M(jìn)N∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，從而AC∥截面PQMN，②正確；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正確；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴異面直線PM與BD所成的角為45°，故④正確．根據(jù)已知條件無法得到AC，BD長度之間的關(guān)系．故填①②④.三、解答題7．(2015·廣東汕頭模擬)直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2CD＝2.若P為A1B1的中點，求證：DP∥平面ACB1，且DP∥平面BCB1[證明]由P為A1B1的中點，得PB1∥AB，且PB1＝eq\f(1,2)AB．又∵DC∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，∴DC∥PB1，且DC＝PB1.∴四邊形DCB1P為平行四邊形．從而CB1∥DP.又CB1?面ACB1，DP?面ACB1，所以DP∥面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.8．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點．(1)求證：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，求異面直線PA與MN所成的角的大?。甗解析](1)取PD的中點H，連接AH，NH，∵N是PC的中點，∴NH綊eq\f(1,2)DC．由M是AB的中點，且DC